海南省 2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

海口市第一中学2022—2023学年度第一学期高一年级数学科期末考试试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的定义求解判断.【详解】因为，，根据交集定义，可得.故选：C.2.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】根据诱导公式一可求出结果.【详解】.故选：B3.已知函数，若，则（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】 【分析】由即可求出，则可求出的值.【详解】当时，，无解，当时，，所以，故选：B4.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】令，由，解得，或，当时，函数单调递减，则单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：A.5.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由条件判断函数为奇函数，且在为负数，从而得出结论.【详解】,因此函数为奇函数，图像关于原点对称排除；当时，，，因此.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.6.李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（取）A.31B.32C.33D.34【答案】D【解析】【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.【详解】∵经过t天后，用户人数，又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，即，可得，∴①当用户超过50000名时有， 即，可得，∴②联立①和②可得，即，故，∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.故选：D.7.若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.【详解】令，所以，所以函数的单调增区间为，又因为在上单调递增，则是，的一个子区间，当时，即，若是的子集，则故选:D．8.函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（） A.B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.【详解】因为，所以，则，因为函数是定义在上的偶函数，所以，则由得，又因为在上是增函数，所以，两边平方化简得在恒成立，令，则，又因为开口向上，对称轴为，所以在单调递增，则，解得，又因为，所以，所以的最大值为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】对于A，当时，则，故A不正确；对于B，由，则，故B正确；对于C，当时，则，故C正确；对于D，因为，所以，由可得，故D正确；故选：BCD10.下列不等式中成立的是（）AB.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A，因为，在单调递增，所以，故A正确；对于B，，，故B错误；对C，因为，在单调递减，所以，故C错误；对于D，，故D正确故选：AD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图像关于中心对称B.的最小正周期为C.在区间上单调递增D.的值域为【答案】AC【解析】【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项. 【详解】，函数定义域为，，所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即的图像关于中心对称，A选项正确；，不是的周期，B选项错误；当时，，所以在区间上单调递增，C选项正确；当时，，，有，当时，，，有，所以的值域为，D选项错误.故选：AC12.给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（）A.若，，，则B.函数在上只有一个零点，且该零点在区间上C.实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件D.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为【答案】ACD【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断A，根据零点存在性定理及函数单调性判断B，根据二次不等式的求解及充分必要条件判断C，构造函数，根据函数单调性解不等式判断D.【详解】对于A：若，，，则，，又，所以，故A正确；对于B，函数在上单调递增，且，，故该零点在区间上错误，故B错误；对于C，命题“，”为假命题，则“，”为真命题，当时，，为真命题，当时，，为假命题，当时，若时，，此时“，”为真命题，当时，，此时“，”为假命题，综上实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件，故C正确；对于D，定义在上的函数满足，不妨设，则，即，令，，则，故单调递减，因为，所以，由变形为，即，根据单调递减，所以，故D选项正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）. 13.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点是角终边上一点，则______.【答案】1【解析】【分析】根据三角函数的定义得到，再利用弦切互化将的分子和分母同时除以得到，即可求解.【详解】因为点是角终边上一点，所以，所以，故答案为：1.14.某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为________.【答案】【解析】【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.【详解】由题可知圆心为的中点，，连接，该公园的面积故答案为： 15.若函数相邻两条对称轴之间的距离为，则______.【答案】【解析】【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离为计算得函数周期，从而可计算出值，即可得函数，代值计算即可.【详解】由题意知，函数的周期为，所以，则，得，所以，故答案为：.16.设，对于任意实数x，记，若方程至少有3个根，则实数a的最小值为______.【答案】10【解析】【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】设，，由可得.要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如图所示：，， 此时函数只有两个零点，不满足题意；②当时，设函数的两个零点分别为、（），要使得函数至少有3个零点，则，所以，解得；③当时，，作出函数、的图象如图所示：由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；④当时，设函数的两个零点分别为、（），要使得函数至少有3个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数a的取值范围是.故答案为：10.【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知. （1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式；（2）由已知可得出，等式两边平方可得的值，进而可计算得出的值.【小问1详解】解：.【小问2详解】解：因为，所以，两边平方得，所以，所以，所以，所以.18.已知函数.（1）若，求函数在上的最小值；（2）求关于x的不等式的解集.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件及基本不等式即可求解；(2)利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解.【小问1详解】由，得，解得，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以当时，函数在上的最小值为.【小问2详解】由，得，即，当时，不等式，解得，不等式的解集为；当即时，不等式的解集为或；当即时，不等式的解集为或；综上所述：时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.19.已知为锐角，且.（1）求的值；（2）求函数的定义域和单调区间.【答案】（1）（2）定义域为；单调递增区间为，，无单调递减区间【解析】 【分析】（1）根据条件解关于的一元二次方程，从而得到的值，结合为锐角，即可求解；（2）由（1）得到，结合正切函数的定义域和单调性，即可求解.【小问1详解】由，得，得或，∵为锐角，∴，∴.【小问2详解】由（1）得，则，令，得，.即函数的定义域为.再令，，解得，即函数的单调递增区间为，，无单调递减区间.20.函数的最小正周期为．（1）求函数在上的单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值及对应x的值．【答案】（1），（2）的最大值为2，，的最小值为－1，【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期可求得的值，从而可得到的解析式，再利用整体代入法求函数的单调递增区间，进而可求得函数在上的单调增区间；（2）根据的取值范围可得到的取值范围，从而可求出的最大值和最小值及对应x的值．【小问1详解】因为的最小正周期，所以，故，令，则，即的单调递增区间为，又，所以函数在上的单调增区间是，．【小问2详解】当时，，所以当，即时，函数有最大值2，当，即时，函数有最小值－1，所以的最大值为2，这时，的最小值为－1，这时．21.在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：2345684根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①，②，③.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.【小问1详解】随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故选择函数.【小问2详解】由题意可得，解得，所以.令，解得.故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个. 22.已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.（1）①作出函数在上的图象；②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）设，若，，使得成立，求实数的最小值.【答案】（1）①图象见解析；②；（2）.【解析】【分析】（1）①先作出上的图象，再利用偶函数的性质作出上的图象即可，②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，然后结合图象可求得答案；（2）由题意可得，利用函数的单调性结合换元法求出，再由（1）求出，代入上式可求出实数的范围，从而可求出其最小值.【小问1详解】①当时，.列表：01234567891012432101234描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称， 所以在上的图象如图所示；②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；【小问2详解】因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，因为在上为增函数，所以在上为增函数，所以，由（1）可知在上的最小值为0，因为，，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的最小值为.