2024届广东百师联盟高三12月联考数学试题 答案

2024届高三一轮复习联考（四）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合U={1,2,3,4,5,}A={2,3,}B={xx=2,kk∈Z}，则BA=（）UA．{4}B．{2,4}C．{1,2}D．{1,3,5}2．已知复数z满足(z−2i1i)(−=)2，则z=（）A．13B．10C．3D．21113．已知a=cos,bc=3,2=log，则（）322A．cab>>B．bca>>C．bac>>D．abc>>22224．“a≤−5或a≥5”是“圆Cxy:1+=与圆Cxa:(++−=)(ya2)36存在公切线”的（）12A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知3tanα=，则cos2α=（）sin2α1122A．−B．C．−D．33336．如图，ABC−ABC是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则异面直线AC1111与BB夹角的余弦值为（）1学科网（北京）股份有限公司 6333A．B．C．D．312362x7．已知函数fx()=log(x+++1)21，则不等式fx(+<14)的解集为（）2A．(−2,0)B．(−∞−,2)C．(0,+∞)D．(−∞−,2)∪(0,+∞)x218．已知函数fxmx()=−−+(1e)xx在x∈,2上有两个极值点，则实数m的取值范围为（）2331131A．0,2B．2,C．,+∞D．0,2,+∞2e2eee2ee二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。22xy9．已知曲线C:1+=，点Pxy(,)为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（）24mm−6A．若m=10，则曲线C的离心率为41B．若m=1，则曲线C的渐近线方程为yx=±2C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上D．若曲线C是圆，则xy−的最大值为431a−n10．已知数列{a}满足aa=2,=，则下列说法正确的是（）n11n+a+1n51n+3A．a3=B．数列{an}为递减数列C．数列为等差数列D．an=3a−1n+1nπ11．如图，球O的半径为3，球面上的三个点ABC,,的外接圆为圆O，且∠=CAB，则下列说法正确14的是（）学科网（北京）股份有限公司 A．球O的表面积为12π3B．若AO=2,△COB的面积为1121C．若BC=2OO，则三棱锥OOBC−的体积是1131D．三棱锥OOBC−体积的最大值为13212．已知函数fxx()=−lnx，下列说法正确的是（）1A．fx()在x=1处的切线方程为xy−=0B．fx()的最小值为(1ln2+)21xC．fx()的最小值为−ln2D．若ax≤+eefx()恒成立，则a≤2e2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量ab,满足，a=3,b=2,2(abb+⋅=)1，则2ab+=________．214．在△ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，且2sinBC=3sin，若bc−=1,cosA=，则a=3________．115．已知数列{a}是各项均为正数的等比数列，则aa++的最小值为________．n6na722xy16．已知AB(0,1,)(1,0)，点P为椭圆C:1+=上的动点，当PA+PB取最小值时，点P的横坐标43的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数fx()=−++4sin(πx)cosx23cos2x．学科网（北京）股份有限公司 （1）求函数fx()的最小正周期和单调减区间；π（2）求函数fx()在0,上的值域．22n18．（12分）已知数列{a}的前n项和为Sa,2=，等比数列{b}的公比为2,Sb=n2．nn1nnn（1）求数列{ab},(}的通项公式；nnan,,为奇数n（2）令c=求数列{)c的前10项和．nnbn,,为偶数nπ19．（12分）已知△ABC中，BC=3,M在线段BC上，2,BM=∠=MCBAM．6（1）若AB=2，求AC的长；（2）求△AMC面积的最大值．120．（12分）在直三棱柱ABC−ABC中，DE,分別为ACBB,的中点，BF=CF．11112（1）证明，AE∥平面CDF；1（2）若BC=2AB=2BB=2,AC=5，求平面ABE与平面DFC夹角的余弦值．1122221．（12分）已知抛物线Cy:=2pxp(>0)，垂直于x轴的直线l与圆Qx:(−+=1)y1相切，且与C交于不同的两点ABAB,,=42．