【新结构19题模式】2024届雅礼中学高三一模数学试卷 答案

雅礼中学2024届高三一模数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）21.已知集合U={1,2,4,6,8}，集合M={xx∣∣−+=320,x}N={xx=4,aaM∈}，则U(MN∪=)（）A.{6}B.{4,6,8}C.{1,2,4,8}D.{1,2,4,6,8}1+z2.设复数z满足=−i，则z=（）1−z2A.iB.C.1D.223.已知mn,表示两条不同直线，α表示平面，则（）A.若m∥α,n∥α，则m∥nB.若mn⊥⊂αα,，则mn⊥C.若m⊥⊥α,mn，则n∥αD.若m∥α,mn⊥，则n⊥α4π4.已知向量a=log3,sin23,bm=(log8,)，若ab⊥，则m=（）3A.−23B.−3C.23D.325.函数fx()的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-101235fx()2.31.10.71.12.35.949.1学科网（北京）股份有限公司 xxA.fx()=ka+bB.fx()=kxe+b2C.fx()=kxb+D.fxkx()=−+(1)b6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以AA,分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白12球，则下列结论错误的是（）5A.AA12,互斥B.PBA(∣1)=7113C.PAB()=D.PB()=27217.已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为STnn,，如果关于x的实系数方程221003xSxT−+=100310030有实数解，那么以下1003个方程x−+==axbii0(i1,2,,1003)中，有实数解的方程至少有（）个A.499B.500C.501D.50222xy68.双曲线C:22−=>>1(ab0,0)的左､右焦点分别是FF12,，离心率为，点Pxy(11,)是C的右支上ab2异于顶点的一点，过F2作∠FPF12的平分线的垂线，垂足是M，MO=2，若C上一点T满足FTFT⋅=5，则T到C的两条渐近线距离之和为（）12A.22B.23C.25D.26二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变π2π10.已知函数fx()=sinωx+>3cosωωx(0)满足：ff=2,=0，则（）637πA.曲线yfx=()关于直线x=对称6πB.函数yfx=−是奇函数3学科网（北京）股份有限公司 π7πC.函数yfx=()在,单调递减66D.函数yfx=()的值域为[−2,2]11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P−ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）πA.直线AE与PB所成的角为2B.ABE的周长最小值为4+346C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3262−D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为5三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）6112.在二项式(xx−+12)的展开式中，常数项为__________.x13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时__________，圆锥的体积最大，最大值为__________.a214.对于任意两个正实数ab,，定义ab⊗=⋅λ，其中常数λ∈,1.若uv≥>0，且uv⊗与vu⊗都b2n是集合xx=,n∈Z的元素，则uv⊗=__________.2四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）315.（13分）已知函数fx()=−+xaxa.（1）若x=1是函数fx()的极值点，求fx()在(−−1,f(1))处的切线方程.（2）若a>0，求fx()在区间[0,2]上最大值.学科网（北京）股份有限公司 16.（15分）如图，在平行六面体ABCD−ABCD1111中，AB=AD=AA1=1,∠DAB=90，21cos<AAAB,>=,cos<AAAD,>=，点M为BD中点.1122（1）证明：BM1∥平面ACD11；（2）求二面角B−−AA1D的正弦值.17.（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求PPPP1234,,,；（3）对于事件ABC,,，当PAB()>0时，写出PAPBAPCABPABC(),,,(∣∣)()()的等量关系式，并加以证明.223xy118.（17分）己知椭圆C:+=>>1(ab0)的离心率为，且点1,−在椭圆上.222ab2（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点(−1,0)与椭圆交于MN,两点，椭圆C的左､右顶点分别为22kk+12AB,，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值.kk⋅12学科网（北京）股份有限公司 19.