2024中考数学第一轮专题复习： 等腰三角形与直角三角形（解析版）

等腰三角形与直角三角形(共26道)一、单选题1(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点．ADDE若点E在边AC上，且=，则AE的长为()ABBC3A.1B.2C.1或D.1或22【答案】D【分析】根据题意易得AB=23,AC=4，然后根据题意可进行求解．【详解】解：∵∠B=90°,∠A=30°,BC=2，∴AB=3BC=23,AC=2BC=4，∵点D为AB的中点，1∴AD=AB=3，2ADDE∵=，ABBC∴DE=1，①当点E为AC的中点时，如图，1∴AE=AC=2，2②当点E为AC的四等分点时，如图所示：∴AE=1，综上所述：AE=1或2；故选D．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．2(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB=4，CE=10，则AG=()·1· A.2B.2.5C.3D.3.5【答案】C【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得BG=BF=5，在Rt△ABG中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD中，∴∠ABC=∠BAC=90°，∵F为CE的中点，CE=10，1∴BG=BF=CE=5，22222在Rt△ABG中，AG=BG-AB=5-4=3，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.3(2023·北京·统考中考真题)如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB=a，BC=b，DE=c，给出下面22三个结论：①a+b<c；②a+b>a+b；③2a+b>c；上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【分析】如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，则DF=AC=a+b，由DF<DE，可得a+b<c，进而可判断①的正误；由△EAB≌△BCD，可得BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE2222=∠CDB，则∠EBD=90°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=AB+AE=a+b，由222222AB+AE>BE，可得a+b>a+b，进而可判断②的正误；由勾股定理得DE=BD+BE，即c=22222a+b，则c=2×a+b<2a+b，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，∴DF=AC=a+b，∵DF<DE，∴a+b<c，①正确，故符合要求；∵△EAB≌△BCD，∴BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE=∠CDB，∵∠CBD+∠CDB=90°，∴∠CBD+∠ABE=90°，∠EBD=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，2222由勾股定理得，BE=AB+AE=a+b，∵AB+AE>BE，22∴a+b>a+b，②正确，故符合要求；·2· 222222由勾股定理得DE=BD+BE，即c=2a+b，22∴c=2×a+b<2a+b，③正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：①若α=45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；②若α=60°，则AD的最大值为27；③若α=60°,△ABC∽△CBD，则OD的长为23；④若△ABC∽△BCD，则当x=2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为()A.①④B.②③C.①②④D.①③④【答案】A【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出△ABD的重心，即可求解；当α=60°，BD⊥BC时，AD取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AD的长，即可求解；③如图5，若α=60°，△ABC∽△CBD，33根据相似三角形的性质求得CD=3，GE=DF=，CF=，进而求得OD，即可求解；④如图6，根221222据相似三角形的性质得出CD=BC，在Rt△ABC中，BC=16-x，根据二次函数的性质，即可求AC4+CD取得最大值时，x=2．【详解】①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心；如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD中点，点E是重心；如图3，点F不是AD中点，所以点E不是重心；①正确②当α=60°，如图4时AD最大，AB=4，∴AC=BE=2，BC=AE=23，BD=3BC=6，∴DE=8，∴AD=219≠27，∴②错误；·3· ③如图5，若α=60°，△ABC∽△CBD，∴∠BCD=60°，∠CDB=90°，AB=4，AC=2，BC=23，OE=3，CE=1，33∴CD=3，GE=DF=，CF=，2253∴EF=DG=，OG=，22∴OD=7≠23，∴③错误；④如图6，△ABC∽△BCD，CDBC∴=，BCAB12即CD=BC，422在Rt△ABC中，BC=16-x，1212∴CD=16-x=-x+4，441212∴AC+CD=x-x+4=-(x-2)+5，44当x=2时，AC+CD最大为5，∴④正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．5(2023·浙江·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是()2A.2B.C.2D.12【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得BE=2AB，∠ABE=∠AEB=45°，∠BAE=90°，再判断出点A,·4· B,E,D四点共圆，在以BE为直径的圆上，连接BD，根据圆周角定理可得∠BDE=90°，∠ADB=∠AEB=45°，然后根据相似三角形的判定可得△ABD∼△EBC，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：∵△BAE是以AB为腰的等腰直角三角形，∴BE=2AB，∠ABE=∠AEB=45°，∠BAE=90°，∵AD∥BC,∠C=45°，∴∠ADE=180°-∠C=135°，∴∠ADE+∠ABE=180°，∴点A,B,E,D四点共圆，在以BE为直径的圆上，如图，连接BD，由圆周角定理得：∠BDE=90°，∠ADB=∠AEB=45°，∴∠ADB=∠C=∠CBD=45°，∴∠ABD+∠DBE=45°=∠EBC+∠DBE，∴∠ABD=∠EBC，∠ADB=∠C在△ABD和△EBC中，，∠ABD=∠EBC∴△ABD∼△EBC，CEEB∴==2，ADAB∴CE=2AD=2×1=2，故选：A．