2024高考数学常考题型：第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题（解析版）

第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题【典例例题】题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据给定不等式，构造函数和，作出函数图象，结合图象分析求解作答.【详解】由不等式（），令，，，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有，函数，表示恒过定点，斜率为的直线，在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数，于是得g(−1)>f(−1)g(−2)≤f(−2)，即2a>−3e3a≤−5e2，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：D【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解.【详解】当时，即为,即,不成立；当时不等式等价于,由于，故不成立；当时，不等式等价于，若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；当时，令，则，在上，∴单调递增，在上，∴单调递减，且在(上,在上,又∵在趋近于时，趋近于0， ∴在上的图象如图所示：∵，∴当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,∴，故选：C【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.【例3】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.【详解】由题设，定义域为，则可得， 令，则，所以时，即递增，值域为；时，即递减，值域为；而恒过，函数图象如下：要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，若交点的横坐标为，则，所以，即.故选：C【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.【题型专练】1.（2022·福建·莆田二中高二期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得 在直线下方，再借助导数探讨求解作答.【详解】令，，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，当时，，而，即当时，不存在整数使得点在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，因此有，解得，所以的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，，到的斜率，分析临界情况即可【详解】由且，得，设，，，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．故选：C3．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（       ）．A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题可得不等式仅有1个整数解，利用数形结合可得，即求.【详解】由题可知，所以不等式，即只有一个整数解， 令，不等式仅有1个整数解，令，，则函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，∵，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增，因为直线恒过点，作出函数与直线的大致图象，由图象可知，这个点，可得，即．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数与直线的的交点的位置问题，然后利用数形结合解决.4.（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题知恰有两个整数解，构造函数，利用导数研究函数的性质，作出函数的大致图象，利用数形结合即得. 【详解】由，可得，令，由题意知恰有两个整数，使成立，因为，由，可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，且，直线恒过点，且斜率为，结合图象可得，即，解得，即的取值范围是.故答案为；. 题型二：方程根的个数问题【例1】（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期中）设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（       ）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】【分析】利用导数确定函数的单调性，进而得出函数的图象，数形结合得出方程实数根的个数.【详解】，即函数在上单调递减，在上单调递增当时，，，则函数与的图象如下图所示平移直线可知，函数与的交点个数可能为则关于的方程的实数根的个数可能为故选：A 【例2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习多选）已知函数，下列选项正确的是（       ）A．函数的单调减区间为、B．函数的值域为C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项.【详解】对于A选项，当时，，则，当时，，则，由可得，所以，函数的单调减区间为、，A对；对于B选项，当时，，当时，，因此，函数的值域为，B错；对于CD选项，作出函数的图像如下图所示： 若，由可得，则方程只有两个不等的实根；若，由可得或或，由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，若关于的方程有个不相等的实数根，则，C对；若关于的方程有个不相等的实数根，则，D对.故选：ACD.【例3】（2022·江西赣州·高二期中（文））已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解.【详解】由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有最大值，且，又当时，，且， 当时，，．其图象如图所示：①当，由，得，即，则，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意；②当时，由得或．当时，，有无数个整数解；当时，其解集为(0,1)的子集，不含有整数解；故不合题意；③当时，由得或，当时，其解集为(0,1)，不含有整数解；当时，若不等式有且仅有四个整数解，又，，，，且，因为在递增，在递减，所以四个整数解只能为2、3、4、5，所以，即所以实数的取值范围为．故选：B. 【例4】（2022·江西省宜春中学高二开学考试（理））已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先研究时，的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令，通过换元后数形结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.【详解】解：当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，；当时，；作出大致图象如下：由函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个不等实根，令，则方程，令函数，①方程在区间和上各有一个实数根，则，解得；②方程在区间和各有一个实数根，则，不等式组无解； ③方程的两根为1和5，此时无解．综上，．故选：C.【题型专练】1.（2022·广西百色·高二期末（理））设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先求导得出的单调性，进而画出的图象，将题设转化为函数与有两个交点，结合图象求出实数的取值范围即可.【详解】当时，函数单调递增；当时，，则时，，所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图： 因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.故选：D.2.（2022·宁夏中卫·一模（文））设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.【详解】解：设，则，所以在上递减，在上递增，，且时，，有两个零点等价于与的图象有两个交点，画出的图象，如下图所示， 由图可得，时，与的图象有两个交点，此时，函数有两个零点，实数m的取值范围是，故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．3.（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】构造，通过求导，研究函数的单调性及极值，最值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.【详解】令，即，令，当时，， ，令得：或，结合，所以，令得：，结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，当时，，且，当时，，则恒成立，单调递增，且当时，，当时，，画出的图象，如下图：要想有3个零点，则故选：B