【九省联考】江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的1212A．倍B．倍C．倍D．倍22442．已知a，b是两个不共线的单位向量，向量cab=λ+∈µλµ(,R)，则“λ>0且µ>0”是“cab⋅+>()0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}a的前n项和为S，S=1，S=4，则aaaa+++=nn4817181920A．7B．8C．9D．101i−a4．设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则a=1i+A．−1B．1C．0D．25．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名2226．已知P为抛物线xy=4上一点，过P作圆xy+−=(3)1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为1237A．B．C．D．2348数学试题第1页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 7．若全集为U，定义集合A与B的运算：ABxxABxAB⊗={|∈且∉}，则()ABB⊗⊗=A．AB．BC．ABD．BAUU111558．设a=，b=2ln(sin+cos)，c=ln，则48844A．abc<<B．acb<<C．cba<<D．bac<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．若m，n为正整数且nm>>1，则3353A7A．CC88=B．C7=4!mm−1mmm−1C．mnC=(−1)CD．AAA+=mnn−1nnn+1210．设函数fx()=−+2sinx3sin||1x，则πA．fx()是偶函数B．fx()在(−,0)上单调递增41C．fx()的最小值为−D．fx()在[−π,π]上有4个零点82211．已知圆M：(xy−+=1)16，点A是M所在平面内一定点，点P是M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则Q的轨迹可能为A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．有一组从小到大排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为__________．13．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为n的眼有a口气，大小为n+1的眼有a口气，则a与a满足的关系是nn+1nn+1*a=1，a=2，ana−=−1(nn≥2,∈N)12nn+1则a的通项公式为__________．n2π14．若A，B，C，D四点均在同一球面上，∠=BAC，∆BCD是边长为2的等边三角形，3则∆ABC面积的最大值为__________，四面体ABCD体积取最大值时，球的表面积为__________．数学试题第2页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角ACDP−−为直二面角．（1）证明：PB⊥PD；（2）若PC=PD，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率p=0.006；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那0么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．（1）求X的概率分布；（2）求X的数学期望．90参考数据：0.994≈0.582．17．（15分）x已知函数fxa()=−−elogxe，其中a>1．a（1）若a=e，证明fx()0≥；（2）讨论fx()的极值点的个数．数学试题第3页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）22xy已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ：+=1的焦点F1，F2．62（1）求C的方程；（2）若Q为C上异于顶点的任意一点，直线QF，QF与椭圆Γ的交点分别为P，R与M，12N，求|PR|4|+MN|的最小值．19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上ACBD互异且非无穷远的四点，则称⋅（分式中各项均为有向线段长度，例如AB=−BA）为A，BCADB，C，D四点的交比，记为(,;,)ABCD．1（1）证明：1(,;,)−=DBCA；(,;,)BACD（2）若l，l，l，l为平面上过定点P且互异的四条直线，L，L为不过点P且互异的123412两条直线，L与l，l，l，l的交点分别为A，B，C，D，L与l，l，l，l的交点分11234111121234别为A，B，C，D，证明：(,;,)(,;,)ABCD=ABCD；222211112222（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若∆EFG与∆EFG′′′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则∆EFG与∆EFG′′′对应边的交点在一条直线上．数学试题第4页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 江苏省四校联合2024届新题型适应性考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D2．A3．C4．B5．B6．C7．A8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．AD10．ABC11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。2nn−+36，n≥2320π12．7.513．an=214．；331，n=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．解：（1）在四棱锥P−ABCD中，因为二面角ACDP−−为直二面角，所以平面PCD⊥平面ABCD，因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥DC，而BC⊂平面ABCD，DC=平面PCD平面ABCD，所以BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD，又因为PC⊥PD，BC，PC⊂平面PBC，BCPC=C，所以PD⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以PB⊥PD；（2）分别取CD，AB中点为O，E，连接OP，OE，因为PC=PD，所以OP⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，DC=平面PCD平面ABCD，OP⊂平面PCD，所以OP⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0)，C(1,0,0)−，B(1,2,0)−，P(0,0,1)，E(0,2,0)，A(1,2,0)，AP=−−(1,2,1)，AB=−(2,0,0)，nAP⋅=0−−+=xyz20PC=(1,0,1)−−，设n=(,,)xyz是平面PAB的一个法向量，则，即，nAB⋅=0−=20x不妨取y=1，z=2，则n=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量．