专题1-1 基本不等式归类（解析版）

专题1-1基本不等式归类目录题型01公式基础1题型02基础模型：倒数型3题型03常数代换型6.题型04积与和型8题型05积与和互化解不等式型9题型06构造分母和定型10题型07凑配系数构造分母和定型12题型08换元构造分母和定型14题型09分子与分母互消型16题型10“1”代换综合型18题型11分子消去型20题型12消元型21题型13齐次化构造型23题型14三角换元构造型25题型15因式分解双换元型27题型16配方型28高考练场30题型01公式基础【解题攻略】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.【详解】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误；B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误；C：恒成立，故C正确； D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误；故选：C【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ）A．B．C．D．2【答案】D【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D.【详解】选项A：当时，，，不成立，故A错误；选项B：当时，，，不成立，故B错误；选项C：当时，，不成立，故C错误；选项D：由有意义，故，因此由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立故D正确故选：D【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（    ）A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是2C．的最小值是D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4【答案】B【解析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解.【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，但，所以等号不成立，所以，故B错误；对于C，，当时，等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：B.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（    ）A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则C．若x＜0，则D．若x＜0，则【答案】D【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可．【详解】∵可能为负数，如时，，∴A错误；∵可能为负数，如时，，∴B错误；∵，如时，，∴C错误；∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．故选：D．【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据基本不等式，对选项中依次进行求解判断，特别要注意基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”.【详解】对于选项A，，当时，，即最小值不是，故选项A不符合题意；对于选项B，，当时，，当且仅当时取等号，即最小值是2，故选项B不符合题意；对于选项C，，令，则，在上单调递增，当时，最小值为，故选项C不符合题意；对于选项D，，当且仅当时取等号，即最小值是，故选项D符合题意；故选：D..题型02基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：，或者容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（    ） A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减，，则，即故选：C【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.【详解】解：，又，==，当且仅当时，等号成立.故选：B.【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】由，根据基本不等式得，根据，，构造对勾函数，然后利用对勾函数的单调性判断最值.【详解】因为，当且仅当时取等号，因为，所以，，令，根据对勾函数的单调性可知， 当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值，故，所以，即，同理，所以，所以，所以.故选：C.【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】先化简函数为，再进行换元，结合t的范围，根据对勾函数的单调性求的最小值即得结果.【详解】因为，定义域为.令，所以，，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立.故根据对勾函数在上单调递减，可知在上递减，所以时，，此时，故函数的最小值为.故选：C.【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为A．0B．C．D．【答案】D【解析】设,设,,则,由对勾函数可得在上单调递增,则,讨论与的大小关系,进而求解即可【详解】设,因为,所以,设,,由对勾函数的性质可知在上单调递增,所以,即,因为(x,)最大值记为,所以当,即,；当,即,,所以的最小值为故选:D. 题型03常数代换型【解题攻略】利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换（1）条件和结论有“分子分母”特征；（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件结构形式：（1）求（2）求【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为.【答案】【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.【详解】解：，由于，，是正实数，且，所以，当且仅当，即，所以时等号成立，则的最小值为，所以，当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：.【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．10B．11C．13D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数满足， 则，，即：，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为11.故选：B.【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为．【答案】【分析】将化为后与相乘，化简后再利用基本不等式求解.【详解】由题意得：，，，所以得：，所以：当且仅当时，即时取等号.故最小值为：.故答案为：.【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为.【答案】/【分析】由题知，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】因为正数满足，所以，，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为.故答案为：【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是.【答案】/【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，当且仅当，即，时等号成立.故答案为： 题型04积与和型【解题攻略】积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（       ）A．16B．6C．18D．12【答案】B【分析】根据已知条件可得，将展开利用基本不等式即可求解.【详解】因为，，所以所以．当且仅当即时取等号，所以当取得最小值时，故选：B.【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知条件变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，，且，则，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值是.故选：C.【变式1-1】（2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】将已知等式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，且，则，可得，所以，， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（       ）A．18B．15C．20D．13【答案】A【分析】变形条件为，利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解.【详解】由题意可得，则，当且仅当，且，即，时，等号成立，所以的最小值为，故选：A【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（       ）A．2B．3C．D．【答案】D【详解】根据题意，，∴，当且仅当且时等号成立，∴的最小值为，故选：D．题型05积与和互化解不等式型【解题攻略】积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.【详解】由题意得，得，即，当且仅当时，等号成立.因此，的最大值为为.故选：C.【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（    ）A．1B．2C．D．4【答案】D 【分析】先化简把单独放在一侧,再应用重要不等式把未知数都转化为,计算求解即可.【详解】可变形为，因为，所以，解得，当且仅当时，取到最大值4.故选:D．【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用，可求的最大值．【详解】曲线，，又，当且仅当时取等号，，，，，的最大值为．故选：．【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（       ）A．4B．9C．16D．25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.【详解】∵，，∴，令，则，即，解得，∴，当且仅当时，等号成立.故选：D【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】化简整理式子可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，且，则，即，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，整理得，即，因为，所以，所以，解得.故选：D题型06构造分母和定型【解题攻略】对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足 ，则的最小值为.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意为正数，，所以，当且仅当，，时等号成立.故答案为：【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（    ）A．B．2C．D．4【答案】C【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为，，，则.