【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点A,B,E,D四点共圆，在以BE为直径的圆上是解题关键．6(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF=DE，连结AE,AF,EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结2HD，HC．下列四个结论：①AH=HC；②HD=CD；③∠FAB=∠DHE；④AK⋅HD=2HE．其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据正方形ABCD的性质可由SAS定理证△ABF≌△ADE，即可判定△AEF是等腰直角三角11形，进而可得HE=HF=AH=EF，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得HC=EF；由此即可22判断①正确；再根据∠ADH+∠EAD=∠DHE+∠AEH，可判断③正确，进而证明△AFK∼△HDE，可AFAK得=，结合AF=2AH=2HE，即可得出结论④正确，由∠AED随着DE长度变化而变化，不HDHE固定，可判断②HD=CD不一定成立．【详解】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ADC=∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，·5· ∴∠ABF=∠ADC=90°，∵BF=DE，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴∠BAF=∠DAE，AF=AE，∴∠FAE=∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=∠AFE=45°，∵AH⊥EF，1∴HE=HF=AH=EF，2∵∠DCB=90°，1∴CH=HE=EF，2∴CH=AH，故①正确；又∵AD=CD,HD=HD,∴△AHD≅△CHD(SSS),1∴∠ADH=∠CDH=∠ADC=45°，2∵∠ADH+∠EAD=∠DHE+∠AEH，即：45°+∠EAD=∠DHE+45°，∴∠EAD=∠DHE，∴∠FAB=∠DHE=∠EAD，故③正确，又∵∠AFE=∠ADH=45°，∴△AFK∼△HDE，AFAK∴=，HDHE又∵AF=2AH=2HE，2∴AK⋅HD=2HE，故④正确，180°-45°∵若HD=CD，则∠DHC=∠DCH==67.5°，2又∵CH=HE，∴∠HCE=∠HEC=67.5°，而点E是CD上一动点，∠AED随着DE长度变化而变化，不固定，而∠HEC=180°-∠AED-45°=135°-∠AED，则故∠HEC=67.5°不一定成立，故②错误；综上，正确的有①③④共3个，故选：C．【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二、填空题7(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图3中阴影部分的面积为dm．·6· 【答案】2【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解．【详解】解：如图所示，21依题意，OD=AD=22，OE=OD=22222∴图中阴影部分的面积为OE=2=2故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．8(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=5ED=．2(1)△ADE的面积为；(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为．【答案】313【分析】(1)过点E作EH⊥AD，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH的长，再利用勾股定理，求出EH的长，即可得到△ADE的面积；(2)延长EH交AG于点K，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF≌△KEFASA，得到EK的长，进KHAH而得到KH的长，再证明△AHK∽△ADG，得到=，进而求出GD的长，最后利用勾股定理，即GDAD可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，5∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=，EH⊥AD，213∴AH=DH=AD=，22225232在Rt△AHE中，EH=AE-AH=2-2=2，11∴S△ADE=AD⋅EH=×3×2=3,22故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，·7· ∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，∠ABF=∠KEF在△ABF和△KEF中，BF=EF，∠AFB=∠KFE∴△ABF≌△KEFASA，∴EK=AB=3，1由(1)可知，AH=AD，EH=2，2∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，KHAH∴=，GDAD∴GD=2，2222在Rt△ADG中，AG=AD+GD=3+2=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．