九省联考新题型背景专题训练-2024届高三数学二轮复习（学生版）
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九省联考后精典的新题型背景一、单选题iθ1(山东省名校考试联盟2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题)欧拉公式e=cosθ+isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建iθ立了三角函数与指数函数的关系．已知z=ie，则z=()A.1B.2C.2D.22iπ2(2024届九省联考高考适应性考试数学变式卷(2))欧拉恒等式e+1=0也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底数e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0．因此，数学家们评价它是“上帝创造iθ的公式，我们只能看它而不能理解它”．根据该公式，引出了复数的三角表示：e=cosθ+isinθ，由此建立了三角函数与指数函数的关系，是复数体系发展的里程碑．根据上述信息，下列结论正确的是()iπiπA.e的实部为1B.e对应的点在复平面的第二象限2i2iC.e的虚部为1D.e对应的点在复平面的第二象限3(2024届高三新高考改革数学适应性练习(7)(九省联考题型))柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数2222222a1a2a3a1,a2,a3和b1,b2,b3，有a1+a2+a3b1+b2+b3≥a1b1+a2b2+a3b3等号成立当且仅当==已b1b2b3222知x+y+z=14 ，请你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是()A.14B.12C.10D.84(2024届高三新高考改革数学适应性练习(5)(九省联考题型))“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数nn≠1经过Jn次角股运算后首次得到1(若n经过有限次角股运算均无法得到1，则记Jn=+∞)，以下说法有误的是()*A.Jn可看作一个定义域和值域均为N的函数B.Jn在其定义域上不单调，有最小值，无最大值C.对任意正整数nn≠1，都有JnJ2=J2n-1nnnD.J2=n是真命题，J2-1≤J2+1是假命题5(重庆市部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题)古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》a+b+c中最早记录了“海伦公式”：S=pp-ap-bp-c，其中p=，a，b，c分别为△ABC的三个2内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3，且△ABC的面积为123，则BC边上的中线长度为()A.32B.4C.74D.266(安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二上学期二调考试(12月)数学试题)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点Ax1,y1,Bx2,y2的曼哈顿22距离为：dA,B=x1-x2+y1-y2.已知点M在圆O:x+y=1上，点N在直线l:3x+y-9=0上，则dM,N的最小值为()1,91091018-21010A.B.-1C.D.3-101053二、多选题7(云南省下关一中教育集团2023-2024学年高二上学期12月段考(二)数学试卷)欧拉是科学史上最ix多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为e=cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数，i为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是()iπ2A.复数e为纯虚数i3B.复数e对应的点位于第二象限iπ313C.复数e的共轭复数为-i22iθD.复数e(θ∈[0,π])在复平面内对应的点的轨迹是半圆8(重庆市南开中学校2023-2024学年高三第六次质量检测(2月)数学试题)平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：(1)平面上，过点Qx0,y0，且以m=a,bab≠0为方向向量的平面直线l的方x-x0y-y0程为=；在空间中，过点Qx0,y0,z0，且以m=a,b,cabc≠0为方向向量的空间直线l的方abx-x0y-y0z-z0程为==.(2)平面上，过点Qx0,y0，且以u=m,nmn≠0为法向量的直线l的方abc程为mx-x0+ny-y0=0；空间中，过点Qx0,y0,z0，且以u=m,n,pmnp≠0为法向量的平面α的方程为mx-x0+ny-y0+pz-z0=0.现已知平面α:2x+3y+4z=5，平面β:-x-2y+2z=0，2x-y=10l1:，l2:6x=4y+1=3z-1，则()y+z=-1A.l1⎳αB.α⎳βC.l1⊥βD.l2⊥β9(浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期5月模拟考试数学试题)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：x-x0y-y0(1)过点P0x0,y0,z0，且以u=a,b,cabc≠0为方向向量的空间直线l的方程为==abz-z0；c(2)过点Px0,y0,z0，且v=m,n,tmnt≠0为法向量的平面α的方程为mx-x0+ny-y0+tz-z0=0．2x-y=1x-1yz现已知平面α:x+2y+3z=6，l1:，l2:x=y=2-z，l3:==()3y-2z=15-41A.l1⎳αB.l2⎳αC.l3⎳αD.l1⊥α10(期末真题必刷压轴60题(22个考点专练)-【满分全攻略】(人教A版2019必修第一册))高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，如：[1.2]=1，[-1.2]=-2，y=[x]又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是()1A.∀x∈R，[2x]=2[x]B.∀x∈R，[x]+x+=2x22C.∀x，y∈R，若[x]=[y]，则有x-y>-1D.