2022年福建龙岩市中考数学一检试题（已整理）

2021~2022学年第一学期期末九年级质量监测数学试题(考试时间:120分钟满分150分)注意:请把所有答案填涂或书写到答题卡上!请不要错位、越界答题!作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑。在本试题上答题无效。一、选择题:本大题共有10小题，每小题4分，共40分。在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。1.下列事件是不可能事件是（）A.明天会下雨B.小明数学成绩是92分C.一个数与它的相反数的和是0D.明年一年共有400天2.如图所示的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A.B.C.D.3.已知一元二次方程，下列配方正确的是（）A.B.C.D.4.点关于原点O的对称点的坐标是（）A.B.C.D.5.把抛物线y=﹣x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（　　）A.y=﹣x2+2B.y=﹣（x+2）2C.y=﹣x2﹣2D.y=﹣（x﹣2）26.如图，点B，C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A，则的面积为（） A.6B.4C.3D.27.若A，B，C是⊙上三点，，则⊙的半径是（）A.B.C.6D.8.如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）A.cmB.8cmC.6cmD.4cm9.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又向东北方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（）A.B.C.D.10.如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11.方程的解为___________．12.已知经过某闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，__________．13.如图，四边形内接于⊙，点M在的延长线上，，则___． 14.若点中x，y可在，3，4中取值，则点P落在第二象限的概率是________．15.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=4．将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为________．16.直线与y轴交于点A，直线绕点A逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则______．三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解下列方程：（1）；（2）．18.已知关于x的方程．（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；（2）如果该方程有一个根小于1，求m的取值范围．19.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，B是线段的中点．求反比例函数的解析式． 20.如图，中，，小丽将绕点A顺时针旋转得到．（1）当_______时，；（2）在旋转过程中，小丽发现当时，线段与交于点F，且四边形是菱形，请你给予证明．21.在学习了《用频率估计概率》后，小东和学习小组同学设计了一个实验，他们用一个黑箱子装有红、白两种颜色的球共4只，它们除颜色外，其他都相同．小东将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸出白球的频率，并将多次实验结果画出如下统计图．（1）根据统计图，结合所学的频率与概率的相关知识，从箱子中随机摸一次球，摸到白球的概率是___（精确到0.01）；（2）从该箱子里随机同时摸出两个球．用树状图或列表法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率．22.如图，将圆心角为的扇形绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形，使得点恰在上． （1）求作点；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明过程）（2）连接，证明：平分．23.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件．（1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？（2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由．24.如图1，是⊙的直径，绕点A顺时针旋转得到线段，连接交⊙于点D，过D作于E．（1）求证：是⊙的切线；（2）过D作，交⊙于点F，直线交⊙于点G，连接．①如图2，证明：；②当旋转到如图3的位置，在上取一点H，使得．若，证明：D，O，H在同一条直线上． 25.已知抛物线经过三点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）如果是等边三角形，求的面积；（3）若直线与抛物线交于D，E两点，直线与抛物线交于F，G两点，的中点为M，的中点为N，且．求点P到直线距离的最大值． 2021~2022学年第一学期期末九年级质量监测数学试题(考试时间:120分钟满分150分)注意:请把所有答案填涂或书写到答题卡上!请不要错位、越界答题!作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑。在本试题上答题无效。