2024届湖南长沙雅礼中学高三月考七数学试卷+答案
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雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学命题人：匡铀龄审题人：卿科陈朝阳注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={2,4,6,8,10,12,}MN={4,6,8,}={8,10}，则集合{2,12}=（）A.MN∪B.MN∩C.U(MN∪)D.U(MN∩)2.下列命题正确的是（）A.“lnmn<ln”是“eemn<”的充分不必要条件b.命题：∀>x0,lnxx−1的否定是：∃>x00,lnxx00−15πC.sinxx+=−cos2x+2D.函数y=在(−−∪−+∞∞,1)(1,)上是减函数x+13.若复数z满足|zz++−=2i||2i|8，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.线段324.已知D是ABC所在平面内一点，AD=AB+AC，则（）5532A.BD=BCB.BD=BC2332C.BD=BCD.BD=BC555.我们把由0和1组成的数列称为01−数列，01−数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{FFFFFFn}(12==1,n++2=nn+1)中的奇数换成0，偶数换成1可得到01−数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为（）学科网（北京）股份有限公司,A.32B.33C.34D.356.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）A.34πB.27πC.20πD.18π2222xyxy7.已知椭圆+=>>1(ab0)与双曲线−=>>1(mn0,0)有共同的焦点FF12,，且在第一象限2222abmnπ内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为ee12,.若∠FPF12=.则ee12⋅的最小值是（）31233A.B.C.D.22222cos40+cos808.求值：=（）sin8033A.3B.C.−3D.−33二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A.日认购量与日期正相关B.日成交量的中位数是26C.日成交量超过日平均成交量的有2天D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量学科网（北京）股份有限公司,10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富2的性质产生了无穷的魅力.设AB,是抛物线Cx:4=y上两个不同的点，以AxyBxy(11,,,)(22)为切点的切线交于P点.若弦AB过点F(0,1)，则下列说法正确的有（）A.xx=−412B.若x=2，则A点处的切线方程为xy−−=101C.存在点P，使得PAPB⋅>0D.PAB面积的最小值为4x10.已知函数fx()=+(x1e)(−−x1)，则下列说法正确的有Λ.fx()有唯一零点B.fx()无最大值C.fx()在区间(1,+∞)上单调递增D.x=0为fx()的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种222213.已知圆Cxy1:+−=(2)1与圆Cx2:(−+−=2)(y1)4相交于AB,两点，则CC12⋅+(CACB11)=__________.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三的形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点P.（1）若AB=3，则sin∠PAC=__________.（2）若ACABBC::=6:5:4，则PAPB++PC的值为__________.学科网（北京）股份有限公司,四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代的标志ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透入类社会的方方面面.让人类更高效地生活.