9(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND=90°时和当∠NMD=90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND=90°时，∵四边形ABCD矩形，∴∠A=90°，则MN∥AB，ANBM由平行线分线段成比例可得：=，NDMD又∵M为对角线BD的中点，∴BM=MD，·8· ANBM∴==1，NDMD即：ND=AN=1，∴AD=AN+ND=2，当∠NMD=90°时，∵M为对角线BD的中点，∠NMD=90°∴MN为BD的垂直平分线，∴BN=ND，∵四边形ABCD矩形，AN=AB=122∴∠A=90°，则BN=AB+AN=2，∴BN=ND=2∴AD=AN+ND=2+1，综上，AD的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10(2023·湖北·统考中考真题)如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由题意易得AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=EF，DE=BE，∠DEB=∠AEF=∠BAC=90°，则可证△AEB≌△FEDSAS，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：∵△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∴AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=EF，DE=BE，∠DEB=∠AEF=∠BAC=90°，∵∠DBA=∠DBE-∠ABE,∠EBC=∠ABC-∠ABE，∠AEB=∠AED+∠DEB,∠FED=∠AEF+∠AED，∴∠DBA=∠EBC,∠AEB=∠FED，故①正确；∴△AEB≌△FEDSAS，∴AB=DF=AC,∠ABE=∠FDE，∠BAE=∠DFE，故③正确；∵∠ABE+∠BHE=90°,∠EFD+∠EGF=90°，∠BAE+∠EAC=90°，BE>AE，∴∠BHE≠∠EGF，∠EGF=∠EAC；故②错误；∴DF∥AC，∵DF=AC，∴四边形ADFC是平行四边形，·9· ∴AD=CF，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．11(2023·山东·统考中考真题)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若1∠DAE=30°，tan∠EAC=，则BD=．3【答案】3-3【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根据∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，从而可得tan∠DAH=tan∠EAC1DHDH1=，利用锐角三角函数求得AH=AB⋅sin60°=33，再由==，求得DH=3，即可求得3AH333结果．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，∵AH⊥BC，1∴∠BAH=∠BAC=30°，2∴∠BAD+∠DAH=30°，∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠DAH=∠EAC，1∴tan∠DAH=tan∠EAC=，31∵BH=AB=3，23∵AH=AB⋅sin60°=6×=33，2DHDH1∴==，AH333∴DH=3，∴BD=BH-DH=3-3，故答案为：3-3．【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH=∠EAC是解题的关键．12(2023·山东日照·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过·10· 点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．96下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=；④BM+MN25+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出BD=151S△MPEME210，MN=，，利用S=MN×BD判断②；根据相似可以得到=，判断③；利用2四边形MBND2SBD△DAB将军饮马问题求出最小值判断④．【详解】解：∵EM=EN，MN⊥BD，∴MP=PN，在点P移动过程中，不一定MP=PN，相矛盾，故①不正确；延长ME交BC于点P,则ABPM为矩形，2222∴BD=AB+AD=6+8=10∵ME⊥AD，MN⊥BD，∴∠MED+∠MDE=∠MEP+∠EMN=90°，∴∠MDE=∠EMN，∴△MPN∽△DAB，MPPNMN∴==，ADABBD6PNMN即==，8610915解得：PN=，MN=，2211111575∴S四边形MBND=S△BMN+S△DMN=MN×BP+MN×DP=MN×BD=××10=222222故②正确；∵ME∥AB，∴△DME∽△DAB，MEMD2∴==，ABAD3∴ME=4，∵∠MDE=∠EMN，∠MPE=∠A=90°，∴△MPE∽△DAB，S△MPEME24∴==，S△DABBD25·11· 44196∴S△MPE=S△DAB=××6×8=，2525225故③正确，15BM+MN+ND=BM+ND+，2即当MB+ND最小时，BM+MN+ND的最小值，作B、D关于AD、BC的对称点B1、D1,9把图1中的CD1向上平移到图2位置，使得CD=，连接B1D1，即B1D1为MB+ND的最小值，则AC=27BD1=，BB1=12,22272225这时B1D1=BD1+BB1=2+12=2，即BM+MN+ND的最小值是20，故④正确；故答案为：②③④【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DF、BC于点M、N，以下说法：①当AB=AC=BC时，∠AED=30°；②EC=BD；③若AB=3，AC=4，BC=6，则DE=23；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)【答案】①②④【分析】①当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得1出∠AED=∠ADE=180°-120°=30°，进而判断①；证明△BAD≌△EAC，根据全等三角形的性质2判断②；作直线MN⊥BC于点N，过点D作DG⊥MN于点G，过点E作EH⊥MN于点H，证明·12· △ACN≌△DAG，△ABN≌△EAH，△EHM≌△DGM(AAS)，即可得M是ED的中点，故④正确，证明2222Rt△MEH≌Rt△MDGHL，可得MG=MH，在Rt△ABN中，AN=AB-BN，在Rt△ANC中，AN=2229AC-CN，得出a=，在Rt△MGD中，勾股定理即可求解．