2024年九省联考新情境压轴题精选25题（学生版）

2024年九省联考新情境压轴题精选25题一、填空题1(2024·重庆市·联考题)已知集合M=x∈N|1≤x≤12，集合A1,A2,A3满足①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3=M.集合Ai(i=1,2,3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i=1,2,3)，则X1+X2+X3的最大值与最小值的差为.2(2024·湖北省·联考题)记max{f(x)}，min{f(x)}分别表示函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值．x∈[a,b]x∈[a,b]则minmax{|m+n-2n|}=.m∈[-3,3]n∈[0,9]3(2024·广东省·联考题)1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作°一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所°求的点为三角形的正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120)，该点称为费马点.已°知△ABC中，其中∠A=60，BC=1，P为费马点，则PB+PC-PA的取值范围是.4(2024·安徽省黄山市·模拟题)剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术.其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社222333会价值.现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为x+y=a(a>0)的曲线C(称为星形线)，则曲线C的内切圆半径为;以曲线C上点(m,n)(mn≠0)为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.1 二、解答题5(2024·湖北省·联考题)记A={l(x)|l(x)=kx+m,k,m∈R}，若l0(x)∈A，满足：对任意l(x)∈A，均有max|f(x)-l(x)|≥max|f(x)-l0(x)|，则称l0(x)为函数f(x)在x∈[a,b]上“最接近”直线.已知函数x∈[a,b]x∈[a,b]2g(x)=2lnx-x+3，x∈[r,s].(1)若g(r)=g(s)=0，证明：对任意l(x)∈A，max|g(x)-l(x)|≥1;x∈[r,s](2)若r=1，s=2，证明：g(x)在x∈[1,2]上的“最接近”直线为：1+x02+g(x0)2l0(x)=(2ln2-3)x-2+2，其中x0∈(1,2)且为二次方程2x+(2ln2-3)x-2=0的根.2 6(2024·浙江省·联考题)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具-洛必达法则，法则中有一结论：若函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且limf(x)=limg(x)=0，则x→ax→af(x)f′(x)lim=lim.x→ag(x)x→ag′(x)x②设a>0，k是大于1的正整数，若函数f(x)满足：对任意x∈[0,a]，均有f(x)≥f成立，且limf(x)=kx→00，则称函数f(x)为区间[0,a]上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：3(1)试判断f(x)=x-3x是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数;1x(2)计算：lim(1+x);x→0sinx33(3)证明：x-π<cosx，x∈π,2π.3 2y2x7(2024·江苏省徐州市·联考题)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心22ab6222率为，直线l与Γ相切，与圆O:x+y=3a相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=26.3(1)求Γ的方程;(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N).(ⅰ)若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M,N);(ⅱ)若d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为H(M,N).已知H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)≥H(X,Y).4 8(2024·全国·模拟题)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m°为K的一个对称变换.例如，正三角形R在m1(绕中心O作120的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图1232所示)，所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记m1=；312又如，R在l1(关于对称轴r1所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示)，所以l1也是R的123一个对称变换，类似地，记l1=.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于132给定的代数运算。来说作成一个群，假如同时满足：Ⅰ.∀a,b∈G，a°b∈G；Ⅱ.∀a,b,c∈G，a°b°c=a°b°c；Ⅲ.∃e∈G，∀a∈G，a°e=e°a=a；-1-1-1Ⅳ.∀a∈G，∃a∈G，a°a=a°a=e.-1对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的a为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算°来说作成一个群.(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；123132213(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如m1====312321132231312321a1a2a3==.对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：123231213b1b2b3b1b2b3a1a2a3*=，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3.c1c2c3c1c2c3①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；-1②已知H是群G的一个子群，e，e′分别是G，H的单位元，a∈H，a，a′分别是a在群G，群H中的逆元.