2024年1月-3月各省市一模压轴新题型汇编 （学生）版

2024年1月-3月各省市一模压轴新题型汇编221(2024·云南·一模)已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，顶点是坐标原点O.P是圆O:x+y=33与C的一个交点，PF=.A､B是C上的动点，且A､B在x轴两侧，直线AB与圆O相切，线段OA､线2段OB分别与圆O相交于点M､N.(1)求C的方程；(2)△OMN的面积是否存在最大值？若存在，求使△OMN的面积取得最大值的直线AB的方程；若不存在，请说明理由.1 2(2024·广西南宁·一模)若无穷数列an满足a1=0,an+1-an=fn，则称数列an为β数列，若βn-1数列an同时满足an≤，则称数列an为γ数列．2∗(1)若数列an为β数列，fn=1,n∈N，证明：当n≤2025时，数列an为递增数列的充要条件是a2025=2024；∗(2)若数列bn为γ数列，fn=n，记cn=b2n，且对任意的n∈N，都有cn<cn+1，求数列cn的通项公式．2 3(2024·山东青岛·一模)记集合S=an|无穷数列an中存在有限项不为零，n∈N*，对任意n-1an∈S，设变换fan=a1+a2x+⋯+anx+⋯，x∈R．定义运算⊗：若an,bn∈S，则an⊗bn∈S，fan⊗bn=fan⋅fbn．(1)若an⊗bn=mn，用a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4表示m4；(2)证明：an⊗bn⊗cn=an⊗bn⊗cn；2n+1+11203-nnn+1,1≤n≤1002,1≤n≤5001(3)若an=，bn=，dn=an⊗bn，证明：d200<．0,n>1000,n>50023 4(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.4 a,a≥b,b,a≥b,5(2024·河南信阳·一模)定义：maxa,b=b,a<b,mina,b=a,a<b,已知数列{an}满足an+min{an+1,an+2}=max{an+1,an+2}．(1)若a2=2，a3=3，求a1，a4的值；**(2)若∀n∈N，∃k∈N，使得an≤ak恒成立．探究：是否存在正整数p，使得ap=0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；*(3)若数列{an}为正项数列，证明：不存在实数A，使得∀n∈N,an≤A．5 y222x26(2024·湖北·一模)已知双曲线C1:x-2=1经过椭圆C2:2+y=1的左、右焦点F1,F2，设C1,C2的ba6离心率分别为e1,e2，且e1e2=．2(1)求C1,C2的方程；(2)设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线PF1与C2交于A,B两点，直线PF2与C2交于C,D两点，设AB,CD的中点分别为M,N，记直线MN的斜率为k，当k取最小值时，求点P的坐标．6 2x27(2024·广东汕头·一模)已知点Mx0,y0为双曲线-y=1上的动点.2x0x(1)判断直线-y0y=1与双曲线的公共点个数，并说明理由；2(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；2y22y2xx(ii)将双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为-=0，请利2222ababmxny用该方程证明如下命题：若Tm,n为双曲线C上一点，直线l：-=1与C的两条渐近线分别交于22ab点P､Q，则T为线段PQ的中点.7 8(2024·湖北·二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过1渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数fx=(x>0),fx在区间a,bxb11上的图像连续不断，从几何上看，定积分dx便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=所围成的区axxb1域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得dx=lnb-lna，因为曲边梯形ABQP的axa-b面积小于梯形ABQP的面积，即S<S，代入数据，进一步可以推导出不等式：曲边梯形ABQP梯形ABQPlna-lnb2>．1+1aba-ba+b(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<；lna-lnb22(2)已知函数fx=ax+bx+xlnx，其中a,b∈R．①证明：对任意两个不相等的正数x1,x2，曲线y=fx在x1,fx1和x2,fx2处的切线均不重合；②当b=-1时，若不等式fx≥2sinx-1恒成立，求实数a的取值范围．8 29(2024·湖北·二模)如图，O为坐标原点，F为抛物线y=2x的焦点，过F的直线交抛物线于A,B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在B点处的切线为l．(1)若直线l与y轴的交点为E，求证：DE=EF；2(2)过点B作l的垂线与直线AO交于点G，求证：|AD|=AO⋅AG．9 10(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点O,t为AM绕点A转过的角度(单位：弧度，t≥0).(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；1+cos2θ(2)设点M的轨迹在点M0(x0,y0)(y0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：为定值；y0(3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为(x(t),y(t)),t∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F(β)22-F(α)，其中函数F(t)满足F(t)=[x(t)]+[y(t)].当点M自点O滚动到点E时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE的长度.10 xk11(2024·云南·一模)已知e是自然对数的底数，常数k>0，函数fx=e1-x,Hx=lnx+.x(1)求fx、Hx的单调区间；(2)讨论直线y=x与曲线y=lnx-1的公共点的个数；xelnx-x+12(3)记函数Fx=,∀x1、x2，若0<x1<x2，且Fx1=Fx2，则e-2ex1+x2-a≥0，求x实数a的取值范围.11 23nxxxx12(2024·贵州贵阳·一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：e=1+x+++⋯++⋯其中2!3!n!n!=1×2×3×4×⋯×n,e为自然对数的底数，e=2.71828⋯⋯.以上公式称为泰勒公式.设fx=x-xx-xe-ee+e,gx=，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.22x(1)证明：e≥1+x；fx(2)设x∈0,+∞，证明：<gx；x2x(3)设Fx=gx-a1+2，若x=0是Fx的极小值点，求实数a的取值范围.12 13(2024·安徽安庆·二模)取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x∈R，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，函数y=[x]称为取整函数．另外也称[x]是x的整数部分，称{x}=x-[x]为x的小数部分．