高考数学专题-不等式选讲（解析版）

专题23不等式选讲【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．14【解析】（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，（此处设）14三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）.（2）.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；（3）零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即①定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.②定理2:如果a，b，c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立.14③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.（二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.（三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.1．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】设函数14.（1）解不等式；（2），证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）根据题意，由得或或解之得，故不等式的解集为.（2）由（1）易得当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.∴当时，函数.由题知，即，∵，∴，∴.∴，∴，∴.【名师点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，不等式证明，属于中档题.14（1）去绝对值号，转化为分段函数，解不等式即可；（2）由（1）可知函数，且恒成立，求得，故，由不等式传递性可得.2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】已知函数，．（1）若将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，要使恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）由函数的图象向左平移个单位可得，函数，要使恒成立，则，即恒成立，因为，所以只需，即实数的最大值为1.（2）当时，函数，若函数存在零点，则满足函数，即，因为函数与函数的图象有且只有一个交点，14所以实数的取值范围为.【名师点睛】本题考查了绝对值三角不等式及函数零点存在性定理，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属中档题．3．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：.的解集为：.（2）若存在满足等价于有解，，，解得：.实数的取值范围为：.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用、能成立问题的求解问题，关键是能够将能成立问题转化为最值的求解问题，通过求解最值得到不等关系，从而求得结果.（1）分别在，，三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将问题转化为有解；利用绝对值三角不等式可求得，从而得到，解不等式求得结果.144．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学试题】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，当时，不成立，无解；当时，，解得，所以；当时，，符合.综上，不等式的解集为.（2）恒成立等价于，因为，所以.所以，所以，解得.所以所求实数的取值范围为.【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．（1）将a＝1代入f（x）中去绝对值，然后分别解不等式；（2）f（x）﹣a﹣2≤0恒成立等价于f（x）max≤a+2，求出f（x）的最大值后解不等式．5．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学试题】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.14【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，不等式可化为.讨论：①当时，，所以，所以；②当时，，所以，所以；③当时，，所以，所以.综上，当时，不等式的解集为.（2）因为，所以.又因为，对任意成立，所以，所以或.故实数的取值范围为.【名师点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.（1）把代入，利用零点分段讨论法求解；（2）对任意成立转化为求的最小值可得.6．【2019年湖北省武汉市高考数学（5月份）模拟数学试题】设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，不等式化为.当时，不等式为，即，有；当时，不等式为，即，有；当时，不等式为，即，有；14综上所述，当时，不等式的解集为.（2），即.当时，不恒成立；当时，所以，即.当时，所以，即.综上所述，的取值范围为.【名师点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.（1）把代入，利用分类讨论法去掉绝对值求解；（2）先求的最小值，然后利用这个最小值不小于2可得实数的取值范围．7．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知．（1）求不等式的解集；（2）设、、为正实数，且，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）①时，，由，得，∴，即；14②时，，由，得，∴，即；③时，，由，得，∴，可知无解.综上，不等式的解集为.（2）∵，∴，∴，且为正实数，∴，∵，，，∴，∴，又为正实数，∴．【名师点睛】求解本题时，（1）对分三种情况进行讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）先求得，结合，利用基本不等式可得结果.绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．8．【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查数学试题】已知函数，为不等式的解集.（1）求；（2）证明：当时，.【答案】（1）；（2）见解析.14【解析】（1）不等式等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为.　（2）要证，只需证，即证，只需证，即，即证，只需证，因为，所以，所以所证不等式成立.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法和分析法证明不等式，基础题.（1）利用定义去掉绝对值，化简函数，再逐段解不等式.（2）利用分析法证明.9．【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一(B卷)数学试题】设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.14【答案】（1）；（2）.【解析】（1）不等式可化为或或，解得，的解集为.（2），，，.当且仅当时，即时，取“”，的最小值为．【名师点睛】求解本题时，（1）不等式可化为或或，据此求解不等式的解集即可；（2）由题意可得，结合均值不等式求解的最小值即可，注意等号成立的条件.绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1410．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学试题】已知函数，且的解集为［3，5］.（1）求m的值；（2）a，b均为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1），等价于.其解集为.又的解集为，故.（2）由（1）得.方法一：，当且仅当时等号成立，故的最小值为5.方法二：，当且仅当时等号成立，故的最小值为5.【名师点睛】本题考查不等式的解法，考查了运用基本不等式求最值的方法，正确运用基本不等式是关键．（1）根据f（x-2）的解析式得出，根据解集得出m；（2）利用基本不等式即可得出结论．14</g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>