方程x=3[x]+1的解集为7，102,11(广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考数学试题)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数f(x)有两个不相等的实根b,c，其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐xn-b标为x2；用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列{xn}.记an=ln，且a1=1，xn>c，下xn-c列说法正确的是()ec-bA.x1=(其中lne=1)B.数列{an}是递减数列e-1C.a=1D.数列a+1的前n项和S=2n-21-n+16nn32an12(重庆市万州第二高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题)德国数学家狄里克雷1805-1859在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数Dx，即：当自变量x取有理数时，函数值为1，当自变量x取无理数时，函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数Dx的性质表述正确的是()A.Dπ=0B.Dx是奇函数C.Dx的值域是0,1D.Dx+1=Dx三、填空题13(湖南省张家界市慈利县第一中学2020-2021学年高一下学期期中检测数学试卷)数学中有很多公式都是数学家欧拉(LeonhardEuler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式V-E+F=2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为14(江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学(理)试题)1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°)，该点称为费马点.已知△ABC中，其中∠A=60°，BC=1，P为费马点，则PB+PC-PA的取值范围是.15(福建省泉州市普通高中2023-2024学年高二上学期12月学科竞赛数学试题)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数y=xx∈R称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数.设S=2024k2024+2024k，则S除以2023的余数是.kk=1-1⋅20233,四、解答题16(2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X=1,2,⋯,p-1，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，m,⊗m2,⊗p-2,⊗n,⊗u为u除以p的余数；设a∈X，1,a,a,⋯,a两两不同，若a=bn∈0,1,⋯,p-2，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=log(p)ab．p-1,⊗(1)若p=11,a=2，求a；(2)对m1,m2∈0,1,⋯,p-2，记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时，m1⊕m2=0)．证明：log(p)ab⊗c=log(p)ab⊕log(p)ac，其中b,c∈X；k,⊗k,⊗np-2,⊗(3)已知n=log(p)ab．对x∈X,k∈1,2,⋯,p-2，令y1=a,y2=x⊗b．证明：x=y2⊗y1．17(重庆市巴蜀中学校2024届高考适应性月考卷(六)数学试题)对于函数y=fx,x∈I，若存在x0∈I，使得fx0=x0，则称x0为函数fx的一阶不动点；若存在x0∈I，使得ffx0=x0，则称x0为函数fx的二阶不动点；依此类推，可以定义函数fx的n阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.x(1)已知fx=2+2x-3，求fx的不动点；(2)已知函数fx在定义域内单调递增，求证：“x0为函数fx的不动点”是“x0为函数fx的稳定点”的充分必要条件；21(3)已知a>-1，讨论函数fx=lnx+a+1x-的稳定点个数.e2x4,18(2024·湖北·二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过1渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数fx=(x>0),fx在区间a,b上xb11的图像连续不断，从几何上看，定积分dx便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=所围成的区域(称axxb1为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得dx=lnb-lna，因为曲边梯形ABQP的面积小axa-b于梯形ABQP的面积，即S<s，代入数据，进一步可以推导出不等式：>曲边梯形ABQP梯形ABQPlna-lnb2．1+1aba-ba+b(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<；lna-lnb2(2)已知函数g'(x)=-2sin2x+acosx=-4sinxcosx+acosx，其中a,b∈R．①证明：对任意两个不相等的正数x1,x2，曲线y=fx在x1,fx1和x2,fx2处的切线均不重合；②当b=-1时，若不等式fx≥2sinx-1恒成立，求实数a的取值范围．19(重庆市第八中学校2023-2024学年高三下学期入学适应性考试数学试题)如果函数Fx的导数bFx=fx，可记为Fx=fxdx．若fx≥0，则fxdx=Fb-Fa表示曲线y=fx，直线ax=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．1(1)若Fx=dx，且F1=1，求Fx；xaπ(2)已知0<α<，证明：αcosα<cosxdx<α，并解释其几何意义；201π2π3πnπ22*(3)证明：1+cos+1+cos+1+cos+⋯+1+cos<，n∈N．nnnnnπ5,20(广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三上学期数学周测试题(12))多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c⋯等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变化为a+Δa时，y变化为yΔydydy+Δy，记lim为y对a的导数，其符号为.