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数mm(≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为aa12,,,,aaaakk−1(1<<<2ak).（1）当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；（2）当k≥4时，若aaaa213−−,2,,aakk−−1构成等比数列，求正整数a；（3）记Aaa=+++aaaa，求证：Aa<2.1223kk−1学科网（北京）股份有限公司 雅礼中学2024届高三一模数学参考答案1.A【解析】由题知M={1,2,}N={4,8,}∴U(MN∪=){6}.1+z1i+1i+2.C【解析】由=−i解得zz=,1∴==.1−z−+1i−+1i3.B【解析】若m∥α,n∥α，则mn,相交或平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊂α，则mn⊥，故B正确；若m⊥⊥α,mn，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m∥α，mn⊥，则n∥α或n⊂α或n⊥α或n与α相交，故D错误.故选：B.4π34.C【解析】因为ab⊥，所以ab⋅=0，即log3log823×+msin=0，所以log82−=m0，所以32m=23.故选C.5.A【解析】由函数fx()的数据可知，函数f(−=2)ff(2,)(−=1)f(1)，偶函数满足此性质，可排除B,D；当x>0时，由函数fx()的数据可知，函数fx()增长越来越快，可排除C.故选：A.16.C【解析】因为每次只取一球，故AA12,是互斥的事件，故A正确；由题意得PA(1)=，325152413PA(2)=,,PBA(∣1)=PBPABPAB()=(12)+()=×+×=，故B，D均正确；因为37373721248PAB(2)=×=，故C错误.故选C.372121003(aa1+1003)7.D【解析】由题意得：ST1003−×4100310030，其中Sa1003==1003502，21003(bb1+1003)2Tb1003==1003502，代入上式得：ab502−40502，222要方程x−+==axbii0(i1,2,3,,1003)无实数解，则abii−<40，显然第502个方程有解.设方程22x−+=axb110与方程xaxb−+=100310030的判别式分别为Δ1,Δ1003，2222则Δ1+=−+−Δ1003(aba1441)(1003b1003)=+−+aa110034(bb11003)22(aa1+1003)(2a502)2−×42b502=−8bab502=2(502−4502)0,22等号成立的条件是aa1=1003，所以Δ1<<0,Δ10030至多一个成立，学科网（北京）股份有限公司 同理可证：Δ2<<0,Δ10020至多一个成立，Δ501<<0,Δ5030至多一个成立，且Δ5020，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D.8.A【解析】设半焦距为c，延长FM2交PF1于点N，由于PM是∠FPF12的平分线，FM2⊥PM，所以NPF2是等腰三角形，所以PN=PF∣2，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知PF12−=PF2a，即NF1=2a，由于O是FF12的中点，16所以MO是NFF12的中位线，所以||MO=NF1=a=2，又双曲线的离心率为，222x2所以cb=3,=1，所以双曲线C的方程为−=y1.所以FF12(−3,0,)(3,0)，2双曲线C的渐近线方程为xy±=20，设TuvT(,,)到两渐近线的距离之和为S，则uvuv+−22FTFT⋅=−u3u+3+=+−=v222uv3522S=+，由12()()，得uv+=8，3322x2u22222又T在Cy:1−=上，则−=v1，即uv−=22，解得uv=6,=2，所以uv>2，故222uS==22，即距离之和为22.故选A.39.AD【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25，平均数是(121622242531333545++++++++÷=)927，方差是1222222222824×−(15)(11)(5)(3)(2)46818+−+−+−+−++++=，由40%9×=3.6，得原数据的第9940百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得18616,22,24,25,31,33,35，其中位数为25，平均数是(16222425313335++++++÷=)7，方差是722222221743218113145591916×−+−+−+−+++=，由40%7×=2.8，得新7777777749数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故AD,正确，BC,错误.故选：AD.