宁夏银川市 2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

2022-2023学年度第一学期高一年级期末考试考前必刷题数学试题试卷满分：150分；考试时间：120分钟；命题人：王嘉成考试范围：第一章至第五章第三节诱导公式一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，）1.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由，当时，不能推出；而当时，可以推出，利用必要不充分条件的定义可得选项．【详解】因为，所以当时，的终边可能在第三象限，也可能在第四象限，所以，不满足充分性；当时，的终边在第四象限，所以成立，满足必要性.故选：B2.已知函数，则为（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【答案】D【解析】【分析】求出函数定义域后可判断其奇偶性.【详解】因，则，得定义域为：.因定义域不关于原点对称，则既不是奇函数又不是偶函数.故选：D 3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由同一函数要求定义域与对应关系相同逐一判断即可【详解】对于A：两组函数的定义域都是，但，故不是同一函数，故A错误；对于B：的定义域与对应关系都相同，故是同一函数，故B正确；对于C：的定义域是，的定义域是，故不是同一函数，故C错误；对于D：的定义域是，的定义域是，且，故不同一函数，故D错误；故选：B4.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【解析】【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．【详解】由为偶函数，∴，令，则，即，因为为奇函数，有，所以， 令，得，∴，即函数是周期为4的周期函数，奇函数中，已知，，则．故选：D．5.设，，函数，若恒成立，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式进行分类讨论，当时，结合二次函数的图象和性质即可求解.【详解】因为，当时，恒成立，当时，恒成立，则恒成立，因为，则有，故，故选：.6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.【详解】因为，所以, 故选：B.7.函数的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案.【详解】若函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为；因为，所以；所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C；当时,,排除选项B．故选：D．8.用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：）（）A.0.825B.0.635C.0.375D.0.25【答案】B【解析】【分析】设，由题意可得是上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数的零点所在的区间． 【详解】设，，，，在内有零点，在内有零点，方程根可以是0.635.故选：B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质依次判断ABC，取特殊值判断D.【详解】对于A，因为，所以，A正确．对于B，因为，所以，B错误．对于C，因为，所以，所以，C正确．对于D，取，故，故D错误．故选：AC10.若函数的图像经过点，则（）A.B.在上单调递减 C.的最大值为81D.的最小值为【答案】AC【解析】【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于:由题意得，得,故正确;对于:令函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．因为是减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故错误;对于:因为在上单调递增，在上单调递减,所以,无最小值．故正确,错误;故选:.11.已知函数，则下列说法正确的是（　　）A.函数的单调减区间是；B.函数在定义域上有最小值为0，无最大值；C.若方程有1个实根，则实数t的取值范围是D.设函数，若方程有四个不等实根，则实数m的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】函数变形得，即可根据函数形式得出函数的单调性及值域，即可判断 AB；由数形结合即可判断C；对D，方程等价于，结合①解的个数的情况，即可判断②中解的个数及范围，即可根据零点存在定理列不等式求解.【详解】由于在上单调递减，在上单调递增，且在单调递减，所以由复合函数单调性可得当时，在上单调递增，在上单调递减，故的图象如图所示，对AB，在，单调递增，值域；在，当时，有最大值，即在单调递增，在单调递减，值域为，综上，的值域为，故AB对；对C，方程有1个实根等价于与有一个交点，则实数t的取值范围是，C错；对D，方程等价于，由于时方程①一解；时方程①两解；时方程①三解.故有四个不等实根等价于有两根，其中， .∵，，∴只需即可，此时，，故m的取值范围为，D对.故选：ABD12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.，B.，C.，，若，则有D.方程解集为【答案】BCD【解析】【分析】对于A：取，不成立；对于B：设，,讨论与求解；对于C：，，由得证；对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.【详解】对于A：取，，故A错误；对于B：设,， 当时，，，则，则，,故当时成立.当时，，则，则，故当时成立.综上B正确.对于C：设，则，，则，因此，故C正确;对于D：由知，一定为整数且，所以，所以，所以，由得，由解得，只能取，由解得或(舍)，故，所以或，当时，当时，所以方程的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由求时直接按高斯函数定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围. (4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）13.