12【详解】解：①当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠EAD=360°-90°-90°-60°=120°∵等腰直角△ABE、△ACD，∴BA=BE,BA=AD∴AE=AD1∴∠AED=∠ADE=180°-120°=30°；故①正确；2②∵等腰直角△ABE、△ACD，∴AB=AE,AD=AC，∠BAE=∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∴△BAD≌△EAC∴EC=BD；故②正确；④如图所示，作直线MN⊥BC于点N，过点D作DG⊥MN于点G，过点E作EH⊥MN于点H，∵∠BAE=90°，MN⊥BC∴∠ABN+∠BAN=90°，又∠EAM+∠BAN=90°，∴∠EAM=∠ABN又∵EA=AB，∴△EAH≌△ABNAAS同理得，△ACN≌△DAG，∴GD=AN，AG=CN，EH=AN,AH=BN，∵∠EMH=∠DMG，∠EHM=∠DGM=90°，，∴△EHM≌△DGM(AAS)，∴EM=DM，即M是ED的中点，故④正确，∴MG=MH，设BN=a，则CN=BC-BN=6-a222在Rt△ABN中，AN=AB-BN222在Rt△ANC中，AN=AC-CN2222∴AB-BN=AC-CN2222∴3-a=4-6-a29解得：a=122943∴AG=CN=6-=，1212222292455∴AN=AB-BN=3-12=，12297∴GH=AG-AH=AN-BN=6-2a=6-2×=126177∴MG=×=2612·13· 2272455214在Rt△MGD中，MD=GD+MG=12+12=2∴ED=2MD=14,故③错误故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．14(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为2【答案】M-8,6或M-8,3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设Nx,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，·14· 当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设Nx,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，2022解得：x=-，则-2x-6=，3322202∴CM=CK-MK=-=，3332∴M-8,；32综上：M-8,6或M-8,．32故答案为：M-8,6或M-8,．3【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．15(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，∠BAC=90°,AB=AC=32．过点C作CD⊥BC，延长1CB到E，使BE=CD，连接AE,ED．若ED=2AE，则BE=．(结果保留根号)3【答案】7+1/1+7【分析】如图，过E作EQ⊥CQ于Q，设BE=x,AE=y，可得CD=3x,DE=2y，证明BC=2AB=6，2222CE=6+x，△CQE为等腰直角三角形，QE=CQ=CE=6+x=32+x，AQ=x，22222222y=6+x+3x由勾股定理可得：22222，再解方程组可得答案．y=x+32+x22【详解】解：如图，过E作EQ⊥CQ于Q，设BE=x,AE=y，1∵BE=CD，ED=2AE，3·15· ∴CD=3x,DE=2y，∵∠BAC=90°,AB=AC=32，∴BC=2AB=6，CE=6+x，△CQE为等腰直角三角形，222∴QE=CQ=CE=6+x=32+x，2222∴AQ=x，22222y=6+x+3x由勾股定理可得：22222，y=x+32+x222整理得：x-2x-6=0，解得：x=1±7，经检验x=1-7不符合题意；∴BE=x=1+7；故答案为：1+7．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC,BD相交于点O．若AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD，则AD的长为．971【答案】/97331【分析】过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，根据等腰三角形性质得出BH=HC=BC222=3，根据勾股定理求出AH=AC-CH=4，证明∠CBD=∠CED，得出DB=DE，根据等腰三角形性CDCE8质得出CE=BC=6，证明CD∥AH，得出=，求出CD=，根据勾股定理求出DE=AHHE329722282297DECE36CE+CD=6+3=，根据CD∥AH，得出=，即=，求出结果即可．3ADCHAD3【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，如图所示：则∠AHC=∠AHB=90°，∵AB=AC=5,BC=6，1∴BH=HC=BC=3，222∴AH=AC-CH=4，∵∠ADB=∠CBD+∠CED，∠ADB=2∠CBD，∴∠CBD=∠CED，∴DB=DE，∵∠BCD=90°，∴DC⊥BE，∴CE=BC=6，·16· ∴EH=CE+CH=9，∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴△ECD~△EHA，CDCE∴=，AHHECD6即=，498解得：CD=，322282297∴DE=CE+CD=6+3=，3∵CD∥AH，DECE∴=，ADCH29736即=，AD397解得：AD=．397故答案为：．3【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC∠A=90°硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．【答案】88+22【分析】根据题意，可固定四边形GFCE，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．【详解】·17· 21如图1，BC=4，AC=4×=22，CI=BD=CE=AC=222DI=BC=4∴四边形BCID周长=4+4+22=8+22；如图2，AF=AI=IC=FC=2∴四边形AFCI周长为2×4=8；故答案为：最小值为8，最大值8+22.【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三、解答题18(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)∠AEF=90°，证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；(2)延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，证明△ABF≅△ACHSAS，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DC，即D是MC的中点；(2)∠AEF=90°；·18· 证明：如图2，延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位线，∴DE∥CH，CH=2DE，由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∴∠FCH=2α，∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACH，AB=AC，设DM=DE=m，CD=n，则CH=2m，CM=m+n，∴DF=CD=n，∴FM=DF-DM=n-m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM-FM=m+n-n-m=2m，∴CH=BF，AB=AC在△ABF和△ACH中，∠B=∠ACH，BF=CH∴△ABF≅△ACHSAS，∴AF=AH，∵FE=EH，∴AE⊥FH，即∠AEF=90°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．