π10.ABD【解析】fx()=2sinωx+，所以函数yfx=()的值域为[−2,2]，故D正确；3学科网（北京）股份有限公司 2π2ππ31k1−π因为f=0，所以ω+=kkZπ,∈，所以ω=,kZ∈，因为f=2，所以11133326πππ31k−ω=+∈12kkZ1,，所以1kk=81+，所以ω+=+2kkZ22π,∈，所以22=12k2+1，即1263227π7ππ3πω∈{1,13,25,37}，因为fk=2sin12(22++=1)2sin14kπ+=−2，所以曲线66327πyfx=()关于直线x=对称，故A正确；因为6πππfx−=2sin12(kx2+−+=1)2sin12((kxk22+−1)4π)=2sin12((kx2+1))即333πππfx−=−−−fx，所以函数yfx=−是奇函数，故B正确；取ω=13，则最小正周期3332π2π7ππT==<−=π，故C错误.故选：ABDω136611.ACD【解析】A选项，连接AD，由于D为PB的中点，所以PB⊥⊥CDPB,AD，又CD∩=ADDADCD,,⊂平面ACD，所以直线PB⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，所以PB⊥AE，故A正确；B选项，把ACD沿着CD展开与平面BDC在同一个平面内，连接AB交CD于点E，则AE+BE的最小值即为AB的长，由于AD=CD=23,AC=4，222222CD+−ADAC(23)+(23)−41cos∠ADC===,23CDAD⋅22323××π22cos∠ADB=+=cos∠∠ADC−=sinADC−,232222222166所以AB=BD+AD−2BDAD⋅cos∠ADB=+2(23)−××2223×−=+16，故3316666AB=+=+1641,ABE的周长最小值为441++,B错误；333C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，学科网（北京）股份有限公司 取AC的中点M，连接BMPM,，过点P作PF垂直于BM于点F，则F为ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，因为AM=2,AB=4，所以12322BM=−=ABAM23，同理PM=23，则MF=BM=，故33224646PF=−=PMMF，设OF=ON=R，故OP=−=−PFOFR，因为PNO∼PFM，3346−RONOPR36所以=，即=，解得RC=,正确；FMPM232333D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体QVKG−，由C选项可知，其高为26r，由C选项可知，PF是正四面体P−ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ3261交于Z，则QS=rSF,=r，由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的，如图正四面体34266262−PHIJ−中，QZ=rQP,3=r，正四面体P−ABC高为34r+rr+=×，解得r=,D正335确.故选：ACD.6666111112.-160【解析】(x−+=+−+12)xxx22x，因为2x+的通项公式为xxxxk6k6−k1kkk6−−621Tk+16=C(2)x=C26x(0kk6,∈N)，所以在xx2+中，当62−=k−1时，不满xx6133足；在2x+中，当620−=k时，k=3，则常数项为T46=C2=160，故答案为-160.x学科网（北京）股份有限公司 616313.；π327【解析】设圆锥的底面半径r，母线为l，高为h，π设母线与底面所成的角为αα0<<，2r则cosαα=<<(0cos1)，l则r=2cosα，则hlr=−=−2221cos2α，11222846则圆锥的体积为Vh=⋅⋅=⋅πrπ(2cos)21cosα⋅−α=πcosαα−cos，333846令xx=cos(0α<<1)，则Vx()=πx−x，3463532令fxxx()=−，求导得fx′()=−=46xx223x(−x)，66令fx′()=0，则x=或−（舍去），336所以当x∈0,时，fx′()>0,fx()单调递增，36当x∈,1时，fx′()<0,fx()单调递减，36所以当x=时，fx()取得极大值，也是最大值.38466163此时Vx()=πx−x最大，VVmax==π，33276即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值cosα=时，3163圆锥的体积最大，最大值为π.276163故答案为：;π.327314./1.52学科网（北京）股份有限公司 n【解析】解：由uv⊗与vu⊗都是集合xx=,n∈Z的元素，2uv11不妨设uv⊗=⋅=λλnvu,⊗=⋅=nnn,,∈Z,1212vu22v因为uv≥>0，所以01<≤，u21v由已知λ∈,1，所以n2=⋅∈λ(0,1)，则n2∈(0,2)，22u1λv又n2∈Z，所以n2=1，即=，2uu2所以λ=∈,1，22v2uu所以∈∈(2,2,)2(2,4)，vv2uu11则λ⋅=×=∈2n1(1,2)，即n1∈(2,4)，vv22133因为n1∈Z，所以n1=3，则n1=，即uv⊗=.222四､解答题（本题共6小题，共70分）215.