现对130人的样本人群就“广泛使用ChatGPT对服务业芳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示：服务业就业人数的ChatGPT应合计用的广泛性减少增加广泛应用601070没广泛应用402060合计10030130（1）根据小概率值α=0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值.22nad()−bc附：χ=，其中nabcd=+++.(abcdacbd++++)()()()α0.10.050.01xα2.7063.8416.63516.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCDPA,=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=120.（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；2（2）若点M为PB的中点，线段PC上是否存在点N，使得直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.2学科网（北京）股份有限公司,PN若存在，求的值；若不存在，请说明理由.PC17.（本小题满分15分）如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点MN,（点M在点N的下方），且MN=3.（1）求圆C的方程；22xy（2）过点M任作一作直线与椭圆+=1相交于AB,两点，连接ANBN,，求证：84∠∠ANM=BNM.18.（本小题满分17分）2已知函数fx()=−−∈xxaxln3xa(R).（1）若x=1是函数fx()的一个极值点，求实数a的值；（2）若函数fx()有两个极值点xx12,，其中xx12<，①求实数a的取值范围；②若不等式2ax12+kxln>+3k1恒成立，求实数k的取值范围.19.（本小题满分17分）c，若对任意**对于无穷数列{n}mn,∈N，且mn≠，存在k∈N，使得cccmn+=k成立，则称{cn}为“G数列”.（1）若数列{bn}的通项公式为bnn=2，试判断数列{bn}是否为“G数列”，并说明理由；（2）已知数列{an}为等差数列，*①若{an}是“G数列”，aaN12=8,∈，且aa21>，求a2所有可能的取值；②若对任意**nN∈，存在kN∈，使得aSkn=成立，求证：数列{an}为“G数列”.学科网（北京）股份有限公司,雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案CAADBBCABDABDBCD1.C【解析】MN∪={4,6,8,10,}MN∩={8,}UU(MN∪=){2,12,}(MN∩=){2,4,6,10,12}，故选C.2.A【解析】对于A中，由函数yx=ln为单调递增函数，因为lnmn<ln，可得0<<mn，xmn又因为函数y=e为单调递增函数，可得ee<，即充分性成立；反之：由eemn<，可得mn<，当mn,小于0时，此时ln,lnmn没意义，即必要性不成立，所以“lnmn<ln”是“eemn<”的充分不必要条件，故a正确；对于b，命题：∀>x0,lnxx−1的否定是：∃>x00,lnxx00>−1，故B不正确；5ππ对于C,sinx+=sinxx+=cos，故C不正确；22对于D：当x=−2时y=0，当x=0时y=2，但−<20，可得02<，x+2所以函数y=在(−−∪−+∞∞,1)(1,)上不是减函数，故D不正确；故选A.x+13.A【解析】设PxyF(,),12(0,2,)F(0,2−)，复数z对应点P，由题意复数z满足|zz++−=2i||2i|8，即PF2+=PF182=>=aFF1242=c，可知复数z满足椭圆的定义.故选A.3232224.D【解析】由AD=AB+AC，得AB+=+BDABAC，得BD=−+ABAC，得55555522BD=（−+=ABAC)BC，故选D.55学科网（北京）股份有限公司,5.B【解析】因为FFFFF==1,=+，所以12n++2nn1FFFFFFF=2,=3,=5,=8,=13,=21,=34,，所以数列{a}的前若干项为：3456789naaaaaaaaa==0,=1,=0,=0,=1,=0,=0,=1,，则123156789aaaaaaaaa++=++=++==1，所以S=×+=331033.故选B.1234567891006.B【解析】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为Rr,，若当2Rr=9,2=3时，则圆台的母线长22l=+−=4(4.51.5)5，所以其侧面积为π×(4.51.5+)×=530π，若当2Rr=8,2=2时，则圆台的母线长22l=+−=4(41)5，所以其侧面积为π×+×=(41)525π，所以其侧面积S满足25π<<s30π.