19(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】图②中FH=2FG，图③中FH=FG，证明见解析1【分析】图②：如图②所示，连接BD，HG，CE，先由三角形中位线定理得到FG∥CE，FG=CE，GH∥21BD，GH=BD，再证明△ABD≌△ACE得到CE=BD，∠ACE=∠ABD，则FG=HG，进一步证明2∠FGH=90°，即可证明△HGF是等腰直角三角形，则FH=2FG；图③：仿照图②证明△HGF是等边三角形，则FH=FG．·19· 【详解】解：图②中FH=2FG，图③中FH=FG，图②证明如下：如图②所示，连接BD，HG，CE，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴FG是△CDE的中位线，1∴FG∥CE，FG=CE，21同理可得GH∥BD，GH=BD，2∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∴FG=HG，∵BD∥GH，FG∥CE，∴∠FGH=∠FGD+∠HGD=∠DCE+∠GHC+∠GCH=∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠ACE=∠DBC+∠ABD+∠ACB=∠ACB+∠ABC=90°，∴△HGF是等腰直角三角形，∴FH=2FG；图③证明如下：如图③所示，连接BD，HG，CE，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴FG是△CDE的中位线，1∴FG∥CE，FG=CE，21同理可得GH∥BD，GH=BD，2∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∴FG=HG，∵BD∥GH，FG∥CE，∴∠FGH=∠FGD+∠HGD=∠DCE+∠GHC+∠GCH=∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠ACE=∠DBC+∠ABD+∠ACB=∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=60°，·20· ∴△HGF是等边三角形，∴FH=FG．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．20(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．【答案】(1)BE=CF，30(2)BE=CF，∠BDC=60°，证明见解析(3)BF=CF+2AM7+77-7(4)或44【分析】(1)根据已知得出∠BAE=∠CAF，即可证明△BAE≌△CAF，得出BE=CF，∠ABE=∠ACF，进而根据三角形的外角的性质即可求解；(2)同(1)的方法即可得证；1(3)同(1)的方法证明△BAE≌△CAFSAS，根据等腰直角三角形的性质得出AM=EF=EM=2MF，即可得出结论；(4)根据题意画出图形，连接BD，以BD为直径,BD的中点为圆心作圆，以D点为圆心，1为半径作圆，两2圆交于点P,P1，延长BP至M，使得PM=DP=1，证明△ADP∽△BDM，得出PA=BM，勾股定理2·21· 22+14求得PB，进而求得BM，根据相似三角形的性质即可得出PA=1+7=，勾股定理求22得BQ,PQ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠EAF=30°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF，∠ABE=∠ACF设AC,BD交于点O，∵∠AOD=∠ACF+∠BDC=∠ABE+∠BAO∴∠BDC=∠BAO=∠BAC=30°，故答案为：BE=CF，30．(2)结论：BE=CF，∠BDC=60°；证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF∴BE=CF，∠AEB=∠AFC∵∠EAF=120°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30°=60°，(3)BF=CF+2AM，理由如下，∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形∴AB=AC,AE=AF，∴△BAE≌△CAFSAS，∴BE=CF，在Rt△AEF中，AM⊥BF，1∴AM=EF=EM=MF，2∴BF=BE+EF=CF+2AM；(4)解：如图所示，连接BD，以BD为直径,BD的中点为圆心作圆，以D点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P,P1，延长BP至M，使得PM=DP=1，则△MDP是等腰直角三角形，∠MDP=45°∵∠CDB=45°,∴∠MDB=∠MDP+∠PDC+∠CDB=90°+∠PDC=∠ADP，AD1DP1∵=,=，DB2DM2∴△ADP∽△BDM·22· PA12∴==，BM222∴PA=BM，2∵AB=2，2222在Rt△DPB中，PB=DB-DP=22-1=7，∴BM=BP+PM=7+122+14∴PA=1+7=22过点P作PQ⊥AB于点Q，设QB=x，则AQ=2-x，222在Rt△APQ中，PQ=AP-AQ，222在Rt△PBQ中，PQ=PB-BQ2222∴AP-AQ=PB-BQ2+142222∴2-2-x=7-x7-77-7解得：x=，则BQ=，44设PQ,BD交于点G，则△BQG是等腰直角三角形，7-7∴QG=QB=4DP=DP1在Rt△DPB,Rt△DP1B中，DB=DB∴Rt△DPB≌Rt△DP1B∴∠PDB=∠P1DB又PD=P1D=1，DG=DG∴△PGD≌△P1DG∴∠PGD=∠P1GD=45°∴∠PGP1=90°，∴P1G∥AB117-77-7∴S△ABP=AB×QG=×2×=，122442227-727+7在Rt△PQB中，PQ=PB-BQ=7-=44117+77+7∴S△ABP=AB×PQ=×2×=，22447+77-7综上所述，S△ABP=或447+77-7故答案为：或．