和一般导数一样，若在a1,a2上，已知>0，则y随着aΔa→0Δadadady的增大而增大；反之，已知<0，则y随着a的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具dady1+y2dy1dy2dy1y2dy1dy2有下列性质：①可加性：=+；②乘法法则：=y2+y1；③除法法则：dadadadadaday1dy1dy2dy2y2da-y1dady2dy2dy1x1212=；④复合法则：=⋅.记y=e+xlnx-x-ex-a.(e=day2dady1dae2e22.7182818⋯为自然对数的底数)，dydy(1)写出和的表达式；dxda(2)已知方程y=0有两实根x1,x2，x1<x2.①求出a的取值范围；dx1+x2②证明>0，并写出x1+x2随a的变化趋势.da21(广东省八校(石门中学、国华纪念中学、三水中学、珠海一中、中山纪念中学、湛江一中、河源中学、深圳实验学校)2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题)关于x的函数fx=lnx+2x-b(b>2)，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”.(1)证明：fx有唯一零点a，且a∈1,b；(2)现在，我们任取x1∈(1,a)开始，实施如下步骤：在x1,fx1处作曲线fx的切线，交x轴于点x2,0；在x2,fx2处作曲线fx的切线，交x轴于点x3,0；⋯⋯在xn,fxn处作曲线fx的切线，交x轴于点xn+1,0；可以得到一个数列xn，它的各项都是fx不同程度的零点近似值.(i)设xn+1=gxn，求gxn的解析式(用xn表示xn+1)；(ii)证明：当x1∈1,a，总有xn<xn+1<a.6,22(广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试(二)数学试卷)已知函数fx=lnx+2x-b(b>2).(1)证明：fx恰有一个零点a，且a∈1,b；(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取x1∈1,a，实施如下步骤：在点x1,fx1处作fx的切线，交x轴于点x2,0：在点x2,fx2处作fx的切线，交x轴于点x3,0；一直继续下去，可以得到一个数列xn，它的各项是fx不同精确度的零点近似值.(i)设xn+1=gxn，求gxn的解析式；(ii)证明：当x1∈1,a，总有xn<xn+1<a.23(浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末数学试题)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线c：y=fx上的曲线段ab，其弧长为δs，当动点从a沿曲线段ab运动到b点时，a点的切线la也随着转动到b点的切线lb，记这两条切线之间的夹角为δθ(它等于lb的倾斜角与la的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越δθ大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义k=为曲线段ab的平均曲率；显然当bδsδθy越接近a，即δs越小，k就越能精确刻画曲线c在点a处的弯曲程度，因此定义k=lim=δs→0δs3221+y(若极限存在)为曲线c在点a处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示y=fx在点a处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；2x21(2)求椭圆+y=1在3,处的曲率；4222y(3)定义φy=为曲线y=fx的“柯西曲率”．已知在曲线fx=xlnx-2x上存在两点31+y33px1,fx1和qx2,fx2，且p，q处的“柯西曲率”相同，求x1+x2的取值范围．7,24(江西省红色十校2023-2024学年高三下学期2月联考数学试卷)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a,b∈z,m∈n+且m>1．若m∣(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(modm)(“|”为整除符号)．2(1)解同余方程：x+2x≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列an，其中a1<a2<a3<⋯<an．①若bn=an+1-ann∈n+，数列bn的前n项和为sn，求s4048；②若cn=tana2n+3⋅tana2n+1n∈n+，求数列cn的前n项和tn．25(湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题)“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数x被m除余r，我们可以写作x≡rmodm．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数m1，m2，⋯，mn两两互质，则对任意的整数：r1，r2，⋯，rn方程组x≡r1modm1x≡r2modm2一定有解，并且通解为x=km+r1t1m1+r2t2m2+⋅⋅⋅+rntnmn，其中k为任意整数，m=m1⋯x≡rnmodmnmm2⋅⋅⋅mn，mi=，ti为整数，且满足miti=1modmi．mi(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第n个满足条件的正整数；(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．(提示：可以用首尾进行相加)．8,26(河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试(期末联考)数学试卷)三阶行列a1a2a3式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：b1b2b3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c1c2c3ijkc2．若a×b=x1y1z1，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1k(x1,y1,z1∈r)，b=x2y2z2x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2∈r)，i,j,k为单位正交基底．以o为坐标原点、分别以i,j,k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知a，b是空间直角坐标系中异于o的不同两点．