-1猜想e，e′之间的关系以及a，a′之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群.图1图2图35 9(2024·福建省·模拟题)对于函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点.已知a≥120，且f(x)=lnx+ax+1-a的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合M中的最小元素和2最大元素.(1)若a=0，求A的元素个数及maxA;(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.(i)求B;nf(an)4**(ii)若a=minB，数列{an}满足a1=2，an+1=，集合Cn=|ak-1|,，n∈N.求证：∀n∈N，a3k=14maxCn=.36 10(2024·广东省汕头市·模拟题)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.111n(取++⋯+=ln)kk+1n-1k7 11(2024·重庆市·模拟题)十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为12，2表示为102，3表示为112，5表示为1012，发现若n∈N+可表示为二进制表达式kk-11a0a1a2⋅⋅⋅ak-1ak2，则n=a0⋅2+a1⋅2+⋅⋅⋅+ak-1⋅2+ak，其中a0=1，ai=0或1(i=1,2,⋅⋅⋅k).(1)记Sn=a0+a1+⋅⋅⋅+ak-1+ak，求证：S8n+3=S4n+3；(2)记In为整数n的二进制表达式中的0的个数，如I2=1，I3=0.(ⅰ)求I60；511In(ⅱ)求2(用数字作答).n=18 *12(2024·山东省青岛市·模拟题)记集合S={{an}|无穷数列{an}中存在有限项不为零，n∈N}，对任n-1意{an}∈S，设变换f({an})=a1+a2x+⋯+anx+⋯，x∈R.定义运算⊗:若{an}，{bn}∈S，则{an}⊗{bn}∈S，f({an}⊗{bn})=f({an})⋅f({bn}).(1)若{an}⊗{bn}={mn}，用a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4表示m4;(2)证明：({an}⊗{bn})⊗{cn}={an}⊗({bn}⊗{cn});2(n+1)+11203-nn(n+1),1≤n≤100,2,1≤n≤500,1(3)若an=bn={dn}={an}⊗{bn}，证明：d200<.0,n>100,0,n>500,29 13(2024·辽宁省·模拟题)给定正整数n≥2，设集合M=α∣α=t1,t2,⋯,tn,tk∈0,1,k=1,2,⋯,n.对于集合M中的任意元素β=x1,x2,⋯,xn和γ=y1,y2,⋯,yn，记β⋅γ=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.设A⊆p,i=j,M，且集合A=αi∣αi=ti1,ti2,⋯,tin,i=1,2,⋯,n，对于A中任意元素αi,αj，若ai⋅aj=1,i≠j,，则称A具有性质Tn,p.(1)若集合A具有性质T2,1，试写出A的表达式；3(2)判断集合A=1,1,0,1,0,1,0,1,1是否具有性质T3,2？若具有，求ai⋅aj的值；若不具有，请i,j=1说明理由；(3)是否存在具有性质T4,p的集合A？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.10 14(2024·湖北省·联考题)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n(3)(n)*f′′(0)2f(0)3f(0)n∈N)阶导数都存在时，f(x)=f(0)+f′(0)x+x+x+⋯+x+⋯.2!3!n!(n)注：f′′(x)表示f(x)的2阶导数，即为f′(x)的导数，f(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．1(1)根据该公式估算sin的值，精确到小数点后两位；22462xxxx(2)由该公式可得：cosx=1-+-+⋯.当x≥0时，试比较cosx与1-的大小，并给出证明；2!4!6!2n*11(3)设n∈N，证明：>n-.14n+2k=1(n+k)tann+k11 15(2024·河南省开封市·模拟题)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互索.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).(1)试求φ(3)，φ(9)，φ(7)，φ(21)的值;n(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数，试求φ(3)，φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系;(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q;②计算n=pq，欧拉函数φ(n);③求正整数k，使得kq除以φ(n)的余数是1;④其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥.已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列{bn}，数列{cn}满足80cn=bn+47，求数列{tancn⋅tancn+1}的前n项和Tn.12 *16(2024·河南省·模拟题)若函数f(x)的定义域、值域都是有限集合A={a1,a2,⋯，an}，n∈N，则定义f(x)为集合A上的有限完整函数．已知g(x)是定义在有限集合M={1,2,3,4,5,6,7}上的有限完整函数．7(1)求ig(i)的最大值；i=1(2)当i=1，2，3，4时，均有g(i)<g(i+1)，求满足条件的g(x)的个数；*(3)对于集合M上的有限完整函数g(x)，定义“闭环函数”如下：g1(x)=g(x)，对k∈N，且k≤6，gk+1(x)=**g(gk(x))(注：g7k+i(x)=gi(x)，k∈N，i=1，2，⋯，7).若∃x∈M，m∈N，g1(x)=g1+m(x)，则称g(x)为“m阶闭环函数”．证明：存在一个闭环函数g(x)既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数(用列表法表示g(x)的函数关系).13 2y2x17(2024·广东省·联考题)如图，已知椭圆Γ的短轴长为4，焦点与双曲线-=1的焦点重合.4-tt1点P4,0，斜率为的直线l1与椭圆Γ交于A,B两点.2(1)求常数t的取值范围，并求椭圆Γ的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德⋅迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述2y2xxyyx00的.