44【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．21(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．AD1在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且=(n为正整数)，E是AC边上的动BDn点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．·23· 【初步感知】2(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=AB，请写出证明过程．2【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．【答案】(1)见解析1212(2)①AE+BF=AB，证明过程略；②当点F在射线BC上时，AE+BF=AB，当点F在23nn+112CB延长线上时，AE-BF=ABnn+12(3)n+1AD【分析】(1)连接CD，当n=1时，=1，即AD=BD，证明AD=CD，从而得到△ADE≌△CDF即可BD解答；(2)①过BD的中点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，当n=2时，AD=DG，根据GH∥12BC，可得△AHG是等腰直角三角形，JG=FB，根据(1)中结论可得AE+JG=AG，再根据JG=221212FB，AG=AB，即可得到AE+BF=AB；2323②分类讨论，即当点F在射线BC上时；当点F在CB延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；(3)如图，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，当E2与C重合时，取E2F2的中点M2，可得M的轨迹长度即为M1M2的长度，可利用建系的方法表示出E1,F1,E2,F2的坐标，再利用中点公式求出M1,M2，最后利用勾股定理即可求出M1M2的长度．【详解】(1)证明：如图，连接CD，AD当n=1时，=1，即AD=BD，BD∵∠C=90°,AC=BC，1∴∠A=∠B=45°，CD⊥AB，∠FCD=∠ACB=45°,22∴CD=AD，AB=2BC，即BC=AB，2∵DE⊥FD，∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF·24· ∠ADE=∠CDF在△ADE与△CDF中，DA=DC，∠DAE=∠DCF∴△ADE≌△CDFASA，∴AE=CF，2∴BC=CF+BF=AE+BF=AB；212(2)①AE+BF=AB23证明：如图，过BD的中点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，AD1当n=2时，=，即2AD=DB，DB2∵G是DB的中点，2∴AD=DG，AG=AB，3∵HG∥BC，∴∠AHG=∠C=90°，∠HGA=∠B=45°，∵∠A=45°，∴△AHG是等腰直角三角形，且△DJG∽△DBF，JGDG1∴==，FBDB22根据(1)中的结论可得AE+JG=AG，212222∴AE+JG=AE+FB=AG=×AB=AB；2232312故线段AE，BF，AB之间的数量关系为AE+BF=AB；23②解：当点F在射线BC上时，如图，在DB上取一点G使得AD=DG，过G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，2同①，可得AE+JG=AG，2AD1∵=，AD=DG，BDnDG12∴=，AG=AB，BDnn+1JGDG1同①可得==，FBDBn12222∴AE+JG=AE+FB=AG=×AB=AB，n2n+12n+112即线段AE，BF，AB之间数量关系为AE+BF=AB；nn+1当点F在CB延长线上时，如图，在DB上取一点G使得AD=DG，过G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，连接HD同(1)中原理，可证明△DHE≌△DGJASA，2可得AE-GJ=AG，2AD1∵=，AD=DG，BDn·25· DG12∴=，AG=AB，BDnn+1JGDG1同①可得==，FBDBn12222∴AE-JG=AE-FB=AG=×AB=ABn2n+12n+112即线段AE，BF，AB之间数量关系为AE-BF=AB,nn+1121综上所述，当点F在射线BC上时，AE+BF=AB；当点F在CB延长线上时，AE-BF=nn+1n2AB；n+1(3)解：如图，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，当E2与C重合时，取E2F2的中点M2，可得M的轨迹长度即为M1M2的长度，如图，以点D为原点，DF1为y轴，DB为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交AB于点H，AD1∵AB=22,=，DBn2222n∴AD=，DB=，n+1n+122∴E1-n+1,0，∵∠F1BD=45°，∴F1D=BD，22n∴F10,n+1，∵M1是E1F1的中点，22n∴M1-n+1,n+1，1∵GB=GC=AB=2，2-2+2n∴DG=DB-BG=，n+1-2+2n∴E2n+1,2，12根据(2)中的结论AE2-BF2=AB，nn+1222n-2n∴BF2=nAE2-n+1AB=n+1，222n-2n∴BH=F2H=BF2=，2n+1·26· ∴DH=DB+BH=2n，22n-2n∴F22n,-n+1，222n+22n-2-2n+22n+2∴M22n+2,2n+2，2∴M1M2=n+1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．22(2023·吉林长春·统考中考真题)如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．(t>0)(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)133(2)2(3)见解析9-3517(4)0<t≤或t=或t=726【分析】(1)证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△QBE中，勾股定理即可求解．PEBE2(2)证明△PBE∽△ECD，得出tan∠PQE===；DECD3(3)过点P作PH⊥BC于点H，证明△PHE≌△ECQ得出PE=QE，即可得出结论(4)分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解．