2024中考数学第一轮复习：函数与几何综合问题（共25题）（学生版）

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为12(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线34段AB上一动点，点H是直线y=-x+2上的一动点，动点Em，0，Fm+3，0，连接BE，DF，HD．3当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是．13(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y=a(x-1)(x-5)a>的图像与x轴交于点A、B，2与y轴交于点C，过点M3，1的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，2D在y轴上，OB，OC的长是方程x-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：1 (1)求点B的坐标；(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2225(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB=BC+AC，延长AC至点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点(不与点A，C重合)，过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M(点M在劣弧AC上)．(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；22(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1⋅S=S2，求tanD的值；11(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅+=y，试求y关于x的函数解析式，并BC⋅BNAE⋅AC写出自变量x的取值范围．226(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x的二次函数y1=a1x+b1x+c1与y2=a2x+b2x+c2同22023时满足a2-c1+(b2+b1)+c2-a1=0，b1-b2≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：22(1)若关于x的二次函数y1=2x+kx+3与y2=mx+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；2(2)对于任意非零实数r，s，点Pr，t与点Qs，tr≠s始终在关于x的函数y1=x+2rx+s的图像上运动，函数y1与y2互为“美美与共”函数．①求函数y2的图像的对称轴；②函数y2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；2(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1=ax+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图像顶点分别为点A，点B，函数y1的图像与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图像与x轴交于不同两点E，F．当CD=EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请2 说明理由．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PBCQ．(1)当∠QPB=45°时，求四边形BBCC的面积；(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BBCC的面积为S，求S关于x的函数表达式．28(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x+23x的图象与x轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．29(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+3x+1交y轴于点A，直1线y=-x+2交抛物线于B,C两点(点B在点C的左侧)，交y轴于点D，交x轴于点E．3(1)求点D,E,C的坐标；22(2)F是线段OE上一点OF<EF，连接AF,DF,CF，且AF+EF=21．3 ①求证：△DFC是直角三角形；②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK=1时，求点P的坐标．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC-CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA-AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x(s)(0<x<4)，四边形2PQMN的面积为y(cm)(1)BP的长为cm，CM的长为cm．(用含x的代数式表示)(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45°，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A(4,3)，求FC的长；(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1-S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．1212(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交2于点C(0,2)，点P为第一象限抛物线上的点，连接CA,CB,PB,PC．4 (1)直接写出结果；b=，c=，点A的坐标为，tan∠ABC=；(2)如图1，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标；(3)如图2，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°，点E，F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点，QE=DF，记BE+QF的最小值为m．①求m的值；12②设△PCB的面积为S，若S=m-k，请直接写出k的取值范围．413(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；2(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；2③将抛物线y2再向下平移，2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．(t-1)14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为2,23，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF．设OD=x,△DEF的面积为S．5 (1)求S关于x的函数解析式；(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．15(2023·天津·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A(3,0),B(0,1),113D(23,1)，矩形EFGH的顶点E0,2,F-3,2,H0,2．(1)填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EFGH，点E，F，G，H的对应点分别为E，F，G，H．设EE=t，矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边EF与AB相交于点M、边GH与BC相交于点N，且矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：23113②当≤t≤时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．3416(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆3于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=，AC=1．如图2，连接AF，P为线2段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=x，MN=y．(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH<PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值．15(3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ=x-3时，求MN的长．46 17(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点D．①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；2【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x-3x-4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C1点，已知点Q(0，-1)，连接BQ．抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=，若存在，求出点M的横坐3标．18(2023·江苏连云港·统考中考真题)【问题情境建构函数】(1)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE=y，试用含x的代数式表示y．【由数想形新知初探】(2)在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．【数形结合深度探究】(3)在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是-42<y<42；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是．(写出所有正确结论的序号)【抽象回归拓展总结】7 (4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可)．19(2023·四川凉山·统考中考真题)阅读理解题：阅读材料：1如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=，则21tanβ=．31证明：设BE=k，∵tanα=，∴AB=2k，2易证△AEB≌△EFCAAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3kDFk1∴tanβ===，AD3k311若α+β=45°时，当tanα=，则tanβ=．2311同理：若α+β=45°时，当tanα=，则tanβ=．32根据上述材料，完成下列问题：m如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点xA顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；8 (2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．220(2023·山东泰安·统考中考真题)如图1，二次函数y=ax+bx+4的图象经过点A(-4,0),B(-1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．1221(2023·湖北恩施·统考中考真题)在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．(1)如图，若A0,3，抛物线的对称轴为x=3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥3时x的取值范围；(2)在(1)的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；12(3)若抛物线y=-x+bx+c经过点Dm,2，En,2，F1,-1，且m<n，求正整数m，n的值．2222(2023·辽宁营口·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．9 (1)求抛物线的解析式；BQ5(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当=时．求点P的坐标；PQ7(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．223(2023·山东日照·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax+5ax+2a>0交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；1(2)当a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P为直线AD上方抛物线3上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；1(3)坐标平面内有两点E,a+1,F5,a+1，以线段EF为边向上作正方形EFGH．a①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；5②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的2值．2224(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知二次函数y=x+bx+c的图像与y轴交于点A，且经过2点B(4,2)和点C(-1,2)．(1)请直接写出b，c的值；22(2)直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=x+bx+c图像上位于直线AB下方的动点，过点E2作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．1225(2023·辽宁·统考中考真题)如图，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交2于点C0，4，点E在抛物线上．10 (1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．11