(1)①若a1,2,1，b0,-1,1，求oa×ob；②证明：oa×ob+ob×oa=0．1(2)记△aob的面积为s△aob，证明：s△aob=oa×ob．22(3)证明：oa×ob的几何意义表示以△aob为底面、oa×ob为高的三棱锥体积的6倍．a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m227(北京市朝阳区2024届高三上学期期中数学试题)已知am=(m≥2)是m⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,m个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记dai,j,as,t=ai,j-as,j+as,j-as,t．*设n∈n，若am满足如下两个性质：①ai,j∈1,2,3;⋯,n(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；②对任意k∈1,2,3,⋯,n，存在i∈1,2,⋯,m,j∈1,2,⋯,m，使得ai,j=k，则称am为γn数表．123(1)判断a3=231是否为γ3数表，并求da1,1,a2,2+da2,2,a3,3的值；312(2)若γ2数表a4满足dai,j,ai+1,j+1=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求a4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意γ4数表a10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得dai,j,as,t=0．9,28(广东省2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学试卷)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|a11a12a13⋯a1n=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵a=a21a22a23⋯a2n，其模可由向量模拓展为a=nna31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋮nn122aij(其中aij为矩阵中第i行第j列的数，∑为求和符号)，记作af，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼i=1j=1nn1a11a1224222222乌斯范数，例如对于矩阵a22==，其矩阵模af=aij=2+4+3+5=36.弗a21a2235i=1j=1罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.100⋯0020⋯0*(1)∀n∈n，n≥3，矩阵bnn=003⋯0，求使bf>35的n的最小值.⋮⋮⋮⋮000⋯n*(2)∀n∈N，n≥3，，矩阵Cnn=1cosθcosθcosθ⋯cosθcosθ0-sinθ-sinθcosθ-sinθcosθ⋯-sinθcosθ-sinθcosθ222200sinθsinθcosθ⋯sinθcosθsinθcosθ求CF.⋮⋮⋮⋮⋮⋮n-2n-2n-2n-20000⋯(-1)sinθ(-1)sinθcosθn-1n-10000⋯0(-1)sinθn+2ln00⋯0n+122n+12n+12lnnlnn0⋯0*n(3)矩阵Dmin=⋮，证明：∀n∈N，n≥3，DF>.3n+9n-1n-1n-14n-14n-14n-1ln3ln3ln3⋯0nnnn3n3n3n3nln2ln2ln2⋯ln210,x29(贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性考试数学试卷(一))英国数学家泰勒发现了如下公式：e23nxxx=1+x+++⋯++⋯其中n!=1×2×3×4×⋯×n,e为自然对数的底数，e=2.71828⋯⋯.以2!3!n!x-xx-xe-ee+e上公式称为泰勒公式.设fx=,gx=，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决22如下问题.x(1)证明：e≥1+x；fx(2)设x∈0,+∞，证明：<gx；x2x(3)设fx=gx-a1+2，若x=0是fx的极小值点，求实数a的取值范围.30(福建省福州第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题)英国数学家泰勒发现了如下357xxx公式：sinx=x-+-+⋯，其中n!=1×2×3×4×⋯×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得3!5!7!335πxxx到一些不等式：当x∈0,时，sinx<x,sinx>x-，sinx<x-+,⋯.23!3!5!πsinx1(1)证明：当x∈0,时，>；2x2(2)设fx=msinx，若区间a,b满足当fx定义域为a,b时，值域也为a,b，则称为fx的“和谐区间”.(i)m=1时，fx是否存在“和谐区间”？若存在，求出fx的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；(ii)m=-2时，fx是否存在“和谐区间”？若存在，求出fx的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.11,n31(北京市第四中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题)对于给定的正整数n，记集合R=αα=x1,x2,x3,⋅⋅⋅,xn,xj∈R,j=1,2,3,⋅⋅⋅,n，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0=0,0,⋅⋅⋅,0称n为零向量．设k∈R，α=a1,a2,⋅⋅⋅,an，β=b1,b2,⋅⋅⋅,bn∈R，定义加法和数乘：α+β=a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,an+bn，kα=ka1,ka2,⋅⋅⋅,kan．对一组向量α1，α2，⋯，αs(s∈N+，s≥2)，若存在一组不全为零的实数k1，k2，⋯，ks，使得k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+ksαs=0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=1,1,1，β=2,2,2；②α=1,1,1，β=2,2,2，γ=5,1,4；③α=1,1,0，β=1,0,1，γ=0,1,1，δ=1,1,1．