2022年中考数学专题复习讲座 第十八讲 等腰三角形与直角三角形

2022年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：33\n⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例1（2022•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=AC=×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4；（3）当AC=BC时，33\n则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=；故答案为：或或4。点评：本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．对应训练1．（2022•广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（　　）A．45°B．75°C．45°或75°D．60°1．C分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．解答：解：如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°，∵AD=BC，∴AD=BD，∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，33\n∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B==75°，即此时△ABC底角的度数为75°；综上，△ABC底角的度数为45°或75°．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点二：线段垂直平分线例2（2022•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）A．B．2C．D．4思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，在△BCD中，由勾股定理得：CB=，在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，故选A．点评：33\n本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．对应训练2．（2022•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（　　）A．3B．2C．D．12．B分析：连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．解答：解：连接AF，∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，∵DE=1，∴AE=2DE=2，∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2，故选B．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强考点三：等边三角形的判定与性质例3（2022•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥33\nAB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．思路分析：（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．解答：解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6-x=（6+x），解得x=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ，33\n∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，∴在△APE和△BQF中，∵∠A=∠FBQ=∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，∴,∴△APE≌△BQF，∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．对应训练3．（2022•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．3．分析：（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．解答：解：（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，∵BD⊥DE，33\n∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC；（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴BD===．点评：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．考点四：角的平分线例4（2022•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2．思路分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．解答：解：如图，作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°，∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．故答案为2．点评：本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．对应训练4．（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2．33\n4．2分析：过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．解答：解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=2（角平分线性质），故答案为：2．点评：本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．考点五：勾股定理例5（2022•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．思路分析：先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE=AC=2．在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==2，∵D是BC的中点，∴BC=2CD=4，在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==2，∵D是BC的中点，DE⊥BC，33\n∴EB=EC=4．∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2，故答案为：10+2．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．对应训练5．（2022•新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=π，S2=2π，则S3是．分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．解答：解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，即（）2π+（）2π=（）2π，∴S2+S3=S1，又S1=，S2=2π，则S3=S1-S2=-2π=．故答案为：。点评：此题考查了勾股定理，以及圆的面积求法，利用了转化的思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键．【聚焦山东中考】33\n1．（2022•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）A．3B．3.5C．2.5D．2.81．C专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4-x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．2．（2022•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间2．A分析：先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．解答：解：∵点P坐标为（-2，3），∴OP==，∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，∴OA=OP=，∵9＜13＜16，∴3＜＜4．33\n∵点A在x轴的负半轴上，∴点A的横坐标介于-4和-3之间．故选A．点评：本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）A．16B．18C．20D．16或201．C分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．解答：解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．2．（2022•攀枝花）已知实数x，y满足|x-4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对2．B分析：根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．3．（2022•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）A．20°B．50°C．60°D．80°3．B分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°33\n∴底角=（180°-80°）÷2=50°．故选B．点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．4．（2022•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个4．C分析：分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分别画出即可．解答：解：以O为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；以A为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形，即1个；2+1+1=4，故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊．5．（2022•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（　　）A．16B．15C．14D．135．分析：首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：BC+AC．解答：解：连接AE，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，33\n∴BC==10，∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE=BE，∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．6．（2022•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）A．2B．C．D．36．C分析：先根据△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线可知∠EBP=∠QBF=30°，再根据BF=2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP=2BQ可求出BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP=30°即可求出PE的长．解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×=，∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2，在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=33\n．故选C．点评：本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．7．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）A．（2，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）7．C分析：在RT△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M的坐标．解答：解：由题意得，AC==，故可得AM=，BM=AM-AB=-3，又∵点B的坐标为（2，0），∴点M的坐标为（-1，0）．故选C．点评：此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．1．（2022•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）　A．6B．7C．8D．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。分析：由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，33\n∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO△CNO是等腰三角形．　2．（2022•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）　A．20B．12C．14D．13考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质。分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．　二、填空题8．（2022•随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为6和4或5和5．8．6和4或5和5分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解答：33\n解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5．故答案为：6和4或5和5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．9．（2022•泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=3．9．3分析：直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．解答：解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=BC=×6=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．10．（2022•钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为50°．10．50°分析：已知给出了等腰三角形的顶角等于80°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．解答：解：∵等腰三角形的顶角等于80°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°-80°）÷2=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．11．（2022•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．11．