2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题33平面向量基本定理及坐标表示（Word版附解析）

专题33平面向量基本定理及坐标表示知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：平面向量基本定理的应用题型二：平面向量的坐标运算题型三：利用向量共线求参数题型四：利用向量共线求参数培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【考点预测】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．【常用结论】1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.4.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.【方法技巧】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3.向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体． 4.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．二、【题型归类】【题型一】平面向量基本定理的应用【典例1】在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)A.a＋bB.a－bC.－a－bD.－a＋b【解析】＝＋＝＋＝(－)－＝－－＝－a－b.故选C.【典例2】在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________.【解析】如图所示.∵A，M，Q三点共线，∴＝x＋(1－x) ＝＋(1－x)，又∵＝＋，＝t，∴解得t＝.【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A.B.C.D.【解析】因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.故选D.【题型二】平面向量的坐标运算【典例1】已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)A.B.C.D.【解析】∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－(a－2b)＝.故选D.【典例2】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A.B.C．2D.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，∵＝λ＋μ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴解得故λ＋μ＝.故选B.【典例3】向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于(　　)A．1B．2C．3D．4【解析】以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)， 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则解得∴＝＝4.故选D.【题型三】利用向量共线求参数【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．【解析】∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)，又∵a－b与b共线，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.【典例2】已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)A．－B．C．D．【解析】＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.故选A.【题型四】利用向量共线求向量或点的坐标【典例1】在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________．【解析】因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以点C，同理点D.设M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝，因为A，M，D三点共线，所以与共线，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，而＝，＝＝，因为C，M，B三点共线，所以与共线，所以x－4＝0，即7x－16y＝－20，由得所以点M的坐标为.【典例2】已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.【解析】法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ). 又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).三、【培优训练】【训练一】已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a＋b，则a＋b的最大值为(　　)A.B．C.D．【解析】根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由＝a＋b＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以＝(3a，4z－4a)．设Q(x，y)，所以消去a，得y＝－x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝，|AR|＝，所以点A到直线y＝－x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为，所以＝，解得z＝ ，即a＋b的最大值为.故选C.【训练二】(多选)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是(　　)A．线段AB的中点的广义坐标为B．A，B两点间的距离为C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1D．向量垂直于的充要条件是x1x2＋y1y2＝0【解析】由中点的意义知A正确；只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；由向量平行的充要条件得C正确；只有e1，e2互相垂直时，与垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D不正确．故选AC.【训练三】已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．(1)求AD的长度；(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．【解析】(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.【训练四】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设＝λ，将用λ，，表示；(2)设＝x，＝y，求证：＋是定值．【解析】(1)解　＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明　由(1)得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy，因为G是△OAB的重心，所以＝＝×(＋)＝＋. 又，不共线，所以解得所以＋＝3，即＋为定值．【训练五】如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.(1)用向量a与b表示向量，；(2)若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．【解析】(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝.因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b.(2)C，D，E三点不共线．理由如下：因为＝，所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b，由(1)知＝a＋b，所以不存在实数λ，使得＝λ.所以C，D，E三点不共线．【训练六】如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件： 与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.【解析】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，由tanα＝7知α为锐角，则sinα＝，cosα＝，故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.∴点B，C的坐标分别为，，∴＝，＝.又＝m＋n，∴＝m(1，0)＋n，∴解得∴m＋n＝＋＝.四、【强化测试】【单选题】1.已知向量a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2，1)，则b＝(　　)A．(1，2)　　　　　　　　B．(1，－2)C．(－1，2)D．(－1，－2)【解析】因为a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2，1)②，所以②－①得3b＝(－3，6)，所以b＝(－1，2)．故选C.2.设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　) A.B．－C．－3D．3【解析】方法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B.方法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.故选B.3.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)A．B．C．D．【解析】易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知所以所以E.故选A.4.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)A．B．C．3D．2【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)， 因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.故选A.5.设向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为(　　)A．－2B．1C．－2或1D．m的值不存在【解析】向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.当m＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2,2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意.故选A.6.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　)A.b－a　　B.a－bC.a－b　　D.b－a【解析】＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.故选D.7.已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　)A.4B.C.D.2 【解析】根据题意，设AB边的中点为D，因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.由AB的中点为D，得＋＝2，又由＋＋2＝0，得＝－，则O是CD的中点，又△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，所以S△AOB＝×4×＝2.故选D.8.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为(　　)A.48B.49C.50D.51【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).设M(m，0)，N(0，n)，因为2||＋||＝1，所以2m＋n＝1.因为＝x＋y＝＋，所以x＝，y＝，所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号.故选B.【多选题】9.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2B．C．1D．－1【解析】各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.故选ABD.10.已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)A．＋B．－C．＋D．＋【解析】如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选AC．11.设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋cB．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μcC．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μcD．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc【解析】∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b， 即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．故选AB.12.如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　)A．当x＝0时，y∈[2,3]B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．当P在C点时，x＝1，y＝2【解析】当＝y时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A中结论错误；当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋) ＝3＋(－2＋－)＝－＋，故B中结论正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C中结论正确；因为＝(＋)，所以＝2－，则＝－＋2，所以x＝－1，y＝2，D错误．故选BC.【填空题】13.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.【解析】由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以14.已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．【解析】设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.15.在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________． 【解析】因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，所以＝，所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.16.已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.【解析】设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故||＝＝.【解答题】17.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)方法一　∵A，B，C三点共线，∴＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.方法二　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.18.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得方法二　∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． 19.如图，在△ABC中，＝＋.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.【解析】(1)在△ABC中，由＝＋，得4－3－＝0，即3(－)＝－，即3＝，即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，∴△ABM与△ABC的面积之比为.(2)∵＝＋，＝x＋y(x，y∈R)，∥，＝，∴设＝λ＝＋＝＋.∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，故x＋y＝.20.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 【解析】方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，所以||＝2，||＝4，所以||＝||＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6.21.已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线． 【解析】(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．点M在第二或第三象限⇔解得t2＜0且t1＋2t2≠0.故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．因为＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，所以A，B，M三点共线．22.已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．【解析】(1)因为＝2，所以＝，所以＝(－)＝－，又因为＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以＝＋，又因为＝m＋，所以＝＋(m＋1)， 依题意，是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1.