(2)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知mm≥2个向量α1，α2，⋯，αm线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明下列结论：①如果存在等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0(ki∈R，i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)，则这些系数k1，k2，⋯，km或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0(ki∈R，l1∈R，i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)同时成k1k2km立，其中l1≠0，则==⋅⋅⋅=．l1l2lm232(云南省昆明市西山区2024届高三第三次教学质量检测数学试题)我们把a0+a1x+a2x+⋯⋯+ann**x=0(其中an≠0，n∈N)称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元nn∈N次多项式*方程(即a0，a1，a2，⋯，an为实数)在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元nn∈N次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算)．那么我们由代数基本定理可知：任何复系*数一元nn∈N次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即a0+a1x+2nk1k2km*a2x+⋯⋯+anx=anx-α1x-α2⋯x-αm，其中k，m∈N，k1+k2+⋯⋯+km=n，α1，α2，⋯⋯，2nαm为方程a0+a1x+a2x+⋯⋯+anx=0的根．进一步可以推出：在实系数范围内(即a0，a1，a2，⋯，an为实2n2n数)，方程a0+a1x+a2x+⋯⋯+anx=0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x+⋯⋯+anx必可分解因式．333例如：观察可知，x=1是方程x-1=0的一个根，则x-1一定是多项式x-1的一个因式，即x-1=2x-1ax+bx+c，由待定系数法可知，a=b=c=1．3(1)解方程：x-2x+1=0；23+(2)设fx=a0+a1x+a2x+a3x，其中a0，a1，a2，a3∈R，且a0+a1+a2+a3=1．23(i)分解因式：x-a0+a1x+a2x+a3x；(ii)记点Px0,y0是y=fx的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点．求证：当a1+2a2+3a3≤1时，x0=1．12,33(山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义ma0+a1x+⋯+amx(m+n)(m+n)为：R(x)=，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，⋯，f(0)=Rn1+b1x+⋯+bnx(4)(5)(4)(n)(n-1)(0)．(注：f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，⋯；f(x)为f(x)的导ax数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=．1+bx(1)求实数a，b的值；(2)比较fx与R(x)的大小；f(x)1(3)若h(x)=--mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．R(x)234(重庆市求精中学校2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos2B+cos2C-cos2A=1(1)求A；(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；(3)设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的最小值．13,35(东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题)十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为12，2表示为102，3表示为112，5表示为1012，发现若n∈N+可表示为二进制表达式a0a1a2⋅⋅⋅ak-1ak2，则nkk-11=a0⋅2+a1⋅2+⋅⋅⋅+ak-1⋅2+ak，其中a0=1，ai=0或1(i=1,2,⋅⋅⋅k).(1)记Sn=a0+a1+⋅⋅⋅+ak-1+ak，求证：S8n+3=S4n+3；(2)记In为整数n的二进制表达式中的0的个数，如I2=1，I3=0.(ⅰ)求I60；511In(ⅱ)求2(用数字作答).n=136(2024届广东省(佛山市第一中学、广州市第六中学、汕头市金山中学、)高三六校2月联考数学试2y2x1卷)如图，已知椭圆Γ的短轴长为4，焦点与双曲线-=1的焦点重合.点P4,0，斜率为的直线4-tt2l1与椭圆Γ交于A,B两点.(1)求常数t的取值范围，并求椭圆Γ的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述2y2xxyyx00的.对于椭圆Γ:2+2=1，极点Px0,y0(不是原点)对应的极线为lP:2+2=1，且若极点P在x轴abab上，则过点P作椭圆的割线交Γ于点A1,B1，则对于lP上任意一点Q，均有kQA1+kQB1=2kPQ(当斜率均存在时).已知点Q是直线l1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆Γ于M,N两点.①设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点；②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标.14,37(2024年九省联考数学模拟试卷)拓扑学是一个研究图形(或集合)整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面E2=x，y|∀x，y∈R，定义222对A1x1，y1，A2x2，y2，其度量(距离)dA1，A2=x1-x2+y1-y2并称E，d为一度量平2+2面．