宁夏回族自治区银川市西夏区宁夏育才中学2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

宁夏育才中学2023-2024-1高一年级期中考试数学试卷（满分150分，时间120分钟）一．单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知集合,，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据交集概念进行求解.【详解】.故选：A2.计算，结果是（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.【详解】.故选：B3.计算：（）A.10B.1C.2D.【答案】B【解析】【分析】应用对数的运算性质求值即可.【详解】.故选：B4.已知，则“”的一个必要条件是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件，由不能得到，，，比如，故选：D5.下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的充分条件”是真命题；A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，存在量词命题的否定，充分条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①，命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②，命题“”是全称量词命题，故②正确；对于③，“”的否定为“”，故③错误；对于④，当时，，故由不能推出，所以命题“是的充分条件”是假命题，故④错误.故选：B.6.已知a,b,c,d∈R,则下列说法中一定正确的是A.若a＞b,c＞b,则a＞cB.若a＞－b,则c－a＜c＋b C.若a＞b,c＜d,则D.若,则－a＜－b【答案】B【解析】【分析】对于，令，，可判断；对于，利用不等式的性质可证明一定成立；对于，由，可判断；对于，若，可判断.【详解】对于，若，，，显然不成立；对于，若，则，则，一定成立；对于，若，，则不成立；对于，若，，有，但不成立，故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于中档题.利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.7.在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围为（）A.B.或C或D.【答案】D【解析】【分析】根据新定义运算得到关于的一元二次不等式，解之即可.【详解】因为，所以，整理得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.8.我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，，当且仅当时取等号，所以该三角形面积S的最大值为.故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】AD【解析】【分析】根据函数的基本概念进行判断即可.【详解】对于A，与表示同一个函数，故A正确；对于B，与对应法则不同，不表示同一个函数，故B错误；对于C，与不表示同一个函数，故C错误；对于D，与表示同一个函数，故D正确.故选：AD10.已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（）A.B.恒过定点C.若时，D.若时，关于轴对称【答案】ABD【解析】【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断. 【详解】因为函数是幂函数，所以，则，故正确；根据幂函数的图象恒过定点，故正确；当时，，故函数上单调递增，则，故错误；当时，，定义域为，且，故为偶函数，关于轴对称，故正确.故选：11.若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（）．AB.C.D.【答案】BC【解析】【分析】对底数分情况讨论即可得答案.【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选：BC【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（）A.B.若，则C.若，则 D.，，使得【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，所以，故A错误；对选项B，若，则，得，故B正确；对选项C，若，则或，因为，所以或，故C正确；对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以只需即可，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据分母不等于零，偶次被开方式大于等于零，可得结果详解】解：由可得，整理得且，解得，所以函数的定义域为，故答案为： 14.已知幂函数的图像过点，则=______.【答案】4【解析】【分析】设，代入，求出，函数解析式，从而得到.【详解】设幂函数，故，解得：，则，则.故答案为：415.函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.【详解】由得，因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.16.已知函数的值域为，则的取值范围为____.【答案】【解析】【分析】由指数函数的性质得到，要使得函数的值域为，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数， 当时，可得，因为函数的值域为，所以函数在上必为增函数，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数运算进行化简即可；（2）利用对数运算进行化简即可.【小问1详解】= 【小问2详解】．18.设集合，集合．（1）若，求，；（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据交集和并集的定义即可得解；（2）由题意可得是的真子集，再根据集合的包含关系即可得解.【小问1详解】因为，所以，所以，；【小问2详解】因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集，又，故不为空集，故（等号不同时成立），得，所以实数的取值范围． 19.函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）计算，；（2）求的解析式．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，，计算得到答案.（2）令，则，则，再根据奇函数性质得到解析式.【小问1详解】函数是定义在上的奇函数，则，．【小问2详解】令，则，则，又函数是奇函数，，所以，所以．20.已知函数的图象经过点，.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；（3）求在区间上的最值.【答案】（1）（2）减函数，证明见解析（3）最小值为，最大值为 【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数、的方程组，解出这两个实数的值，即可得出函数的解析式；（2）判断出函数在区间上为减函数，任取、且，作差，因式分解，判断差值符号，由此可证得结论成立；（3）由（2）中的结论可得出函数在区间上为减函数，由此可求得函数在区间上的最值.【小问1详解】因为函数的图象过，，所以，解得，因此；【小问2详解】函数在上为减函数，证明：设任意、，且，则，，所以，，所以，即，因此函数在上为减函数；【小问3详解】由（2）知，函数在上为减函数，，， 即在区间上的最小值为，最大值为.21.已知定义在上函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；（2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：函数是定义域上的奇函数，，即，解得．此时，则，符合题意；【小问2详解】解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，则不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即；22.某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30 人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.（1）写出与之间的函数关系式；（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．详解：（1）依题意得，当时，；当时，..（2）当时，,时,取得最大值.当时,,,当或时,取得最大值.因为，当公司参加培训的员工人数为或时，培训机构可获得最大利润元.