一、选择题:本大题共有10小题，每小题4分，共40分。在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。1.【2022·龙岩一检】下列事件是不可能事件是（）A.明天会下雨B.小明数学成绩是92分C.一个数与它的相反数的和是0D.明年一年共有400天【答案】D【解析】A、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；B、小明数学成绩是92分，是随机事件，不符合题意；C、一个数与它的相反数的和是0，是必然事件，不符合题意；D、明年一年共有400天，是不可能事件，符合题意；故选：D． 2.【2022·龙岩一检】如图所示的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】A、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；B、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；C、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；D、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；故选：B．3.【2022·龙岩一检】已知一元二次方程，下列配方正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，方程移项得：x2+4x=3，配方得：x2+4x+4=7，即（x+2）2=7，故选：C．4.【2022·龙岩一检】点关于原点O的对称点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴P（3，2）关于原点过对称的点的坐标是（-3，-2）．故选：C．5.【2022·龙岩一检】把抛物线y=﹣x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（　　）A.y=﹣x2+2B.y=﹣（x+2）2C.y=﹣x2﹣2D.y=﹣（x﹣2）2【答案】D【解析】∵把抛物线y=﹣x2向右平移2个单位，∴平移后所得抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2．故选D．6.【2022·龙岩一检】如图，点B，C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A，则的面积为（）A.6B.4C.3D.2 【答案】B【解析】令B点的横坐标为a，∵点B是反比例函数的图象上的点，∴a>0，B(a，)，∵C是反比例函数的图象上的点，轴，∴C(a，)，∵，∴A(0，)，∵=AC×BC=×a×=×a×=4故选：B．7.【2022·龙岩一检】若A，B，C是⊙上三点，，则⊙的半径是（）A.B.C.6D.【答案】C【解析】⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，如图所示：∵∠ABC＝150°，∴∠ADC＝180°−∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝6，∴⊙O的半径是6．故选：C．8.【2022·龙岩一检】如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）A.cmB.8cmC.6cmD.4cm【答案】B【解析】如图所示，连接OA．⊙O的直径CD＝10cm，则⊙O的半径为5cm，即OA＝OC＝5，又∵OM：OC＝3：5，所以OM＝3，∵AB⊥CD，垂足为M，OC过圆心∴AM＝BM，在Rt△AOM中，，∴AB＝2AM＝2×4＝8．故选：B． 9.【2022·龙岩一检】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又向东北方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图：设甲与乙相遇时间为，这时乙共行，甲共行，∵，∴，又∵∠°，∴，∴故选：C．10.【2022·龙岩一检】如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∴BH＝DF，AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠HAE＝∠HAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣∠FAE＝45°，∴∠FAE＝∠HAE，∵AE＝AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝HE＝y，∵BE＝x，∴BH＝DF＝y﹣x，∵正方形的边长为2，∴EC＝2﹣x，CF＝2﹣（y﹣x），在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，∴（2﹣x）2+[2﹣（y﹣x）]2＝y2，化简得，y＝＝＝（）2﹣4+4， ∴当，即x＝2﹣2时，y有最小值，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11.【2022·龙岩一检】方程的解为___________．【答案】【解析】(x−3)(x+2)=0，则x-3=0，x-2=0，解得x1=3，x2=−2．故答案为：x1=3，x2=−212.【2022·龙岩一检】已知经过某闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，__________．【答案】2.5A【解析】∵经过某闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴设I＝，∵当I＝5时，R＝20，∴U＝5×20＝100（Ω），∴当R＝40时，I＝＝2.5（A）．故答案为：2.5A．13.