2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题05一元二次不等式及其解法（Word版附解析）

专题05一元二次不等式及其解法知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：分式不等式的解法题型二：不含参的不等式解法题型三：含参不等式解法题型四：在R上恒成立问题题型五：在给定区间上恒成立问题题型六：给定参数范围的恒成立问题题型七：二次不等式、二次函数及二次方程的关系题型八：一元二次不等式的应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.【考点预测】1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}4.分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【常用结论】 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或【方法技巧】1.含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.2.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.3.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.4.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.5.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).二、【题型归类】【题型一】分式不等式的解法【典例1】不等式≤1的解集为________． 【解析】≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔≥0.解法一：≥0⇔得{x|x＞－或x≤－2}．解法二：≥0⇔或得{x|x＞－或x≤－2}．故填{x|x＞－或x≤－2}．【典例2】不等式＞0的解集为．【解析】＞0⇔＞0⇔(x－2)(x＋2)(x＋1)＞0，数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}，故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}．【典例3】若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　)A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【解析】易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式组的解集，求出B＝，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．故选B.【题型二】不含参的不等式解法【典例1】不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　)A.B.C.D.【解析】－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>.【典例2】(多选)已知集合M＝，集合N＝，则(　　) A．M＝B．N＝C．M∪N＝D．M∩N＝【解析】由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，故A正确，B错误；M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；而M∩N＝{x|－1<x≤3}，故D正确．【典例3】关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是________．【解析】原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5；当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．【题型三】含参不等式解法【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解为<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解为1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为.【典例2】解不等式12x2－ax>a2(a∈R).【解析】原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为∪.【典例3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【解析】不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0，当a＝0时，解集为(－∞，－1]．当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，，所以当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪；当－2＜a＜0时，解集为；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，解集为.【题型四】在R上恒成立问题【典例1】对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是(　　)A．－2<a≤2B．－2≤a≤2C．a<－2或a≥2D．a≤－2或a≥2【解析】不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需即有解得－2<a<2.综上可得，a的取值范围为(－2,2]．【典例2】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.【解析】当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立.当m≠0时，则即－4<m<0.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0]. 【典例3】若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】不等式可变形为a>＝－，令＝t，则t>0.∴y＝－＝t－t2＝－＋，因此当t＝时，y取最大值，故实数a的取值范围是a>.故填.【题型五】在给定区间上恒成立问题【典例1】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是.方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，所以m<在x∈[1,3]上恒成立． 令y＝，因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.【典例2】若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则实数a的最小值为(　　)A．0B．－2C．－D．－3【解析】解法一：不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈，∴a≥－.∵f(x)＝在上是减函数，∴＝－.∴a≥－.解法二：令f(x)＝x2＋ax＋1，对称轴为x＝－.①⇒a≥0.(如图1)②⇒－1＜a＜0.(如图2)③⇒－≤a≤－1.(如图3)图1图2图3综上①②③，a≥－.故选C.【典例3】若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　) A.(13，＋∞)B.(5，＋∞)C.(4，＋∞)D.(－∞，13)【解析】m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.【题型六】给定参数范围的恒成立问题【典例1】若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得∴x<－1或x>3.【典例2】已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3C．1＜x＜2D．x＜1或x＞2【解析】记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]，依题意，只须⇒⇒x＜1或x＞3，故选B.【典例3】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.【解析】设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g1<0g2<0，即解得<x<， 故x的取值范围为.【题型七】二次不等式、二次函数及二次方程的关系【典例1】已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　)A.B.C．{x|－2<x<1}D．{x|x<－2或x>1}【解析】由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0.由韦达定理得⇒∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.解得－1＜x＜.故选B.【典例2】已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式cx2－bx＋a＞0的解集为________．【解析】∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得　即代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0)．即6x2＋5x＋1＜0，解得－＜x＜－.故填.【典例3】(多选)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(　　) A．(－2，－1)B．(－3，－6)C．(2,4)D.【解析】不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，且即a＝2b<0，故选AD.【题型八】一元二次不等式的应用【典例1】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【解析】(1)根据题意，200≥3000⇒5x－14－≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104＝9×104.故x＝6时，ymax＝457500元．【典例2】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．【解析】(1)由题意得y＝100·100.∵售价不能低于成本价，∴100－80≥0.∴y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.∴x的取值范围是 .三、【培优训练】【训练一】若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.【解析】令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.当2a>1，即a>时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1<x<2a}，则3<2a≤4，解得<a≤2；当2a＝1，即a＝时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，所以a＝不符合题意；当2a<1，即a<时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|2a<x<1}，则－2≤2a<－1，解得－1≤a<－.综上，a的取值范围是.【训练二】已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组fx>0fx+k<0的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．【解析】(1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，可得解得 所以f(x)＝2x2－10x.不等式组fx>0fx+k<0即解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，所以k的取值范围是[－2，－1)．(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，即tx2－5tx－1≤0，当t＝0时显然成立，当t>0时，有即解得－≤t≤，所以0<t≤；当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t－5t－1≤0，解得t≥－，即－≤t<0，综上，t的取值范围是.