对于椭圆Γ:2+2=1，极点Px0,y0(不是原点)对应的极线为lP:2+2=1，且若极点P在x轴abab上，则过点P作椭圆的割线交Γ于点A1,B1，则对于lP上任意一点Q，均有kQA1+kQB1=2kPQ(当斜率均存在时).已知点Q是直线l1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆Γ于M,N两点.①设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点；②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标.14 18(2024·福建省·联考题)已知集合Sn=XX=x1,x2,⋯,xn,xi∈0,1,i=1,2,⋯,n，其中n≥2.对n于A=a1,a2,⋯,an，B=b1,b2,⋯,bn∈Sn，定义A与B之间的距离为dA,B=ai-bi.i=1(1)记I=1,1,1,1∈S4，写出所有A∈S4使得dI,A=3；(2)记I=1,1,⋯,1∈Sn，A、B∈Sn，并且dI,A=dI,B=p≤n，求dA,B的最大值；(3)设P⊆Sn，P中所有不同元素间的距离的最小值为k，记满足条件的集合P的元素个数的最大值为m，n2求证：m≥.01k-1Cn+Cn+⋯+Cn15 19(2024·安徽省黄山市·模拟题)取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x∈R，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，函数y=[x]称为取整函数.另外也称[x]是x的整数部分，称{x}=x-[x]为x的小数部分.(1)直接写出[lnπ]和-3的值;4(2)设a，b∈N*，证明：a=ba+ba，且0≤ba≤b-1，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个bbb数;a1a2ak(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为a=p1×p2×⋯×pk，其中pi为质数，ai为正整数，且对任2意的i<j，都有pi<pj，i，j∈{1,2,3,⋯,k}，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为100=2×2*5.证明：在n!的标准分解式中，质因数pi(pi≤n,n>1,n∈N)的指数(Textranslationfailed)16 20(2024·湖南省·联考题)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．22(1)若圆C1：x+y=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；2(2)若点P(x0,y0)不在直线族Ω：(2a-4)x+4y+(a-2)=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P.已知点C(0,1)，若A，B，C三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由．17 2y2x21(2024·山东省日照市·模拟题)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心ab1π率为2经过点F1且倾斜角为θ0<θ<2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A′，B′.π(1)当θ=时，3①求证：A′O⊥B′F2；②求平面A′F1F2和平面A′B′F2所成角的余弦值；π15(2)是否存在θ0<θ<2，使得折叠后△A′B′F2的周长为2？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．18 22(2024·江西省赣州市·模拟题)设数列A:a1，a2，⋯，aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak>an，则称n是数列A的一个“D时刻”.记D(A)是数列A的所有“D时刻”组成的集合，D(A)的元素个数记为card(D,A).(1)对数列A:-1，1，-2，2，-3，3，写出D(A)的所有元素;(2)数列A:a1，a2，⋯，a6满足{a1,a2,⋯,a6}={1,2,3,4,5,6}，若card(D,A)=4，求数列A的种数.(3)证明：若数列A满足an-an-1≥-1(n=2,3,4,⋯,N)，则card(D,A)≥a1-aN.19 23(2024·江苏省徐州市·模拟题)对于每项均是正整数的数列P：a1，a2，⋯，an，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1(P)：n，a1-1，a2-1，⋯，an-1.对于每项均是非负整数的数列Q：b1，b2，⋯，bm，定义S(Q)222=2b1+2b2+⋯+mbm+b1+b2+⋯+bm，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(Q).(1)若数列P0为2，4，3，7，求S(T1(P0))的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令Pk+1=T2(T1(Pk))，k∈N.(ⅰ)探究S(T1(P0))与S(P0)的关系；(ⅱ)证明：S(Pk+1)≤S(Pk).20 k1k2km24(2024·湖南省张家界市·模拟题)每个大于1的自然数n均可写成素数乘积的形式n=p1p2⋯pm，*其中m∈N，k1，k2，⋯，km∈N，p1，p2，⋯，pm是互不相同的素因数，若存在ki≥2(1≤i≤m)，则称n有素0,若m有素数平方因子*数平方因子.定义在N上的莫比乌斯函数μ(m)=1,若m=1，例如μ(15)=μ(3×(-1)r,若m是r个不同素数之积225)=(-1)=1，μ(50)=μ(2×5)=0.∑d|ng(d)表示d取遍n的所有正整数因子时对g(d)求和，例如当g(n)=n时，∑d|6g(d)=∑d|6d=1+2+3+6=12.(1)求μ(2025)，μ(105);*(2)当n∈N且n≥2时，求∑d|nμ(d);*nn(3)假设f(x)和g(x)是定义在N上的函数，满足f(n)=∑d|ng(d)=∑d|ngd.求证：g(n)=∑d|nμ(d)fd.21 *25(2024·浙江省·联考题)在平面直角坐标系xOy中，我们把点(x,y),x,y∈N称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(x,y)进行赋值记为P(x,y)，例如P(2,3)=8，P(4,2)=14,P(2,5)=17.(I)求P(x,1);(II)求证：2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);(III)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024，求P(x,y)的值.22