【2022·龙岩一检】如图，四边形内接于⊙，点M在的延长线上，，则___．【答案】【解析】∵∠CDM=71°，∴∠ADC=180°-∠CDM=109°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B=180°-∠ADC=71°，∴∠AOC=2∠B=142°，故答案为：142°．14.【2022·龙岩一检】若点中x，y可在，3，4中取值，则点P落在第二象限的概率是________．【答案】【解析】画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中点P落在第二象限的结果有2种，即(−2,3)、(−2,4)，∴点P落在第二象限概率为，故答案为：．15.【2022·龙岩一检】如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=4．将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为________．【答案】【解析】连接OC，∵OB=BC=CO，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBD=30°，∵∠BOD=90°，OB=OA=4，∴OD=OB•tan30°=，∴△BOD的面积是：，∴△BCD的面积是，∴阴影部分的面积是：，故答案为：．16.【2022·龙岩一检】直线与y轴交于点A，直线绕点A逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则______．【答案】1或【解析】由题意，点A的坐标为，由图可知，过点A的直线中，显然平行于抛物线对称轴的y轴与抛物线只有一个公共点． 设直线也与抛物线有唯一公共点，将直线方程代入抛物线方程，得，∵，∴即直线和直线y轴都与抛物线有唯一公共点，依题意将直线和直线y轴绕点顺时针旋转即可得到直线．y轴绕点顺时针旋转即得直线，故此时k=1；下面求直线绕点顺时针旋转得：如图，在直线第一象限图象上任选一个点，过点B分别作y轴和直线的垂线，与y轴和直线分别交于点F，C，过C作于点D．，，，，，，是等腰直角三角形，，∴，，点的横坐标为，纵坐标为，∴点C的坐标为，代入直线，得，解得：，综上所述，或．三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【2022·龙岩一检】解下列方程：（1）；（2）． 解：（1）∵x2-10x=24，∴x2-10x-24=0，则（x-12）（x+2）=0，∴x-12=0或x+2=0，解得x1=12，x2=-2；（2）∵a=2，b=3，c=-1，∴Δ=32-4×2×（-1）=17＞0，则，∴．18.【2022·龙岩一检】已知关于x的方程．（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；（2）如果该方程有一个根小于1，求m的取值范围．解：（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＝m2﹣6m+9+12m＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，∴方程总有实数根；（2）∵x2+（m﹣3）x﹣3m＝0，∴（x﹣3）（x+m）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣m，根据题意，﹣m＜1，∴m＞﹣1．19.【2022·龙岩一检】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，B是线段的中点．求反比例函数的解析式．解：作CD⊥x轴于D，如图，∵一次函数y＝kx+2的图象与y轴相交于B点，∴B（0，2），∴OB＝2，∴OA＝OB＝2，∵B是线段AC的中点，OBCD，∴OB是△ACD的中位线，∴OA＝OD＝2，CD＝2OB＝4，∴C（2，4），∵反比例函数的图象与一次函数在第一象限交于点C，∴n＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为． 20.【2022·龙岩一检】如图，中，，小丽将绕点A顺时针旋转得到．（1）当_______时，；（2）在旋转过程中，小丽发现当时，线段与交于点F，且四边形是菱形，请你给予证明．解：（1）在△BAC中，∵AB＝AC，∴∠B＝＝50°．当AD⊥BC时，∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＝90°－∠B＝40°∵旋转角等于∠BAD∴；（2）中，，，且由旋转得到，∴，，∵，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形．21.【2022·龙岩一检】在学习了《用频率估计概率》后，小东和学习小组同学设计了一个实验，他们用一个黑箱子装有红、白两种颜色的球共4只，它们除颜色外，其他都相同．小东将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸出白球的频率，并将多次实验结果画出如下统计图．（1）根据统计图，结合所学的频率与概率的相关知识，从箱子中随机摸一次球，摸到白球的概率是___（精确到0.01）；（2）从该箱子里随机同时摸出两个球．用树状图或列表法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率．解：（1）大量重复试验1500次下摸到白球的频率最接近摸到白球的概率，所以摸到白球的概率是0.75； （2）由（1）可知，黑箱子里红球1只，白球3只，列表如下：红白白白红（红，白）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，白）（白，白）从该箱子里随机同时摸出两个球．这两个球的颜色共有12种，其中刚好摸到一个红球和一个白球的有6种，∴所求概率．22.