|nPC⋅|10设直线PC与平面PAB的夹角为θ，则sinθ=|cos<nPC,>=|=．所以直线PC与|||nPC|510平面PAB所成的角的正弦值为．5数学参考答案第1页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 16．解：（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为p，X的所有可能取值为1，2，3，…，90．0288从而PX(=1)=p，PX(=2)=(1−pp)，PX(=3)=(1−pp)，…，PX(=89)=(1−p)p，0000000k−189(1−ppk00),1≤≤89*PX(=90)=(1−p0)．所以X的概率分布为PXk()==,k∈N．89(1−=pk),900（2）X的数学期望EX()1=×=PX(1)2+×=PX(2)3+×=PX(3)+⋅⋅⋅+90×=PX(90)289=×+×−1p2(1pp)+×−3(1pp)+⋅⋅⋅+×−90(1p)，0000002390(1−pEX)()=×−1(1pp)+×−2(1pp)+×−3(1pp)+⋅⋅⋅+×−90(1p)，000000002888989pE(X)=+−pp(1)pp+−(1)p+⋅⋅⋅+−(1p)p+×−90(1p)−×−89(1p)p0000000000090−×−90(1p)，0899028890(1×−pp00)8990(1×−)EX()=+−+−1(1p)(1p)+⋅⋅⋅+−(1p)+−×−89(1p)−0000pp008928890(1×−p0)89=+−+−1(1pp)(1)+⋅⋅⋅+−(1p)+[1(1−−p)]89(1−×−p)00000p090288891(1−−p0)=+−+−1(1pp)(1)+⋅⋅⋅+−(1pp)+−(1)=，0000p090901(1−−p)10.994−−10.582因为p=0.006，所以00EX()=p=0.006≈0.006≈69.67．017．解：xxe（1）当a=e时，fx()=e−−elnxe，fx′()e=−，f′(1)=0，f(1)=0，当x<1时，xfx′()0<，fx()单调递减；当x>1时，fx′()0>，fx()单调递增，从而fxf()≥(1)=0；x2xexalna−e（2）由题意知，函数fx()的定义域为(0,+∞)，fx′()=aaln−=，设xalnxalnx2gx()=xalna−e，a>1，显然函数gx()在(0,+∞)上单调递增，gx()与fx′()同号，2①当a>e时，g(0)=−<e0，gaa(1)=ln−>e0，所以函数gx()在(0,1)内有一个零点，所以函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；②当a=e时，由第（1）问知，函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；111122lna11③当1e<<a时，>1，ga()=lna−e，因为lnalna==>1，所以2ln2aln2aln2aalnalna>e，121g(02)>，又gaa(1)=ln−<e0，所以函数gx()在(,1)2内有一个零点，所以函数fx()在lnalna(0,+∞)上有且仅有一个极值点；综上所述，函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点．数学参考答案第2页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 18．解：22222（1）椭圆Γ的cab=−=4，故F(2,0)−，F(2,0)，设等轴双曲线C的方程为xyd−=，1222将F带入求得d=4，故等轴双曲线C的方程为xy−=4；2（2）设直线QF的方程为x=my−2，直线QF的方程为x=ny+2，点P，R，M，N的12x=my−2坐标分别为(,)xy11，(,)xy22，(,)xy33，(,)xy44，联立直线QF1与椭圆Γ：22，得xy+=36224m222(m+3)y−4my−=20，yy12+=2，yy12=−2，从而||(PR=−+−x12x)(y12y)m+3m+322222421mm+=m+1(y1+y2)4−yy12=m+1(222)4(−−)26=，联立直线QF2与mmm+++333x=ny+2224n2椭圆Γ：22，得(n+3)y+4ny−=20，yy34+=−2，yy34=−2，从而xy+=36n+3n+32222242n2||(MN=x−+−x)(yy)=n+1(y+y)4−yy=n+−1()4−−()3434343422nn++332n+1x=my−2224mn+=262，联立直线QF1与QF2：，得Q(,)，又Q在双曲线C上，n+3x=ny+2mnmn−−2222mn+2241mn++11带入得()(−=)4，化简得n=．从而|PR|4|+=MN|26(+)22mn−−mnmmn++33102242mm++1447mm++201373=26(+=)26⋅=−26()2331231420339768104m+m+mm++23(m−+)+552925(m−)510739629768≥26(−=)，当且仅当3(m−=)，即m=±5时取等，3276810452923⋅+25(m−)255596故|PR|4|+MN|的最小值为．2数学参考答案第3页（共4页）学科网（北京）股份有限公司 19．解：DCBA⋅⋅BCAD+DCBA⋅⋅BC()ACCD++CDAB⋅（1）1(,;,)1−DBCA=−==BCDA⋅⋅BCADBCAD⋅BCAC⋅+⋅+⋅BCCDCDABBCAC⋅+⋅ACCDACBD⋅1====；BCAD⋅BCAD⋅⋅BCAD(,;,)BACDACBD⋅SS⋅（2）(,;,)ABCD=1111=∆∆PAC11PBD111111BCAD⋅⋅SS1111∆∆PBC11PAD1111⋅⋅⋅∠PAPCsinAPC⋅⋅⋅⋅∠PBPDsinBPD2211111111sin∠APC⋅∠sinBPD1111==11sin∠BPC⋅∠sinAPD⋅⋅⋅∠PBPCsinBPC⋅⋅⋅⋅∠PAPDsinAPD11111111111122sin∠APC⋅∠sinBPDSS∆∆PAC⋅PBDACBD⋅=2222=2222==2222=(,;,)ABCD；2222sin∠BPC⋅∠sinAPDS⋅SBC⋅AD2222∆∆PBC22PAD222222第（2）问图第（3）问图（3）设EF与EF′′交于X，FG与FG′′交于Y，EG与EG′′交于Z，连接XY，FF′与XY交于L，EE′与XY交于M，GG′与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE′，由第（2）问知(,;,)(,;,)PFLF′′=PEME，再考虑线束YP，YF，YL，YF′，由第（2）问知(,;,)(,;,)PFLF′′=PGNG，从而得到(,;,)(,;,)PEME′′=PGNG，于是由第（2）问的逆命题知，EG，MN，EG′′交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．数学参考答案第4页（共4页）学科网（北京）股份有限公司