(1)直接写出lnπ和-3的值；4(2)设a，b∈N*，证明：a=ba+ba，且0≤ba≤b-1，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个bbb数；a1a2ak(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为a=p1×p2×⋯×pk，其中pi为质数，ai为整数，且对任意22的i<j，pi<pj，i，j∈{1,2,3,⋯,k}，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为100=2×5．证∞*nnnn明：在n!的标准分解式中，质因数pi(pi≤n，n>1，n∈N)的指数ai=p+2+3+⋯=∑r．ipipir=1pi13 14(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当fx在x=0处的3nf0f0f0*23nnn∈N阶导数都存在时，fx=f0+f0x+x+x+⋯+x+⋯．注：fx表2!3!n!n示fx的2阶导数，即为fx的导数，fxn≥3表示fx的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．1(1)根据该公式估算sin的值，精确到小数点后两位；22462xxxx(2)由该公式可得：cosx=1-+-+⋯．当x≥0时，试比较cosx与1-的大小，并给出证2!4!6!2明；n*11(3)设n∈N，证明：>n-．14n+2k=1(n+k)tann+k14 15(2024·广东·一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括22向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x+y.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯a1naaa⋯ann12122232n22，其模可由向量模拓展为A=aij(其中aij为矩阵中第i行第j列的数，a31a32a33⋯a3ni=1j=1⋮⋮⋮⋮a11a12∑为求和符号)，记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22==a21a22nn124222222，其矩阵模AF=aij=2+4+3+5=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有35i=1j=1重要的应用.100⋯0020⋯0*(1)∀n∈N，n≥3，矩阵Bnn=003⋯0，求使BF>35的n的最小值.⋮⋮⋮⋮000⋯n*(2)∀n∈N，n≥3，，矩阵Cnn=1cosθcosθcosθ⋯cosθcosθ0-sinθ-sinθcosθ-sinθcosθ⋯-sinθcosθ-sinθcosθ222200sinθsinθcosθ⋯sinθcosθsinθcosθ求CF.⋮⋮⋮⋮⋮⋮n-2n-2n-2n-20000⋯(-1)sinθ(-1)sinθcosθn-1n-10000⋯0(-1)sinθn+2ln00⋯0n+122n+12n+12lnnlnn0⋯0*n(3)矩阵Dmin=⋮，证明：∀n∈N，n≥3，DF>.3n+9n-1n-1n-14n-14n-14n-1ln3ln3ln3⋯0nnnn3n3n3n3nln2ln2ln2⋯ln215 16(2024·河南开封·二模)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φn．(1)试求φ3，φ9，φ7，φ21的值；n(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求φ3，φpq与φ(p)和φ(q)的关系；(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q；②计算n=pq，欧拉函数φn；③求正整数k，使得kq除以φn的余数是1；④其中n,q称为公钥，n,k称为私钥．已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列bn，数列cn满足80cn=bn+47，求数列tancn⋅tancn+1的前n项和Tn．16 17(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(xi-xj)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得xi+1-xii=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?52(3)记S=xi，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.i=117 18(2024·山东潍坊·一模)若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(ξ,η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(ξ,η)的一切可能取值为(ai,bj)，i,j=1,2,⋅⋅⋅，记pij表示(ai,bj)在Ω中出现的概率，其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(ξ,η)是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值；②若(m,n)是①中的值，求P(ξ=m,η=n)(结果用m，n表示)；+∞(2)P(ξ=ai)称为二维离散型随机变量(ξ,η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P(ξ=ai)=pij．j=118 2n19(2024·广东深圳·一模)已知动点P与定点Am,0的距离和P到定直线x=的距离的比为常数mm．其中m>0,n>0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C．n(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点B-m,0，若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与BM相交于点Q．11①当m=22,n=4时，求证：+的值及△ABQ的周长均为定值；AMBN②当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S=λr恒成立？若存在，求λ(用m,n表示)；若不存在，请说明理由．19 20(2024·福建漳州·模拟预测)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的1一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概223率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继3411续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．43(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第nn=1,2,⋅⋅⋅,31天选择“共享单车”的概率Pn，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．20 *21(2024·福建厦门·二模)若∀n∈N，都存在唯一的实数cn，使得fcn=n，则称函数fx存在“源数列”cn.已知fx=x-lnx,x∈0,1.