故选b.7.c【解析】设共同的焦点为(−cc,0,,0)()，设pf12=spf,=t，由椭圆和双曲线的定义可得sta+=2,stm−=2，解得samtam=+=−,，π222在pff12中，∠fpf12=，可得ff12=+−⋅⋅pf1pf22pf1pf2cos∠fpf12，322222即为4()()cam=++−−+am(amamam)(−=+)3，am22313即有+=4，即22+=4，cc22ee1213333由2+2222，可得ee12⋅，当且仅当ee21=3时，取得最小值，故选c.e1e2ee12228.a【解析】2cos40+cos802cos120(−+80)cos802cos120cos80(+sin120sin80)+cos803sin80====3sin80sin80sin80sin80.故选a.9.bd【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以a错；将成交量数据按大小顺序排学科网（北京）股份有限公司,13832162638166++++++列，中.位数为26，所以b对；日平均成交量为≈42.7，超过42.7的只有一7天，所以c错；10月7日认购量的增量为276112164−=，成交量的增量为16638128−=，所以d对，故选bd.10.abd【解析】对于a，由题意，设直线aby:1=kx+，y=kx+1,联立消去y整理得：22x−−=440kx，又axybxy(11,,,)(22)，xy=4,则xx12+=4,kxx12⋅=−4，所以a正确；2121对于b，由抛物线xy=4.可得yx=，则yx′=，4211212则过点a的切线斜率为x1，易知yx=1，即axx11,，244112112则切线方程为：yx−=−xxx()，即y=xx−x，111114224若x1=2时，则过点a的切线方程为：xy−−=10，所以b正确；11111对于c，由选项b可得：直线ap的斜率为x，直线bp的斜率为x，因为x⋅==xxx−1，12121222224所以ap⊥bp，即papb⋅=0，所以c错误；112对于d，由选项b可知，过点b的切线方程为y=xx−x，联立直线papb,的方程可得222411p(2,1,k−)kpf=−,kpf⋅=kab−⊥1,pfab，所以sabp=abpf⋅，k2222222ab=+1kx12−=+x1k(x12+−⋅=+x)4xx121k16k+=+1641(k)，2222pf=(2k−0)+−−(11)=4k+=421+k，3则sk=41(+2)2，当k=0时，sabp有最小值为4,d正确.故选abd.abpx11.bcd【解析】由题可知ff(−=1)(00)=，即x=−1和x=0是函数fx()=+(x1e)(−−x1)的零点，a不正确；xx当x>0时，令ux()=−−e1x，求导得ux′()=−>e10，函数ux()在(0,+∞)上递增，当x2时，2ux()e31−>，而yx=+1在(0,+∞)上递增，值域为(1,+∞)，因此当x2时，fxx()>+1，所以fx()无最大值，B正xxx确；fxx′()=+−−(2e22)x，令gx()=+−−(x2e22)x，求导得gx′()=+−(x3e2)，学科网（北京）股份有限公司,xx当x>0时，令hx()=+−(x3e2)，则hx′()=+>(x4e0)，即gxhx′()=()在(0,+∞)上递增，gxg′()>=′(010)>，则fxgx′()=()在(0,+∞)上递增，fxf′()>=′(00)，因此fx()在(0,+∞)上递增，即fx()在(1,+∞)上单调递增，C正确；x22x+x2当−<<10x时，ϕ(x)=e−，求导得ϕ′(x)=e−2，显然函数ϕ′(x)在(−1,0)上递增，x+2(x+2)11而ϕϕ′(−1)=−<20,′(0)=>0，则存在x0∈−(1,0)，使得ϕ′(x0)=0，e2当xx∈(0,0)时，ϕ′(x)>0，函数ϕ(x)在(x0,0)上单调递增，当xx∈(0,0)时，ϕϕ(x)<=(00)，x22x+x即当xx∈(0,0)时，e<，则fxx′()=+(2e220)−−<x，又f′(00)=，因此x=0为fx()的x+2一个极小值点，d正确，故选bcd.