设x0∈E，d，ε∈R，称平面区域Bx0，ε=x∈E，ddx0，x<ε为以x0为心，ε为半径的球形邻域．(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；2(2)证明：E，d中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；2(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：E，d的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．38(安徽省黄山市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列an，*2规定Δan为数列an的一阶差分数列，其中Δan=an+1-ann∈N，规定Δan为数列an的二阶差分2*数列，其中Δan=Δan+1-Δann∈N．3*2(1)数列an的通项公式为an=nn∈N，试判断数列Δan,Δan是否为等差数列，请说明理由？**2(2)数列logabn是以1为公差的等差数列，且a>2，对于任意的n∈N，都存在m∈N，使得Δbn=bm，求a的值；(3)各项均为正数的数列cn的前n项和为Sn，且Δcn为常数列，对满足m+n=2t，m≠n的任意正整数m,n,t都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn>λSt恒成立，求实数λ的最大值．15,39(云南省昆明市第一中学2024届高三上学期第六次考前基础强化数学试题)悬链线的原理运用于悬x-xe+e索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数chx=222的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①sinx+cosx=1，②和角公式：cosx+y=cosxcosy-sinx=cosx,x-xsinxsiny，③导数：定义双曲正弦函数shx=e-e．cosx=-sinx,2(1)直接写出shx，chx具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)；(2)若当x>0时，shx>ax恒成立，求实数a的取值范围；2(3)求fx=chx-cosx-x的最小值．40(2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型))对于非空集合G，定义其在某一运算××(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”G,×，简记为G．而判断G是否为一个群，需验证以下三点：1.(封闭性)对于规定的“×”运算，对任意a,b∈G，都须满足a×b∈G；2.(结合律)对于规定的“×”运算，对任意a,b,c∈G，都须满足a×b×c=a×b×c；3.(恒等元)存在e∈G，使得对任意a∈G，e×a=a；4.(逆的存在性)对任意a∈G，都存在b∈G，使得a×b=b×a=e．×××记群G所含的元素个数为n，则群G也称作“n阶群”．若群G的“×”运算满足交换律，即对任意a，×b∈G，a×b=b×a，我们称G为一个阿贝尔群(或交换群)．+(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群R；(2)记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得C在该运算下构成一个×群C，并说明理由；×(3)所有阶数小于等于四的群G是否都是阿贝尔群？请说明理由．16,41(2024届高三新高考改革数学适应性练习(4)(九省联考题型))“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等n式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数x∈-1,+∞，在n∈1,+∞时，有不等式1+x≥1+nnx成立；在n∈0,1时，有不等式1+x≤1+nx成立．(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；(2)当n≥1时，对伯努利不等式进行证明；*(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知a1,a2,⋯,ann∈N是大于-1的实数(全部同号)，证明1+a11+a2⋯1+an≥1+a1+a2+⋯+an42(江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题)交比是射影几何中最基本的不变量，在ACBD欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称⋅(分式中各项均为BCAD有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．1(1)证明：1-(D,B;C,A)=；(B,A;C,D)(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)=(A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若△EFG与△EFG的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则△EFG与△EFG对应边的交点在一条直线上．17</x-+,⋯.23!3!5!πsinx1(1)证明：当x∈0,时，></gx；x2x(3)设fx=gx-a1+2，若x=0是fx的极小值点，求实数a的取值范围.30(福建省福州第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题)英国数学家泰勒发现了如下357xxx公式：sinx=x-+-+⋯，其中n!=1×2×3×4×⋯×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得3!5!7!335πxxx到一些不等式：当x∈0,时，sinx<x,sinx></a2<a3<⋯<an．①若bn=an+1-ann∈n+，数列bn的前n项和为sn，求s4048；②若cn=tana2n+3⋅tana2n+1n∈n+，求数列cn的前n项和tn．25(湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题)“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数x被m除余r，我们可以写作x≡rmodm．