【详解】(1)解：如图所示，连接BQ，·27· ∵四边形ABCD是矩形∴∠BAQ=∠ABE=90°∵∠PEQ=90°，∴四边形ABEQ是矩形，当点P和点B重合时，∴QE=AB=3，BE=22222在Rt△QBE中，BQ=BE+QE=3+2=13，故答案为：13．(2)如图所示，∵∠PEQ=90°，∠PBE=∠ECD=90°，∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∴△PBE∽△ECD，PEBE∴=，DECD∵BE=2，CD=AB=3，PEBE2∴tan∠PQE===；DECD3(3)如图所示，过点P作PH⊥BC于点H，∵∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°，∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°，则四边形ABHP是矩形，∴PH=AB=3又∵EC=BC-BE=5-2=3∴PH=EC，∴△PHE≌ECQ∴PE=QE∴△PQE是等腰直角三角形；(4)①如图所示，当点P在BE上时，∵QE=QF=3,AQ=BE=2，2222在Rt△AQF中，AF=QF-AQ=3-2=5，则BF=3-5，∵PE=t，则BP=2-t，PF=PE=t，222在Rt△PBF中，PF=PB+FB，222∴t=3-5+2-t9-35解得：t=29-35当t<时，点F在矩形内部，符合题意，29-35∴0<t≤符合题意，2②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，则PB=t-BE=t-2，PE=AP=AB-PB=3-t-2=5-t，222在Rt△PBE中，PE=PB+BE·28· 2225-t=t-2+2，17解得：t=，6③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t=2+3+2=79-3517综上所述，0<t≤或t=或t=7．26【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．23(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5【答案】(1)①见解析；②AD=DF+BD，理由见解析；(2)2AD=DF+BD，理由见解析；(3)5【分析】(1)①证明：∠ABE=∠CBD，再证明△ABE≅△CBDSAS即可；②由DF和DC关于AD对称，可得DF=DC．证明AE=DF，从而可得结论；(2)如图，过点B作BE⊥AD于点E，得∠BED=90°，证明∠ADF=∠ADC=45°，∠EBD=45°．可得22DE=BD，证明AB=BC，∠ABE=∠CBD，可得sin∠ABE=sin∠CBD，则AE⋅BC=CD⋅AB，222可得AE=CD，从而可得结论；2(3)由BD=3CD=3DF，可得2AD=DF+3DF=4DF，结合AD=42，求解DF=DC=2，BD=6，122如图，过点A作AH⊥BD于点H．可得HF=BF=2，BC=6+2=210，可得AF=AC=2·29· 2BC=25，再利用余弦的定义可得答案．2【详解】(1)①证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABC-∠CBE=∠EBD-∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≅△CBDSAS．∴AE=CD．②AD=DF+BD．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，∴DF=DC．∵AE=CD，∴AE=DF．∴AD=AE+DE=DF+BD．(2)2AD=DF+BD．理由如下：如图，过点B作BE⊥AD于点E，得∠BED=90°．∵DF和DC关于AD对称，∴DF=DC，∠ADF=∠ADC．∵CD⊥BD，∴∠ADF=∠ADC=45°，∴∠EBD=45°．2∴DE=BD．2∵△ABC是直角三角形，AB=AC，2∴∠ABC=45°，AB=BC，2∴∠ABC-∠CBE=∠EBD-∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，∴sin∠ABE=sin∠CBD，AECD∴=，ABBC∴AE⋅BC=CD⋅AB，2∴AE=CD．22222∴AD=AE+DE=CD+BD=DF+BD，即2AD=DF+BD．2222(3)∵BD=3CD=3DF，∴2AD=DF+3DF=4DF，∵AD=42，∴DF=DC=2，∴BD=6．如图，过点A作AH⊥BD于点H．∵AB=AC=AF，·30· 11∴HF=BF=BD-DF=2，222222BC=BD+CD=6+2=210．22∴AF=AC=BC=×210=25．22HF25∴cos∠AFB===．AF255【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．24(2023·重庆·统考中考真题)如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点(不与A，D重合)，连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB=4，直接写出PQ+QF的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3+2【分析】(1)根据旋转的性质得出CE=CF，∠ECF=60°，进而证明△BCE≌△ACFSAS，即可得证；(2)过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，证明四边形四边形EDFK是平行四边形，即可得证；(3)如图所示，延长AP,DQ交于点R，由(2)可知△DCG是等边三角形，根据折叠的性质可得∠PAG=∠EAG=30°，∠QDG=∠EDG=30°，进而得出△ADR是等边三角形，由(2)可得Rt△CED≌Rt△CFG，1得出四边形GDQF是平行四边形，则QF=DC=AC=2，进而得出∠PGQ=360°-2∠AGD=120°，2则PQ=3PG=3GQ，当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，即可求解．