当且仅当即时取等.故选：C.【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ）A．0B．1C．2D．4【答案】B【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】，等式恒成立，，由于，所以，，，当且仅当时，即时取等号. ，，故的最小值为1.故选：.【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由题可得，，则，所以，当且仅当，即时，取得等号，故选:C.【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】【分析】由，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.题型07凑配系数构造分母和定型【解题攻略】对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。 【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知，，且，则的最小值为.【答案】12【分析】，展开后利用基本不等式可求．【详解】∵，，且，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12．故答案为：12．【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是．【答案】【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解.【详解】因为且，若恒成立，则，又，当且仅当，即，时等号成立，所以，即实数的取值范围是．故答案为：．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是．【答案】【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】因为，且，若恒成立，则，又 ，当且仅当，即，时，等号成立，，即实数的取值范围是．故答案为：．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意为正数，，所以，当且仅当，，时等号成立.故答案为：【变式1-3】（2021·三课时练习）已知，则的最小值为.【答案】【分析】首先利用“1”的等价变形，，再利用基本不等式求最小值.【详解】，，当且仅当，即，解得是等号成立，所以的最小值是题型08换元构造分母和定型【解题攻略】换元型构造分母和定型：形如型，则可以通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。 【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为．【答案】【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，，当且仅当时，即等号成立，则的小值为.故答案为：9.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的最小值为.【答案】【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是.【答案】【分析】将用与表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解.【详解】设， 由对应系数相等得，得所以整理得即所以.经验证当时，等号可取到.故答案为：【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为.【答案】【分析】换元后可得，再由及“1”的技巧化简，利用均值不等式求解.【详解】令，则，即，，当且仅当，即时，解得时等号成立，故的最小值为.故答案为：题型09分子与分母互消型【解题攻略】满足一般情况下可以通过“万能K法”转化求解设K法的三个步骤：⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是.【答案】【分析】设，则，计算利用基本不等式可得最小值，即可得的最小值，解不等式可得的最小值，即的最小值.【详解】因为，则，设，则， 由，当且仅当即时等号成立，由即，解得：或（舍）所以，的最小值是，故答案为：.【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是.【答案】【分析】设，则，同时根据均为正数确定的取值范围，利用基本不等式可求得，解不等式可求得结果.【详解】设，则，均为正数，，解得：；则（当且仅当，即时取等号），又，当，时，取得最小值；，即，解得：，满足，的最大值为.故答案为：9【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为．【答案】【分析】等式化为，两边平方，令，由基本不等式可得，即可求出.【详解】因为，所以，所以，即，令，则，而，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以的最大值为8.故答案为：．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是（    ）A．8B．7C．6D．5【答案】A 【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设，则，∴∴整理得：，由得，当且仅当时取“=”.∴，解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（    ）A．B．1C．2D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【详解】因为，所以,所以，即所以，解得，当且仅当，解得或时等号成立，所以当时有最大值为9.故选:D.题型10“1”代换综合型【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于.【答案】/【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】因为且，所以，当且仅当且，即，等号成立，故的最小值等于.故答案为：. 【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由题意可得：，由已知可得代入整理，再利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可求解.【详解】由题意可得：，因为，所以，即，当且仅当即时等号成立，，所以，即，所以，解得：，所以实数的取值范围为：，故答案为：.【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是【答案】【解析】将变形为，再根据“”的妙用结合基本不等式求解出的最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，取等号时，即，所以的最小值为，故答案为：.【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为． 【答案】【详解】由基本不等式可得：≤，即≤4，当且仅当时，取“”．又因为≥8.当且仅当时，取“”．所以≥≥.当且仅当时，取“”．所以的最小值为.题型11分子消去型【解题攻略】对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若，，，则的最小值为（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】，结合基本不等式即可求出答案.【详解】解：，因为，，所以，当且仅当，即，即或时，取等号，所以的最小值为.故选：A.【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ）A．2B．4C．D．【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．故选：B. 【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ）A．1B．6C．7D．【答案】B【分析】利用已知条件将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.【详解】由已知条件得，，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为6；故选：B.【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量共线定理推论得，再利用基本不等式求最值.【详解】因为因为点在线段上（不含端点），所以当且仅当时取等号，故选：B【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．10B．11C．13D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数满足，则，，即：，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为11.故选：B.题型12消元型【解题攻略】消元型： 对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ）A．6B．5C．4D．3【答案】D【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.【详解】因为x＋2y＋xy＝7，所以，所以．因为，则所以，当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为3．故选：D【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（    ）A．14B．C．8D．【答案】A【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答.【详解】因为，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，取最小值14.故选：A【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）A．2B．C．D．6【答案】B【分析】根据变形得，进而转化为，用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为．【答案】3【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值．【详解】因为，所以，，当且仅当时，等号成立． 故答案为：3．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是.【答案】/【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数、满足，则，由可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.题型13齐次化构造型【解题攻略】齐次化构造型：一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则的最小值是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理.【详解】，设，则.于是，令，则，当，即，也即时，取到最小值.故选：C【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．4B．5C．6D．8【答案】C【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果.【详解】由题得，设，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为6．故选：C．【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为　　A．