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数m1，m2，⋯，mn两两互质，则对任意的整数：r1，r2，⋯，rn方程组x≡r1modm1x≡r2modm2一定有解，并且通解为x=km+r1t1m1+r2t2m2+⋅⋅⋅+rntnmn，其中k为任意整数，m=m1⋯x≡rnmodmnmm2⋅⋅⋅mn，mi=，ti为整数，且满足miti=1modmi．mi(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第n个满足条件的正整数；(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．(提示：可以用首尾进行相加)．8,26(河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试(期末联考)数学试卷)三阶行列a1a2a3式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：b1b2b3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c1c2c3ijkc2．若a×b=x1y1z1，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1k(x1,y1,z1∈r)，b=x2y2z2x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2∈r)，i,j,k为单位正交基底．以o为坐标原点、分别以i,j,k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知a，b是空间直角坐标系中异于o的不同两点．(1)①若a1,2,1，b0,-1,1，求oa×ob；②证明：oa×ob+ob×oa=0．1(2)记△aob的面积为s△aob，证明：s△aob=oa×ob．22(3)证明：oa×ob的几何意义表示以△aob为底面、oa×ob为高的三棱锥体积的6倍．a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m227(北京市朝阳区2024届高三上学期期中数学试题)已知am=(m≥2)是m⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,m个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记dai,j,as,t=ai,j-as,j+as,j-as,t．*设n∈n，若am满足如下两个性质：①ai,j∈1,2,3;⋯,n(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；②对任意k∈1,2,3,⋯,n，存在i∈1,2,⋯,m,j∈1,2,⋯,m，使得ai,j=k，则称am为γn数表．123(1)判断a3=231是否为γ3数表，并求da1,1,a2,2+da2,2,a3,3的值；312(2)若γ2数表a4满足dai,j,ai+1,j+1=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求a4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意γ4数表a10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得dai,j,as,t=0．9,28(广东省2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学试卷)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|a11a12a13⋯a1n=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵a=a21a22a23⋯a2n，其模可由向量模拓展为a=nna31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋮nn122aij(其中aij为矩阵中第i行第j列的数，∑为求和符号)，记作af，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼i=1j=1nn1a11a1224222222乌斯范数，例如对于矩阵a22==，其矩阵模af=aij=2+4+3+5=36.弗a21a2235i=1j=1罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.100⋯0020⋯0*(1)∀n∈n，n≥3，矩阵bnn=003⋯0，求使bf></xn+1<a.23(浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末数学试题)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线c：y=fx上的曲线段ab，其弧长为δs，当动点从a沿曲线段ab运动到b点时，a点的切线la也随着转动到b点的切线lb，记这两条切线之间的夹角为δθ(它等于lb的倾斜角与la的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越δθ大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义k=为曲线段ab的平均曲率；显然当bδsδθy越接近a，即δs越小，k就越能精确刻画曲线c在点a处的弯曲程度，因此定义k=lim=δs→0δs3221+y(若极限存在)为曲线c在点a处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示y=fx在点a处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；2x21(2)求椭圆+y=1在3,处的曲率；4222y(3)定义φy=为曲线y=fx的“柯西曲率”．已知在曲线fx=xlnx-2x上存在两点31+y33px1,fx1和qx2,fx2，且p，q处的“柯西曲率”相同，求x1+x2的取值范围．7,24(江西省红色十校2023-2024学年高三下学期2月联考数学试卷)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a,b∈z,m∈n+且m></xn+1<a.6,22(广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试(二)数学试卷)已知函数fx=lnx+2x-b(b></x2.①求出a的取值范围；dx1+x2②证明></s，代入数据，进一步可以推导出不等式：>
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