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.240【解析】根据题意，分2步进行分析：2①将5名学生志愿者分为4组，有c5=10种分组方法，4②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有a4=24种情况，则有1024×=240种分配方案.13.2【解析】由题意可知两圆公共弦ab所在的直线方程为2xy−+=10,c12(0,2,)c(2,1)，所以点c1到1直线2xy−+=10的距离为d=,5cc12=，又cc12⊥ab，所以向量ca1在向量cc12方向上的投511影为d=，所以ccca121⋅=×=51，同理可得cccb121⋅=1，所以cc12⋅+=(cacb11)2.5572314.；【解析】设外接圆半径为r，则r=2，由正弦定理，可知44学科网（北京）股份有限公司,ab3==24r=，sin∠∠acbsinacb37即sin∠acb=，由于∠λcb是锐角，故cos∠acb=，44π又由题意可知p为三角形abc的垂心，即ap⊥bc，故∠∠pac=−acb，27所以sin∠∠pac=cosacb=.4连接ap并延长交bc于d，连接cp并延长交ab于e，连接bp并延长交ac于f，设∠cab=θ∠,,cba=α∠acb=β，πππ则∠pac=−=β∠,,pba−=θ∠pab−α，222由于acabbc::=6:5:4，不妨假设ac=6,kab=5,kbc=4k，222222(6)(5)(4)kkk+−3(4)(5)(6)kkk+−1由余弦定理知cosθα==,cos==，265××kk4245××kk8222(4)(6)(5)kkk+−9cosβ==，24××kk616ππ如图所示，adcebf,,为abc的三条高，由于∠∠ecb+=ebc,∠∠pcd+=cpd，22故∠∠ebc=cpd，则得∠∠∠∠apc=π−=cpdπ−=ebcπ−abc，pcpaacac====24r=所以ππsin∠∠apcsinabc，sin−−βθsin22pbabab===24r=同理可得πsin∠∠apbsinacb，sin−α231923所以papb++=pc4cos(θαβ+cos+cos)=×++4=.48164四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）零假设为h0：chatgpt应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.22130(60204010)××−×根据表中数据得χ=≈<=6.6036.635x，0.01706010030×××学科网（北京）股份有限公司,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断h0不成立，因此可以认为无关.（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，60有×=53人认为chatgpt会在服务业中广泛应用，10040有×=52人认为chatgpt不会在服务业中广泛应用，100则x的可能取值为1,2,3，12213cc3cc31c32323又px(=1)==,2px(=)==,3px(=)==，333c10c5c10555所以x的分布列为x123331p105103319所以ex()=×+×+×=123.10510516.【解析】（1）设ac的中点为o，因为ab=bc，所以bo⊥ac，因为ad=cd，所以do⊥ac，所以bod,,三点共线，所以bd⊥ac，因为pa⊥平面abcdbd,⊂平面abcd，所以bd⊥pa，因为pa∩=⊂acapa,平面pacac,⊂平面pac，所以bd⊥平面pac，因为bd⊂平面pbd.所以平面pac⊥平面pbd.（2）解：以ocod,所在的直线为x轴和y轴，过o点作平行于ap的直线为z轴建立空间直角坐标系，则cpb(3,0,0,)(−−3,0,2,)(0,1,0)，31因为m为pb的中点，所以m−−,,1，22设pn=λλpc(01)，所以n(23λλ−−3,0,22)，31所以mn=−−23λλ,,12，22由（1）知bd⊥平面pac，所以平面pac的一个法向量为n=(0,1,0)，设直线mn与平面pac所成角为θ，学科网（北京）股份有限公司,mnn⋅12则sinθ=cosmnn,===，mnn2.16λλ2−+1022pn1pn32即当=或=时，直线mn与平面pac所成角的正弦值为.pc4pc8217.【解析】（1）设圆c的半径为rr(>0)，依题意知，圆心C的坐标为(2,r)，2223255因为MN=3，所以r=+=2，所以r=，24222525圆C的方程为(xy−+−=2).2422525（2）把x=0代入方程(xy−+−=2)，解得y=1或y=4，24即点MN(0,1,)(0,4).①当AB⊥x轴时，可知∠∠ANM=BNM=0；②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1.y=kx+1,22联立方程xy22消去y得(12+k)x+−=4kx60.