【2022·龙岩一检】如图，将圆心角为的扇形绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形，使得点恰在上．（1）求作点；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明过程）（2）连接，证明：平分．解：（1）如图所示，点O′即为所求．（2）证明：如图，连接OO′，由旋转的性质知AO=AO′，又∵OO′=OA，∴OO′=OA，∴△AOO′是等边三角形，∴∠BAB′=∠OAO′=60°，由旋转的性质可知AB=AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴AB′=BB′， 在△AOB′和△BOB′中，，∴△AOB′≌△BOB′（SSS），∴∠AB′O=∠BB′O，∴OB′平分∠AB′B．23.【2022·龙岩一检】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件．（1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？（2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由．解：（1）设每件应降价x元（0＜x≤10且x为整数），则每件盈利（44﹣x）元，每天可售出（20+5x）件，依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，整理得：x2﹣40x+144＝0，解得：x1＝4，x2＝36（不合题意，舍去）．答：每件应降价4元．（2）每天不可以获得3000元的利润，理由如下：设每件应降价y元（0＜y≤10且y为整数），则每件盈利（44﹣y）元，每天可售出（20+5y）件，依题意得：（44﹣y）（20+5y）＝3000，整理得：y2﹣40y+424＝0，∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×424＝﹣96＜0，∴此方程无实数根，∴每天不可以获得3000元的利润．24.【2022·龙岩一检】如图1，是⊙的直径，绕点A顺时针旋转得到线段，连接交⊙于点D，过D作于E．（1）求证：是⊙的切线；（2）过D作，交⊙于点F，直线交⊙于点G，连接．①如图2，证明：；②当旋转到如图3的位置，在上取一点H，使得．若，证明：D，O，H在同一条直线上．解：（1）证明：如图4，连接OD、AD， ∵AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∴BD＝CD且AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线；（2）①证明：如图5，连接BG、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BGA＝∠BDA＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∴BD＝GD，∴，∵DF⊥AB，∴，∴，∴∠1＝∠2，∴FGBD；②证明：如图6，连接OD，∵DF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠3＝∠4＝∠5，∵AB＝AC，∴∠3＝∠C，∴∠5＝∠C，∴FGDB，∴，∴∠DBF＝∠BDG， ∵BF⊥DG，∴∠DBF＝∠BDG＝45°，，∴∠3＝∠4＝∠DBF＝22.5°，∴∠7＝90°﹣∠4＝67.5°，∵DF＝DH，∴∠6＝∠7＝67.5°，∴∠BDH＝∠6﹣∠DBF＝22.5°，∵OB＝OD，∴∠3＝∠BDO＝22.5°，∴∠BDH＝∠BDO，∴D，O，H在同一条直线上．25.【2022·龙岩一检】已知抛物线经过三点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）如果是等边三角形，求的面积；（3）若直线与抛物线交于D，E两点，直线与抛物线交于F，G两点，的中点为M，的中点为N，且．求点P到直线距离的最大值．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（m，n），B（2﹣m，n），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2，∵抛抛物线y＝x2﹣2x+c经过C（2，﹣1），∴4﹣4+c＝﹣1，∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；（2）由（1）得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1，对称轴为直线x＝1，令x＝1，则y＝1﹣2﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2），∵A（m，n），B（2﹣m，n），∴ABx轴，不妨设点A在点B左侧，如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，则AB＝2﹣2m，PQ＝n+2，且n＝m2﹣2m﹣1，∵△PAB是等边三角形，∴∠ABQ＝60°，BQ＝AB＝1﹣m，在Rt△BPQ中，∠ABQ＝60°，∴PQ＝BQ，即m2﹣2m﹣1+2＝（1﹣m），解得m＝1（舍）或m＝1﹣．∴AB＝2﹣2m＝2，BQ＝，∴PQ＝BQ＝3，∴S△PAB＝•AB•PQ＝×2×3＝3．（3）联立直线l1：y＝k1x﹣k1和抛物线y＝x2﹣2x﹣1，∴，整理得，y＝x2﹣（2+k1）x﹣1+k1，∴xD+xE＝2+k1，同理可得，xF+xG＝2+k2， ∵点M是DE的中点，点N是FG的中点，∴xM＝，xN＝，∴yM＝，yN＝，∴M（，），N（，），∴直线MN的解析式为：y＝（k1+k2）（x﹣1﹣）+，∵k1k2＝﹣3，∴直线MN的解析式为：y＝（k1﹣）（x﹣1﹣）+＝（k1﹣）（x﹣1）+，∴当x＝1时，y＝，即直线MN过定点K（1，），∴点P到直线MN距离的最大值为PK的长，即为．