B．C．D．2【答案】B【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且a=1取等，即a=1,b=取等即则的最大值为，故选：B．【变式1-2】函数的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，当且仅当时，取最大值,故选B.【变式1-3】已知，，则的最大值是．【答案】详解：由题得原式=，设，所以原式=，令 所以原式=.(函数在上单调递减).故答案为：.【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为____【详解】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，则，当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号故的最大值为，故答案为：．.题型14三角换元构造型【解题攻略】一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.【详解】法一：∵，∴可设，，∴，代入所求式子得，，当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.法二：设，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值为.故选：D【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（    ） A．B．C．0D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.【详解】令，等号在时取到．故选：A【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为．【答案】【分析】设，结合三角函数定义表示，代入条件等式通过三角恒等变换和正弦函数性质可求的最小值.【详解】设，则，则点在单位圆上，根据三角函数的定义，可设，，则，则由可得，则，因为由可得，所以，即，所以，由可得，所以当时，取得最小值，即的最小值为，故答案为：【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为.【答案】【分析】把整理为完全平方式，利用三角换元法可求.【详解】因为，所以令，解得，所以.因为，所以的最小值为. 【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为．【答案】【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.题型15因式分解双换元型【解题攻略】如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（    ）A．2B．C．D．【答案】C【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【详解】，，配凑得：，两边同时除以4得：，即，令，，则，，，所以（当且仅当即时，等号成立）.故选：C.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（    ）A．B．1C．D．【答案】B【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.【详解】因为，所以，令，则且，代入中得： 当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_____【详解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=x+3y4，b=x-y4，所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x-y4）2=x2+5y2+28≥25x2y2+28=5+14，当且仅当x2=5，y2=55时取等．故答案为5+14．【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；【详解】：∵，∴可设，，∴，代入所求式子得，，当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知且满足，则的最小值是.【答案】【分析】将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．【详解】解：，令，，则，，且，所以当且仅当时取等号，此时的最小值故答案为：．题型16配方型【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（    ）A．2B．3C．D． 【答案】C【分析】由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案.【详解】解：，则，当且仅当时，“=”成立，又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，所以的最大值为.故选：C【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ）A．B．C．D．2【答案】B【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于的不等式，解不等式即可求出结果.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以，即，所以，即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B.【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．【详解】解：，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（    ） A．40B．C．42D．【答案】D【分析】将表示成的函数，利用均值不等式求出的范围即可求解作答.【详解】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设，，若，则的最大值为．【答案】【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.【详解】因为，所以，，可得，当且仅当时，取最大值.故答案为：.高考练场1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：①∵a，b为正实数，∴；②∵x，y为正实数，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正确的推导为（    ）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D【解析】根据基本不等式的条件判断，【详解】①，∴，因此正确；②时，若，则，不等式错误；③时，不等式错误；④，则，，因此不等式正确，从而不等式正确．故选：D． 2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数在区间上（    ）A．有最大值为，最小值为0B．有最大值为，最小值为0C．有最大值为，无最小值D．有最大值为，无最小值【答案】A【分析】计算，设，变换，根据双勾函数的性质得到函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】当时，，设，易知在上单调递增，故.，，当时，，双勾函数在上单调递减，在上单调递增，且，故，，综上所述：，，即，.故选：A.3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且，则的最小值为．【答案】【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可.【详解】因为x，y均为正数，且则当且仅当且，即所以的最小值为.故答案为：.4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知，且，则的最小值为（       ）A．3B．4C．6D．9【答案】A【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.【详解】因为，故， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为3.故选：A.5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为.【答案】【分析】由，可得，再根据结合基本不等式即可得解.【详解】解：因为，所以，则，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知，且，，则的最小值为.【答案】/.【分析】由于，，所以，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以又因为，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是．【答案】【详解】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当 时，等号成立；即的最小值是，故答案为.8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，，且，则的最小值为.【答案】【分析】将等式变形为，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，，则，，由得，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.9.（2023·全国·高三专题练习）已知、，且，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意可得，将题中等式变形为，在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范围.【详解】、，，，，，所以，即，，解得.当且仅当时，；当且仅当时，.因此，的取值范围是.故答案为：.10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为.【答案】2【分析】由为，转化，结合均值不等式，即得解【详解】因为，所以=2，当且仅当，即，即时，等号成立.故答案为：211.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知，，且，则的最小值为（    ）A．4B．C．D．5 【答案】C【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】由于，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C．12.（2023春·天津和平·高三统考）已知，则的最小值是．【答案】【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.【详解】∵，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为.故答案为：.13.（2023·高三单元测试）函数的最大值是（    ）A．2B．C．D．【答案】C【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，函数又由，当且仅当，即时等号成立，所以，所以即函数的最大值是.故选：C.14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以不等式可化为，设，，则，则，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故答案为：15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为.【答案】【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.