+=1,8422Δ=++>16kk2412()0恒成立.22xy−−46k设直线AB交椭圆+=1于AxyBxy(11,,,)(22)两点，则x1+=x222,xx12=，8412++kk12y1212−−−−4433ykxkx23kxx12−+(x1x2)1−12kk12所以kkAN+=IN+2=+==22+=0，xxxxxxxx12++k12k1121212所以∠∠ANM=BNM.综合①②知∠∠ANM=BNM.18.【解析】（1）f′(x)=+lnx12−−=−−ax3lnx2ax2，又x=1是函数fx()的一个极值点，学科网（北京）股份有限公司,∴f′(10)=，即−−=∴=−2aa20,1.1∴=fx′()lnxx+−22，令hx()=+−lnxx22,hx′()=+>20，x∴fxhx′()=()在(0,+∞)上单调递增，且f′(10)=，∴fx()在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴=x1是fx()的极小值点时，实数a的值为-1.（2）①f′(x)=+lnx12−−=−−ax3lnx2ax2，2由于fx()=−−∈xxaxln3xa(R)有两个极值点xx12,，所以方程fx′()=0在(0,+∞)上有两个不同的根，即方程lnx−−=2ax20有两个不同的正数根，lnx−2转化为函数gx()=与函数ya=2的图象在(0,+∞)上有两个不同交点，x3ln−x3ln−x令gx′()=，令gx′()==0，解得322xe=，xx当33x>e时，gx′()<0,gx()单调递减，当0e<<x时，gx′()>0,gx()单调递增，2gx>=0,ge20，故作出gx()的图象如下：且当x>e时，()()11由图象可得：2a∈0,，即a∈0,.33e2e②由（1）知：xx12,是lnx−−=2ax20的两个根，lnxx−ln12故−+2lnx11−2ax=−+0,2lnx22−2ax=0，则2a=，xx−12xlnxx−lnlnt112不妨设t=∈(0,1)，则tx21=x，则−+2lnx2−xx22=⇒0ln=+2，xxx−−t1212故由2ax12+kxln>+3k1可得，lnxx−lnlntttln12xkx12+ln>+⇒3k1txkx22+ln>+⇒+3k1kxln2>+3k1，x−xtx−−xt11222学科网（北京）股份有限公司,ttlnlnttttln−+1t−−1lnt+kk+>+231，化简得>k，tt−−11tt−−11由于01<<t，所以等价于tttln−+−1kt(−−1lnt)<0对任意的01<<t恒成立，令ftttt()=ln−+−1kt(−−1lnt)，故ft()<0对任意的01<<t恒成立，k则ft′()=−+lntk，tk1ktk−设mt()=−+lntk，则mt′()=−=，22tltttk−（i）当k0时，mt′()=>0,mt()=Ft′()单调遥增，故FtF′()<′(1)=0,Ft()单调递减，故2tFtF()>=(10)，不满足，舍去；tk−（ii）当k1时，mt′()=<0,mt()=Ft′()单调递减，故FtF′()>′(1)=0,Ft()单调递增，故2tFtF()<=(10)，故Ft()<0恒成立，符合题意；tk−（iii）当01<<k时，令mt′()==0，则tk=，当kt<<1时，mx′()>0,mxFt()=′()单调递增，2t当0<<tk时，mx′()<0,mt()=ft′()单调递减，又f′(10)=，故kt<<1时，ftf′()<=′(10)，此时ft()单调递减，故ftf()>=(10)，因此当kt<<1时，Ft()>0，不符合题意，舍去.综上，实数k的取值范围为[1,+∞).*19.【解析】（1）bnn=2，对任意的mn,∈N,mnb≠,m=2,mbn=2,nbmn+=+=+b2m2n2(mn)，取kmn=+，则bbbbmnk+=∴,{n}是“G数列”.（2）数列{an}为等差数列，**①若{an}是“G数列”，aa12=8,∈N，且aadaa21>,=−>∈210,dN，则an=+−81(nd)，*对任意的mn,∈N,mna≠,mn=+−8(m1,)da=+−8(n1)d，aa+=+++−88(mn2)d，由题意存在k∈N*，使得aaamnk+=，mn即88+++−(mn2)d=+−8(kd1)，显然kmn+，学科网（北京）股份有限公司,所以(mn+−28)d+=−(kdkmnd1,)(−−+1)=8，kmn−−+∈1N′.