解：（1）fxxa′()=3−，又x=1是函数fx()的极值点，∴fa′(13)=−=0，即a=332∴=fxx()=−+3x3,fx′()3x−3∴ff(−=1)5,′(−=1)0fx()在(−−1,f(1))处的切线方程为yx−=501(+)，即y=5，所以fx()在(−−1,f(1))处的切线方程是y=52a（2）fxxa′()=3−，令fx′()=0，得x=±，3aa∴fx()在0,单调递减，在,+∞单调递增33学科网（北京）股份有限公司 而f(0,28)=af()=−a①当aa≥−8，即a≥4时，fx()max=a②当08<<−aa，即04<<a时，fx()max=−8a综上，当a≥4时，fx()max=a；当04<<a时，fx()max=−8a216.解：（1）因为cosAAAB1,=，所以∠AAB1=45，21因为cosAAAD1,=，所以∠AAD1=60，2以A为原点建立如图所示的坐标系，21111211231所以B1++1,,,MAC,,0,11,,,1,,,0,1,0D()，22222222222211211所以BM1=−−−,0,,AC11=(1,1,0,)CD1=−−−−1,,，222222设面ACD11的法向量为mxyz=(111,,)，xy+=011所以211，令x1=1，所以m=−−−(1,1,21)，−−−−=10xyz111222因为BMm11⋅=0,BM不在面ACD11内，所以BM1∥平面ACD11；（2）B(1,0,0)，所以AB=(1,0,0)，设面BAA1的法向量nxyz=(222,,)，学科网（北京）股份有限公司 x=02112因为AA1=,,，所以211，222xyz222++=0222令y2=1，则n=(0,1,1−)，设面AAD1的法向量oxyz=(333,,)，211xyz++=0333因为AD=(0,1,0)，所以222，y=03no⋅3令x3=1，所以o=(1,0,−2)，所以cosθ==，no36所以二面角B−−AA1D的正弦值为.317.（1）记事件“第i次摸到红球”为Aii(=1,2,3,,10)，则第2次摸到红球的事件为A2，于是由全概率公式，72377得PA(2)=PAPAAPAPAA(12)(∣∣1)+(12)(1)=×+×=.103109103A77（2）由已知得PPAAA1=(123)=3=，A24107PPA21=()=，102PAA(12)A7107102PPAA3=(∣21)==×=×=2，PA(1)A1071573PAAA(123)7155P4=PAAA(∣312)==×=.PAA(12)2478（3）（2）可得P1=PPP234，即PAAA(123)=PAPAAPAAA(1)(∣∣21)(312)，可猜想：PABC()=PAPBAPCAB()(∣∣)()，证明如下：由条件概率及PA()>>0,PAB()0，PAB()PABC()得PBA(∣∣)=,PCAB()=，PA()PAB()学科网（北京）股份有限公司 PAB()PABC()所以PAPBAPCAB()(∣∣)()=⋅⋅=PA()PABC().PA()PAB()223xy118.（1）解：由椭圆C:+=>>1(ab0)的离心率为，且点1,−在椭圆上，222ab2222c1bc13可得=，所以=−=−=11，22a2aa2431922又点1,−在该椭圆上，所以+=1，所以ab=4,=3，222ab422xy所以椭圆C的标准方程为+=1.43（2）证明：设MxyNxy(11,,,)(22)，由于该直线斜率不为0，可设LMN:1x=my−，22xy22联立方程x=my−1和+=1，得(3m+4)y−6my−=90，43Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，693m−yy12+=22,,yy12⋅=myy12⋅=−(yy12+)，34mm++342yy21kk12=,=，xx−+2221k2yx12(−−23)ymy1(2)myy12−3y1===,k1(x1+++21)y2(my1)y2myy12y23k−+−2(yyy12)31kkkk22+1021212∴==∴3,=+=.k3kk⋅kk31−++(yyy122)1221219.解：（1）当k=4时正整数a的4个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为8的所有正约数，即a=8.aa（2）由题意可知a1=1,akk=aa,−−12=,ak=，aa23aa−aaaa32−−=kk−1aa32−a2因为k≥4，依题意可知，所以=，aaaa21−−kk−−12aa21−aa−aa23学科网（北京）股份有限公司 222aa−32化简可得(aa−=−)(a1)a，所以a=，32233aa−21*aa32−*因为a3∈N，所以∈N，aa−21因此可知a3是完全平方数.2由于a2是整数a的最小非1因子，a3是a的因子，且aa32>，所以aa32=，2kk−−12所以aaaa213−−,2,,aakk−−1为aaaaa2−−1,22,,2−2，k−1所以aak=2,4().（3）证明：由题意知aa1k=aaa,21k−=a,,aaiki+−1=a,,1(≤≤ik)，222aaa所以A=+++，aaaaaakk−1kk−−21121aa−111aa−1121kk−1因为≤=−,,≤=−，aaaaaaaaaaaa121212kk−−−1kk1k1k222aaa2111所以Aa=+++=+++aaaaaaaaaaaakk−1kk−−2112kk−1kk−−21122211111111≤aa−+−++−=−，aaaaaaaa1223kk−11k11因为aaa1=1,k=，所以−<1，aa1k2211所以Aa≤−<a，即Aa<2.aa1k学科网（北京）股份有限公司