【详解】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，∴CE=CF，∠ECF=60°∴∠ACB=∠ECF∴∠ACB-∠ACE=∠ECF-∠ACE即∠BCE=∠ACF·31· EC=FC在△BCE和△ACF中，∠BCE=∠ACF，BC=AC∴△BCE≌△ACFSAS，∴∠CBE=∠CAF；(2)证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵AD⊥BC∴BD=CD∴AD垂直平分BC，∴EB=EC又∵△BCE≌△ACF，∴AF=BE,CF=CE，∴AF=CF,∴F在AC的垂直平分线上，∵AB=BC∴B在AC的垂直平分线上，∴BF垂直平分AC1∴AC⊥BF，AG=CG=AC2∴∠AGF=90°1又∵DG=AC=CG，∠ACD=60°2∴△DCG是等边三角形，∴∠CGD=∠CDG=60°∴∠AGH=∠DGC=60°∴∠KGF=∠AGF-∠AGH=90°-60°=30°，又∵∠ADK=∠ADC-∠GDC=90°-60°=30°，KF∥AD∴∠HKF=∠ADK=30°∴∠FKG=∠KGF=30°，∴FG=FKCF=CE在Rt△CED与Rt△CGF中，CD=CG∴Rt△CED≌Rt△CFG∴GF=ED∴ED=FK∴四边形EDFK是平行四边形，∴EH=HF；(3)解：依题意，如图所示，延长AP,DQ交于点R，由(2)可知△DCG是等边三角形，∴∠EDG=30°∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，·32· ∴∠PAG=∠EAG=30°，∠QDG=∠EDG=30°∴∠PAE=∠QDE=60°，∴△ADR是等边三角形，∴∠QDC=∠ADC-∠ADQ=90°-60°=30°由(2)可得Rt△CED≌Rt△CFG∴DE=GF，∵DE=DQ，∴GF=DQ，∵∠GBC=∠QDC=30°，∴GF∥DQ∴四边形GDQF是平行四边形，1∴QF=DG=AC=22由(2)可知G是AC的中点，则GA=GD∴∠GAD=∠GDA=30°∴∠AGD=120°∵折叠，∴∠AGP+∠DGQ=∠AGE+∠DGE=∠AGD=120°，∴∠PGQ=360°-2∠AGD=120°，又PG=GE=GQ，∴PQ=3PG=3GQ，∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示，11∴GQ=GC=DC=1，22∴PQ=3，∴PQ+QF=3+2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．25(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；·33· (2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．1【答案】初步尝试：(1)MN=AC；MNAC；(2)特例研讨：(1)∠BCF=30°；(2)CD=62-26；(3)2∠BAE=∠ABF或∠BAE+∠ABF=180°【分析】(1)AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论；(2)特例研讨：(1)连接EM，MN,NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB=DNAN2230°；(2)连接AN，证明△ADN∽△BDE，则===2，设DE=x，则DN=2x，在DEBE2222Rt△ABE中，BE=2,AE=23，则AD=23-x，在Rt△ADN中，AD=DN+AN，勾股定理求得x=4-23，则CD=DN+CN=2x+22=62-26；(3)当点C,E,F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC=∠ACB=θ，则∠BAC=180°-2θ，得出∠BEC+∠BAC=180°，则A,B,E,C在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC=∠EBC=α-θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A,B,E,C在同一个圆上，设∠ABC=∠ACB=θ，则∠BAC=∠BEF=180°-2θ，设∠NBF=β，则∠EBM=β，则α+β=360°，表示∠BAE与∠ABF，即可求解．【详解】初步尝试：(1)∵AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，1∴MN=AC；MNAC；21故答案是：MN=AC；MN∥AC；2(2)特例研讨：(1)如图所示，连接EM，MN,NF，∵MN是△BAC的中位线，∴MNAC，∴∠BMN=∠BAC=90°∵将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，∴BE=BM,BF=BN；∠BEF=∠BMN=90°∵点A,E,F在同一直线上时，∴∠AEB=∠BEF=90°又∵在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，1∴ME=AB=MB2∴BM=ME=BE∴△BME是等边三角形，∴∠ABE=60°，即旋转角α=60°∴∠NBF=60°,BN=BF∴△BNF是等边三角形，又∵BN=NC,BN=NF，∴NF=NC,∴∠NCF=∠NFC,∴∠BNF=∠NCF+∠NFC=2∠NFC=60°,∴∠FCB=30°,·34· (2)如图所示，连接AN，∵AB=AC，∠BAC=90°,BC=42，2∴AB=BC=4，∠ACB=∠ABC=45°,2∵∠ADN=∠BDE,∠ANB=∠BED=90°,∴△ADN∽△BDE,DNAN22∴===2,DEBE2设DE=x，则DN=2x，在Rt△ABE中，BE=2,AE=23，则AD=23-x，222在Rt△ADN中，AD=DN+AN,222∴23-x=2x+22,解得：x=4-23或x=-23-4(舍去)∴CD=DN+CN=2x+22=62-26,(3)如图所示，当点C,E,F在同一直线上时，且点E在FC上时，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=θ，则∠BAC=180°-2θ，∵MN是△ABC的中位线，∴MNAC∴∠MNB=∠MBN=θ，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE=∠NBF=α，∴∠EBF=∠EFB=θ∴∠BEF=180°-2θ，∵点C,E,F在同一直线上，∴∠BEC=2θ∴∠BEC+∠BAC=180°，∴A,B,E,C在同一个圆上，∴∠EAC=∠EBC=α-θ∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=180°-2θ-α-θ=180°-α-θ·35· ∵∠ABF=α+θ，∴∠BAE+∠ABF=180°；如图所示，当F在EC上时，∵∠BEF=∠BAC,BC=BC∴A,B,E,C在同一个圆上，设∠ABC=∠ACB=θ，则∠BAC=∠BEF=180°-2θ，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF=β，则∠EBM=β，则α+β=360°，∴∠ABF=θ-β，∵∠BFE=∠EBF=θ,∠EFB=∠FBC+∠FCB∴∠ECB=∠FCB=∠EFB-∠FBC=θ-β，∵EB=EB∴∠EAB=∠ECB=θ-β∴∠BAE=∠ABF综上所述，∠BAE=∠ABF或∠BAE+∠ABF=180°【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．·36·