2024年星光杯初赛暨GMC第三届冬季网络数学竞赛（高中组）一试（A）

2024星光杯初赛暨GMC第三届冬季网络数学竞赛（高中组）一试（A）答题时间：12小时，满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。1.若复数zabi满足z1z14，则点ab,的轨迹所围成的封闭图形面积为（）A.2B.3C.23D.3322xy2.设双曲线C：221的左、右焦点分别为F1、F2，P在C上一点，aa1且PFPF120，若PFF12的面积为2a，则双曲线C的离心率为（）A.3B.2C.2D.53.正整数4096576的不同正因数个数为（）A.144B.225C.256D.28934.已知方程x2x10的三个复数根分别为x1、x2、x3，令Mxxx123，xxx123Nxxxxxx，则M与N的大小关系是（）1223133A.MNB.MNC.MND.无法确定15.定义域为0,的函数fx满足fx2fx2，在区间0,a上x总存在一个实数M，使得x0,，fxM226成立，若M，则a的最小可能值为（）3A.1B.2C.3D.4—1—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 6.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足abccosA2cosB3cosC则tanA的值为（）60A.1B.1C.D.611n7.设复数z1i，若z2024，则正整数n的最大值为（）A.20B.21C.22D.238.若不等式812aba2bab对于任意的正实数a、b恒成立，则实数的取值范围为（）A.,93B.,93C.0,93D.0,93二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。xx19.集合Axm21xm，Byy425，若AB，则实数m的可能取值为（）A.1B.0C.2D.310.一组样本数据x1，x2，，xn的均值为3，方差为4，再插入另外一组样本数据xn1，xn2，，x2n，且该样本数据的均值为6，方差为5，则下列说法正确的是（）A.总体样本数据的均值为4B.总体样本数据的方差为5.75C.总体样本数据的稳定程度比其他两组低D.将总体样本数据扩大两倍，均值变大，方差不变11.在ABC中，B90，AC2AB2，D是AC的中点，P、Q分别为ABD、BCD的内切圆上的动点，则下列说法正确的是（）—2—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 1233A.PBPCPBPCB.ABD内切圆的半径为4433C.BCD内切圆的半径为232D.PBPCQAQB的最小值与最大值之和为41223三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。212.抛物线：y2px（p0）的弦AB过其焦点F，过F作直线AB的垂线交分别于C、D，若AB2CD6，Axy1,1，Bxy2,2，Cxy3,3，Dxy4,4，则x1x2x3x4的值为_________13.已知不等式1cos2x11333sinxxx对于任意的0x恒成立，则实数的最大值为_________14.给定大于2的正整数n，iR（1in），则ijS2cosij1ijn的取值范围为_________.—3—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 四、解答题：本题共5小题，共77分。15.（13分）如图所示，在正三棱柱ABCABC111中，AB2，AA123，E、F分别为AC1、BB1的中点.（1）求证：EF//平面ABC（2）求三棱锥B1ABC1的表面积.—4—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 16.（15分）11an1已知数列an满足a1，an1.22（1）令ancosn，n0,，求数列n的通项公式；2n（2）设Snai，求证：Snn1i1—5—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 17.（15分）22x已知函数fxa2ax2xeax.（1）当a0时，讨论fx的单调性；（2）若函数fx在0,上存在极小值，求实数a的取值范围.—6—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 18.（17分）22xy1在平面直角坐标系xOy中，椭圆：221（ab0）的离心率为，ab2左、右焦点为F1、F2，过F1的直线交于A、B两点，ABF2的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定圆C与以AB为直径的圆相切？若存在，请求出所有满足条件的定圆C方程；若不存在，请说明理由.—7—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#} 19.（17分）函数的凹凸性是描述一个函数图象弯曲方向的一个重要性质，定义：二阶导函数非负的函数fx称作“下凸函数”，即fx0.（1）若fx为下凸函数，求证：对于任意实数a、b，总有0,1，使得fa1bfa1fb（2）给定正整数n2，函数fx满足以下性质：①fx为下凸函数；②f00；③fx在0,上恒正.求最小的实数C，使得对于任意实数xi（1in），均有fxixjCfmaxxixj1ijn1ijn恒成立.—8—{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#}