6或或分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．解答：解：①如图1，当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，则BD=CD=3，故底边长为6；33\n②如图2，△ABC为锐角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=2，∴BC==，∴此时底边长为；③如图3，△ABC为钝角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=8，∴BC=，∴此时底边长为．故答案为：6或或．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论．12．（2022•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数．12．33\n分析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数．解答：解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A===80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠An=．故答案为：．点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．13．（2022•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．13．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．解答：解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，33\n∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．14．（2022•黄冈） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．14．36°分析：由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°．故答案为：36°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．15．（2022•黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成4个正三角形．15．4分析：先在平面内摆出一个正三角形，然后再在空间又可以搭出三个等边三角形．解答：解：如图，用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形．故答案为：4．33\n点评：本题考查的是等边三角形的性质，解答此题时要注意题中是求空间图形而不是平面图形．16．（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是4．16．4分析：过点D作DE⊥AB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，即可得解．解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=CD，∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键．17．（2022•佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为．17．8或或分析：由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB-AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．解答：解：如图所示：33\n当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，∴BD=AB-AD=5-4=1，在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，根据勾股定理得：BC==；当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，∴BD=AB+AD=5+4=9，在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，根据勾股定理得：BC==3；当AD为底边上的高时，如图所示：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，根据勾股定理得：BD==4，∴BC=2BD=8，综上，等腰三角形的底边长为8或或．故答案为：8或或.点评：此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．4．（2022•鸡西）Rt△ABC中，∠33\nA=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为　4或或　．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理。专题：分类讨论。分析：分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况：（i）P在A的右边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角，由∠ABC=30°及BC的长，利用锐角三角形函数定义及cos30°的值，即可求出PB的长；当P在A的左边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠ACB﹣∠ACP求出∠PCB为30°，得到∠PCB=∠ABC，利用等角对等边得到PC=PB，由BC及∠ABC=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长，由AB﹣BP表示出AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于PB的方程，求出方程的解得到PB的长，综上，得到所有满足题意的PB的长．解答：解：分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°，又∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，又∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形，又BC=4，∴PB=4；当∠ABC=30°时，如图所示：（i）当P在A的右边时，如图所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°，又∠B=30°，BC=4，∴cosB=，即cos30°=，33\n解得：PB==；（ii）当P在A的左边时，如图所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°，又∠B=30°，∴∠BCP=∠B，∴CP=BP，在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2，根据勾股定理得：AB==2，∴AP=AB﹣PB=2﹣PB，在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2+AP2=CP2=BP2，∴22+（2﹣BP）2=BP2，解得：BP=，综上，BP的长分别为4或或．故答案为：4或或点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．　5．（2022•无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　3　cm．考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GH∥CD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度．解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点，∴AD=BD=CD=AB=4cm；又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，∴GH∥CD，GD=1cm，33\n∴=，即=，解得，GH=3cm；故答案是：3．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．　6．（2022•朝阳）下列说法中正确的序号有　①②③④　．①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数约为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．考点：直角三角形斜边上的中线；分式方程的解；多边形内角与外角；菱形的性质；方差。分析：①根据直角三角形斜边上中线性质得出即可；②根据多边形内角和定理把8代入求出即可；③求出平均数，再求出方差，比较即可；④转化成整式方程，求出方程的解，进行检验即可；⑤分为两种情况，求出对角线的长，即可判断⑤．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，∴AB=2CD=4，∴①正确；∵八边形的内角和度数是（8﹣2）×180°=1080°，∴②正确；∵平均数是（2+3+4+3）=3，∴方差是[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=0.5，∴③正确；∵=，去分母得：1=3x﹣1，解得：x=，经检验x=是原方程的解，∴④正确；33\n∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，OD=OB，AB=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD，AB=BD=2BO，分为两种情况：当BD=2=AB时，BO=，由勾股定理得：AO=3，AC=6；当AC=2时，AO=，由勾股定理得：BO=1，BD=2，∴⑤错误；故答案为：①②③④．点评：本题考查了菱形的性质和判定，解分式方程、平均数、方差、勾股定理等知识点，主要考查学生的推理能力和计算能力．三、解答题18．（2022•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．18．分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．解答：证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．点评：本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．33\n19．（2022•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）19．分析：（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AD，即可得出答案．解答：解：（1）如图所示：．（2）△ADF的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．20．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．20．分析：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．33\n解答：证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE≌△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．7．（2022•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．考点：含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析：首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可；解答：解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD•sin∠BDC=10×=10∵∠C=90°AB=20∴sin∠A===，∴∠A=30°．点评：本题考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知识，属于基础题，比较简单．33\n21．（2022•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．21．分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．解答：解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．∴∠AOB=90°．当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°-∠AOB）=135°33\n（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN-∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．1．（2022•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：tanA=　　，AC=　2　（结果保留根号）；（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．33\n考点：勾股定理；全等三角形的判定；锐角三角函数的定义。专题：网格型。分析：（1）延长AB，过C作延长线的垂线CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的长，利用锐角三角函数定义求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示，理由为：在直角三角形FDM中，由FM与MD的长，利用勾股定理求出FD的长，同理求出BC的长，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．解答：解：（1）延长AB，过C作CG⊥AB，交延长线于点G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根据勾股定理得：AC==2，tanA==；（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右图所示，证明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根据勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根据勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．故答案为：（1）；233\n点评：此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．　2．（2022•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．考点：勾股定理；平行线的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析：过点F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求出BD的长．解答：解：过点F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．33\n点评：本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作垂直构造直角三角形，利用勾股定理求出DM的长．　3．（2022•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析：利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．解答：解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴HC=，DC=2，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．点评：此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．33