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】利用对数函数的定义域及根式有意义求解即可.【详解】由根式有意义及对数的真数部分大于0可得，解得，故答案为：14.若是第四象限角且，则______．【答案】【解析】【分析】根据，且，求得，再根据是第四象限角，确定的范围，然后利用平方关系求解.【详解】因为，且，所以，又因为是第四象限角，所以，则是第二或第四象限，又，所以在第二象限，所以， 故答案为：15.已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】由指数函数性质与基本不等式求解，【详解】令得，由题意得过的定点为，则，，当且仅当即时等号成立，故的最小值为，故答案为：16.已知函数，若，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】设，证明其为奇函数，减函数，不等式化为，再由奇偶性与单调性变形为，分离参数为，然后求得的最大值，即可得结论．【详解】令，则，是奇函数， 设，则，，，，∴，从而，所以在上减函数，又是奇函数，所以它在上也是减函数，所以在上是减函数，不等式可化为，即，，所以，，令设，，，当时，，，，递减，当时，，，，递增，所以，，∴在上的最大值为，故答案为：．【点睛】结论点睛：不等式恒成立与能成立问题：的定义域是，的定义域是，（1）对任意，任意，总有成立等价于，（2）对任意，存在，使得成立等价于，（3）存在，对任意，使得成立等价于．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤，）17.求值： （1）（2）【答案】（1）6（2）0【解析】【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【小问1详解】；【小问2详解】．18.已知函数的定义域为A，的值域为B.（1）求A和B；（2）若，求的最大值.【答案】（1）A为，B为（2）3 【解析】【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得到满足，即可求解函数的定义域A；根据在定义域内为增函数，即可求出值域B.（2）由（1）可知，根据集合间的包含关系可求出参数a的范围，则可得出的最大值.【小问1详解】解：由题意，函数，满足，解得，所以函数定义域为，而函数在R上是增函数，，，所以函数的值域为，故定义域A为，值域B为.【小问2详解】解：由（1）可知，若，则，解得，所以的最大值为3，此时满足，故最大值为3.19.已知（1）求函数的表达式，并判断函数的单调性（不需要证明）；（2）关于x的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），单调递增（2）【解析】【分析】（1）令，则，代入条件可得答案，然后任取，通过计算 的正负可得单调性；（2）将原式整理得到在上有解，转化为，求出的最大值即可.【小问1详解】令，则，故，任取，则，，，故在R上单调递增；【小问2详解】由已知化简得，令，因为在上单调递增，又，故在上有解，即在上有解， .又.20.（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.（2）若，，求的值.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）假设存在实数，根据是第二象限角，可得、求出参数的取值范围，再根据平方关系求出参数的值，得出矛盾，即可说明；（2）首先求出，再通分计算可得.【详解】解：（1）假设存在实数，使，，因为是第二象限角，所以，，解得，又，即，解得，与矛盾，故不存在实数满足题意；（2）因为，所以，，．． 21.如图，病人服下一粒某种退烧药后，每毫升血液中含药量(微克)与时间(小时)之间的关系满足：前5个小时按函数递增，后5个小时随着时间变化的图像是一条线段．（1）求关于的函数关系式；（2）已知每毫升血液中含药量不低于3微克时有治疗效果，含药量低于3微克时无治疗效果，试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？【答案】（1）（2）小时【解析】【分析】(1)根据图像中特殊点,求出函数的解析式即可.(2)根据题意构造不等式,分段求解即可.【小问1详解】由图可得,函数过点,可得，得．当时，设，由图可得得所以．故【小问2详解】 由题意得或得或，即．故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为小时．22.对于函数，若存在，使得，则称为函数的“不动点”;若存在，使得，则称为函数的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即（1）设函数，求A和B；（2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；（3）若，且，求实数a的取值范围.【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果；（2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证.（3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围.【小问1详解】令，可得，故；令，可得，故.【小问2详解】，证明如下：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标，若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 【小问3详解】由，则：令，即有实根，当时，，符合题设；当时，，可得.令，即有实根，所以，因为，则无实根，或有与相同的实根，当无实根，有且，可得且；当有实根，此时，即，所以，则，代入得：，可得.综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同.