【训练三】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．【解析】(1)∵f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)， ∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0.因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.由于a＜0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式f(x)＝－x2－x－.(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a－，及a＜0，可得f(x)的最大值为－.由解得a＜－2－或－2＋＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．【训练四】解关于x的不等式：＞1(a＜1)．【解析】(x－2)[(a－1)x＋2－a]＞0，当a＜1时有(x－2)＜0，若＞2，即0＜a＜1时，解集为{x|2＜x＜}；若＝2，即a＝0时，解集为∅；若＜2，即a＜0时，解集为{x|＜x＜2}． 【训练五】已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.【解析】对任意x∈N*，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3.设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是.【训练六】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式可化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.四、【强化测试】【单选题】1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于(　　)A．(0,2)B．(－1,0)C．(－3,2)D．(－1,3)【解析】A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1,0)．故选B.2.若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集为(　　)A.B.C.D.【解析】原不等式可化为(x－t)<0，∵0<t<1，∴t<， ∴原不等式的解集为.故选D.3.已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为(　　)A.∪B.C.∪D.【解析】由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，故不等式f(－2x)<0的解集是∪.4.已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)A．100台B．120台C．150台D．180台【解析】由题设，产量为x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3000≥0，x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台． 5.已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是(　　)A．∪B．C．∪D．【解析】由f(x)>0，得ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)，所以a<0，且解得a＝－1或a＝(舍去)，所以a＝－1，b＝－3，所以f(x)＝－x2＋2x＋3，所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－.故选A.6.若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．[－1，4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2，5]【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.故选A.7.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)A．[－4，1]B．[－4，3]C．[1，3]D．[－1，3]【解析】原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1 时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.故选B.8.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)A．[－4，1]B．[－4，3]C．[1，3]D．[－1，3]【解析】原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.故选B.【多选题】9.满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(　　)A．(－2，－1)B．(－3，－6)C．(2,4)D.【解析】不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，且即a＝2b<0，故选AD.10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　)A．a2－b2≤4B．a2＋≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4【解析】因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则方程x2＋ax＋b－c＝0 的两根为x1，x2，故可得＝＝＝2＝4，故可得c＝4.故选ABD.11.若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　)A．b<0且c>0B．a－b＋c>0C．a＋b＋c>0D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)【解析】对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所在－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误，对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．故选ABD.12.下列四个解不等式，正确的有(　　)A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，则a的值是3D．若关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1【解析】对于A，因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，所以由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，所以不等式的解集为.故A错误；对于B，因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，所以(2x－1)(3x＋2)≥0， 所以x≥或x≤－.故B正确；对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－7×(－1)＝，所以a＝3.故C正确；对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．故选BCD.【填空题】13.不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．【解析】不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.答案：{x|0<x<2}14.若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．【解析】原不等式可化为(x－a)<0，由0<a<1得a<，所以a<x<.答案：15.若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】方法一：当x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，因为不等式x2＋2ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上无解或有两个相等的实根或x2＋2ax＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或解得a≥－1.方法二：因为x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，不等式可化为－2a≤x＋(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.综上，a≥－1.答案：[－1，＋∞) 16.在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意，可知不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x都成立，又由(x－a)(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，解得－<a<.答案：【解答题】17.若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a＝－2.(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－3<x<，即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为.18.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．【解析】(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，所以，得， 所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因为F(x)＝，所以F(2)＋F(－2)＝8.(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0，1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.19.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.【解析】(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，∴解得故a的值为3±，b的值为－3.20.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以故a＝4，b＝－8， 所以f(x)＝4x2－8x＋2.(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2)．21.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，　s乙＝0.05x＋0.005x2.问甲、乙两车有无超速现象？【解析】由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30km/h，又由甲车刹车距离略超12m，可判断甲车车速不会超过限速40km/h.对于乙车有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2000＞0，解得x＞40或x＜－50(舍去)．这表明乙车超过40km/h，超过规定限速．22.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.【解析】(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6，2].(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0 在x∈[－2，2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则有①Δ≤0或②或③解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a＜－6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，只需即解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).