所以d是8的正约数，即d=1,2,4,8，d=1时，a2=9,kmn=++7；d=2时,a2=10,kmn=++3；d=4时,a2=12,kmn=++1；d=8时,a2=16,kmn=+.综上，a2的可能值为9,10,12,16.②若对任意**n∈N，存在k∈N，使得aSkn=成立，*所以存在t∈N,aaSat+==,3，122t设数列{an}公差为d，则2ada11+=+−(t1,)da1=−(t2)d，atn=−(21)dndtnd+−()=+−(3)，*对任意mn,∈N,mna≠,mn=+−(ιιm3,)da=+−(n3)d，aa+=++−(26tmn)d，取ktmn=++−∈3N*，则mnak=−+(t326kd)=++−(tmn)daa=+mn，所以数列{an}是“G数列”.学科网（北京）股份有限公司</tk时，mx′()<0,mt()=ft′()单调递减，又f′(10)=，故kt<<1时，ftf′()<=′(10)，此时ft()单调递减，故ftf()></k时，令mt′()==0，则tk=，当kt<<1时，mx′()></t，所以等价于tttln−+−1kt(−−1lnt)<0对任意的01<<t恒成立，令ftttt()=ln−+−1kt(−−1lnt)，故ft()<0对任意的01<<t恒成立，k则ft′()=−+lntk，tk1ktk−设mt()=−+lntk，则mt′()=−=，22tltttk−（i）当k0时，mt′()=></x时，gx′()></x，又f′(00)=，因此x=0为fx()的x+2一个极小值点，d正确，故选bcd.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.240【解析】根据题意，分2步进行分析：2①将5名学生志愿者分为4组，有c5=10种分组方法，4②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有a4=24种情况，则有1024×=240种分配方案.13.2【解析】由题意可知两圆公共弦ab所在的直线方程为2xy−+=10,c12(0,2,)c(2,1)，所以点c1到1直线2xy−+=10的距离为d=,5cc12=，又cc12⊥ab，所以向量ca1在向量cc12方向上的投511影为d=，所以ccca121⋅=×=51，同理可得cccb121⋅=1，所以cc12⋅+=(cacb11)2.5572314.；【解析】设外接圆半径为r，则r=2，由正弦定理，可知44学科网（北京）股份有限公司,ab3==24r=，sin∠∠acbsinacb37即sin∠acb=，由于∠λcb是锐角，故cos∠acb=，44π又由题意可知p为三角形abc的垂心，即ap⊥bc，故∠∠pac=−acb，27所以sin∠∠pac=cosacb=.4连接ap并延长交bc于d，连接cp并延长交ab于e，连接bp并延长交ac于f，设∠cab=θ∠,,cba=α∠acb=β，πππ则∠pac=−=β∠,,pba−=θ∠pab−α，222由于acabbc::=6:5:4，不妨假设ac=6,kab=5,kbc=4k，222222(6)(5)(4)kkk+−3(4)(5)(6)kkk+−1由余弦定理知cosθα==,cos==，265××kk4245××kk8222(4)(6)(5)kkk+−9cosβ==，24××kk616ππ如图所示，adcebf,,为abc的三条高，由于∠∠ecb+=ebc,∠∠pcd+=cpd，22故∠∠ebc=cpd，则得∠∠∠∠apc=π−=cpdπ−=ebcπ−abc，pcpaacac====24r=所以ππsin∠∠apcsinabc，sin−−βθsin22pbabab===24r=同理可得πsin∠∠apbsinacb，sin−α231923所以papb++=pc4cos(θαβ+cos+cos)=×++4=.48164四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）零假设为h0：chatgpt应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.22130(60204010)××−×根据表中数据得χ=≈<=6.6036.635x，0.01706010030×××学科网（北京）股份有限公司,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断h0不成立，因此可以认为无关.（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，60有×=53人认为chatgpt会在服务业中广泛应用，10040有×=52人认为chatgpt不会在服务业中广泛应用，100则x的可能取值为1,2,3，12213cc3cc31c32323又px(=1)==,2px(=)==,3px(=)==，333c10c5c10555所以x的分布列为x123331p105103319所以ex()=×+×+×=123.10510516.