(1)证明：fx存在源数列；λ(2)(ⅰ)若fx-≤0恒成立，求λ的取值范围；x5(ⅱ)记fx的源数列为cn，证明：cn前n项和Sn<.321 122(2024·辽宁·一模)已知平面上一动点P到定点F,0的距离比到定直线x=-2023的距离小24045，记动点P的轨迹为曲线C.2(1)求C的方程；(2)点A2,1,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四86边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：S≤.922 222λ23(2024·江苏徐州·一模)将x+y=2上各点的纵坐标变为原来的0<λ<2倍(横坐标不变)，2所得曲线为E．记P-2,0，Q1,0，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．(1)求E的方程：π(2)设直线AB，CD的倾斜角分别为α，β．当0<α<今时，2tanα(i)求的值：tanβ(ii)若β-α有最大值，求λ的取值范围．23 2y2x24(2024·全国·一模)如图，已知椭圆Γ的短轴长为4，焦点与双曲线-=1的焦点重合.点4-tt1P4,0，斜率为的直线l1与椭圆Γ交于A,B两点.2(1)求常数t的取值范围，并求椭圆Γ的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述2y2xxyyx00的.对于椭圆Γ:2+2=1，极点Px0,y0(不是原点)对应的极线为lP:2+2=1，且若极点P在x轴abab上，则过点P作椭圆的割线交Γ于点A1,B1，则对于lP上任意一点Q，均有kQA1+kQB1=2kPQ(当斜率均存在时).已知点Q是直线l1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆Γ于M,N两点.①设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点；②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标.24 x225(2024·河北·一模)已知函数fx=e-axa>0．(1)若函数fx有3个不同的零点，求a的取值范围；(2)已知fx为函数fx的导函数，fx在R上有极小值0，对于某点Px0,fx0，fx在P点的切线方程为y=gx，若对于∀x∈R，都有x-x0⋅fx-gx≥0，则称P为好点．①求a的值；②求所有的好点．25 26(2024·河北·一模)某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券．(1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率．(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率．(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适．26 27(2024·河南南阳·一模)在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的2y2x算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的蒙日圆的面积为13π，该椭圆的上22ab1顶点和下顶点分别为P1,P2，且P1P2=2，设过点Q0,2的直线l1与椭圆E交于A,B两点(不与P1,P2两点重合)且直线l2:x+2y-6=0.(1)证明：AP1，BP2的交点P在直线y=2上;(2)求直线AP1,BP1,l2围成的三角形面积的最小值.27 28(2024·甘肃兰州·一模)已知圆C过点P4,1，M2,3和N2,-1，且圆C与y轴交于点F，点F是2抛物线E:x=2pyp>0的焦点.(1)求圆C和抛物线E的方程；(2)过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别做抛物线E的切线，两条切线交于点Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由．28 29(2024·甘肃兰州·一模)定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为x1,y1，x2,y2，那么称d(A,B)=x1-x2+y1-y2为A，B两点间的曼哈顿距离．(1)已知点N1，N2分别在直线x-2y=0，2x-y=0上，点M0,2与点N1，N2的曼哈顿距离分别为dM,N1，dM,N2，求dM,N1和dM,N2的最小值；2(2)已知点N是直线x+ky+2k+1=0k>0上的动点，点M0,2与点N的曼哈顿距离dM,N的最小值记为fk，求fk的最大值；kk(3)已知点Me,ke，点N(m,n)(k，m，n∈R，e是自然对数的底)，当k≤1时，dM,N的最大值为fm,n，求fm,n的最小值．29 30(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈*n-1N，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q利用“q-数”可定义“q-阶乘”n!q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0!q=1.*nn!q和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N,k≤n，=kqk!qn-k!q5(1)计算：；32nn-1n-1*k(2)证明：对于任意k,n∈N,k+1≤n，=+qkqk-1qkqn+m+1nmn+i*n-k+i(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N,k+1≤n，-=∑q.k+1qk+1qi=0kq30 31(2024·黑龙江哈尔滨·一模)这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为an，求an的前n项和Sn；(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为bn，当bn取最大值时，求n的值．31 32(2023·广东广州·模拟预测)多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c⋯等多个自变Δydy量唯一确定的因变量，则当a变化为a+Δa时，y变化为y+Δy，记lim为y对a的导数，其符号为.Δa→0Δadadydy和一般导数一样，若在a1,a2上，已知>0，则y随着a的增大而增大；反之，已知<0，则y随着adadady1+y2dy1的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：=+daday1dy1dy2dy2dy1y2dy1dy2dy2y2da-y1dady2；②乘法法则：=y2+y1；③除法法则：=2；④复合法则：=dadadadaday2dady2dy1x1212⋅.记y=e+xlnx-x-ex-a.(e=2.7182818⋯为自然对数的底数)，dy1dae2edydy(1)写出和的表达式；dxda(2)已知方程y=0有两实根x1,x2，x1<x2.①求出a的取值范围；dx1+x2②证明>0，并写出x1+x2随a的变化趋势.da32 233(2024·广西南宁·一模)已知曲线Γ:x=4y．t(1)若点Tt,s是Γ上的任意一点，直线l:y=x-s，判断直线l与Γ的位置关系并证明．2(2)若E是直线y=-1上的动点，直线EA与Γ相切于点A，直线EB与Γ相切于点B．①试问∠AEB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．EBAB②若直线EA,EB与x轴分别交于点C,D，证明：=．ECCD33