【解析】（1）设ac的中点为o，因为ab=bc，所以bo⊥ac，因为ad=cd，所以do⊥ac，所以bod,,三点共线，所以bd⊥ac，因为pa⊥平面abcdbd,⊂平面abcd，所以bd⊥pa，因为pa∩=⊂acapa,平面pacac,⊂平面pac，所以bd⊥平面pac，因为bd⊂平面pbd.所以平面pac⊥平面pbd.（2）解：以ocod,所在的直线为x轴和y轴，过o点作平行于ap的直线为z轴建立空间直角坐标系，则cpb(3,0,0,)(−−3,0,2,)(0,1,0)，31因为m为pb的中点，所以m−−,,1，22设pn=λλpc(01)，所以n(23λλ−−3,0,22)，31所以mn=−−23λλ,,12，22由（1）知bd⊥平面pac，所以平面pac的一个法向量为n=(0,1,0)，设直线mn与平面pac所成角为θ，学科网（北京）股份有限公司,mnn⋅12则sinθ=cosmnn,===，mnn2.16λλ2−+1022pn1pn32即当=或=时，直线mn与平面pac所成角的正弦值为.pc4pc8217.【解析】（1）设圆c的半径为rr(></s30π.故选b.7.c【解析】设共同的焦点为(−cc,0,,0)()，设pf12=spf,=t，由椭圆和双曲线的定义可得sta+=2,stm−=2，解得samtam=+=−,，π222在pff12中，∠fpf12=，可得ff12=+−⋅⋅pf1pf22pf1pf2cos∠fpf12，322222即为4()()cam=++−−+am(amamam)(−=+)3，am22313即有+=4，即22+=4，cc22ee1213333由2+2222，可得ee12⋅，当且仅当ee21=3时，取得最小值，故选c.e1e2ee12228.a【解析】2cos40+cos802cos120(−+80)cos802cos120cos80(+sin120sin80)+cos803sin80====3sin80sin80sin80sin80.故选a.9.bd【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以a错；将成交量数据按大小顺序排学科网（北京）股份有限公司,13832162638166++++++列，中.位数为26，所以b对；日平均成交量为≈42.7，超过42.7的只有一7天，所以c错；10月7日认购量的增量为276112164−=，成交量的增量为16638128−=，所以d对，故选bd.10.abd【解析】对于a，由题意，设直线aby:1=kx+，y=kx+1,联立消去y整理得：22x−−=440kx，又axybxy(11,,,)(22)，xy=4,则xx12+=4,kxx12⋅=−4，所以a正确；2121对于b，由抛物线xy=4.可得yx=，则yx′=，4211212则过点a的切线斜率为x1，易知yx=1，即axx11,，244112112则切线方程为：yx−=−xxx()，即y=xx−x，111114224若x1=2时，则过点a的切线方程为：xy−−=10，所以b正确；11111对于c，由选项b可得：直线ap的斜率为x，直线bp的斜率为x，因为x⋅==xxx−1，12121222224所以ap⊥bp，即papb⋅=0，所以c错误；112对于d，由选项b可知，过点b的切线方程为y=xx−x，联立直线papb,的方程可得222411p(2,1,k−)kpf=−,kpf⋅=kab−⊥1,pfab，所以sabp=abpf⋅，k2222222ab=+1kx12−=+x1k(x12+−⋅=+x)4xx121k16k+=+1641(k)，2222pf=(2k−0)+−−(11)=4k+=421+k，3则sk=41(+2)2，当k=0时，sabp有最小值为4,d正确.故选abd.abpx11.bcd【解析】由题可知ff(−=1)(00)=，即x=−1和x=0是函数fx()=+(x1e)(−−x1)的零点，a不正确；xx当x></ln，可得0<<mn，xmn又因为函数y=e为单调递增函数，可得ee<，即充分性成立；反之：由eemn<，可得mn<，当mn,小于0时，此时ln,lnmn没意义，即必要性不成立，所以“lnmn<ln”是“eemn<”的充分不必要条件，故a正确；对于b，命题：∀></ln”是“eemn<”的充分不必要条件b.命题：∀>
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