（1）求p；（2）已知P(−1,2)，过P的直线与抛物线C交于MN,两点，过P作直线MQNQ,的垂线，与直线MQNQ,分别交于ST,两点，求证：SQ=TQ．x22．（12分）已知函数fxa()=−−e1x有两个零点．学科网（北京）股份有限公司 （1）求a的取值范围；7（2）设两零点分别为xxxx,(<)，证明xx−>−(1a)．1212212学科网（北京）股份有限公司 2024届高三一轮复习联考（四）数学参考答案及评分意见1．A【解析】A=∴={1,4,5,}BA{4}．故选A．UU242i+2．B【解析】zz=+=2i=+∴=13i,10．故选B．1i−−1i3．C【解析】0<<><∴>>abc1,1,0,bac．故选C．4．C【解析】圆C的圆心为(0,0)，半径r=1，圆C的圆心为(−aa,2)，半径r=6，所以两圆的圆心11222222距为d==+=CCa45aa，两圆内含时，即5a<−61，解得−<<55a，所以当两圆有1222公切线时，a≥5或a≤−5，所以“a≤−5或a≥5”是“圆Cxy:1+=与圆122Cxa:(++−=)(ya2)36存在公切线”的充要条件．故选C．23sinα1225．D【解析】由题意得=,6sin∴α=∴−1,33cos21,cos2αα=∴=．故选D．cosα2sincosαα36．D【解析】作AB的中点D，连接AD．∴ADBB∥，则∠CAD或其补角（∠CAD为钝角时）的余111112222+−(23)(23)3弦值即为所求．AC==CD23,AD=∴∠2,cosCAD==，则异面直线AC与11112223××63BB的夹角的余弦值为．故选D．167．A【解析】由题意得fx()为偶函数且在[0,+∞)上单调递增，又f(1)=∴4,fx(+<1)f(1,)∴+<x11，∴−<<20x．故选A．x2118．B【解析】因为函数fxmx()=−−+(1e)xx在x∈,2上有两个极值点，所以fx′()在x∈,222xx21x−上有两个变号零点，f′(x)=mxe21−+∴−+=∴=x,e210mxx,m．令xxe21x−1−−(xx121)(+)1hx()=x∈,2，∴hx′()=，令hx′()>0，得x∈,1，令hx′()<0，得x2xxe2xe2111331x∈∴(1,2,)hx()在,1上递增，在(1,2)上递减．hhh=0,(1)=,(2)=22,∴∈m,．故22e2e2ee选B．学科网（北京）股份有限公司 22xy69．AC【解析】A选项，m=10时，曲线C为+=1，曲线C的离心率为，故A选项正确；B1610422x2选项，m=1时，曲线C为y−=1，则曲线C的渐近线方程为yx=±，故B选项错误；C选项，若22曲线C是双曲线，则mm(2−<∴<<4)0,0m2，则曲线C的焦点一定在y轴上，故C选项正确；D选项，22若曲线C是圆，则mm=24−，即m=∴+=4,xy4，令πx=2cos,αy=2sinαα(∈[0,2π)),∴−=xy22sin−α，则xy−的最大值为22，故D选项错4误．故选AC．11aa+−11111111nn10．BCD【解析】−=−==，∴=+−=+11(nn)，aaaaa−−−−−11221222a−1222nnnnn+1nn++32333∴=aa=+1,==，故A错误，BCD正确．故选BCD．n3nn+++11312211．ACD【解析】A选项，Sr=4ππ=12，故A正确；B选项，ππ12∠CAB=,,∴∠BOC=∴S=BO=1，故B错误；C选项，设BC=2a，由BC=2OO，11△COB11422π可得OO=a，因为∠=CAB,BC=2,aO为△ABC的外心，所以114π222OAOB==∠=OC,2,BOC∠=∴+=CABOBOCBC，故OBOC==2a，由已知，111111112222πOO+=AOOAOA,3=，所以a=1，所以OBOC==∠==2,BOC,OO1，由球的截面性质11111121111可得OO⊥平面OBC，所以三棱锥OOBC−的体积V=S⋅=××××=OO221，故C111△OBC113323211122264正确；D选项，设AO=∴=−x,OO3,xS=x,∴V=x3−=−+xx3x，令11△OBC11OOBC−2662132322xtt=<<(03)，则V=−+tt3，令gt()=−+∴t3,tgt′()=−+=−−3t6t3tt(2,)∴当t=2OOBC−16学科网（北京）股份有限公司 1时，gt()=4,V的最大值为，故D正确．故选ACD．maxOOBC−13112．ABD【解析】fx()的定义域为(0,+∞),fx′()=2x−，则ff′(11)=,11()=，故切线方程为x2121x−22yx−=−11，即xy−=0，故A正确．由fx′()=−=20x=得，x=,fx()在区间0,xx22222221单调递减，在区间,+∞单调递增，所以fx()==−=fln(1ln2+)，故Bmin222222x2xexx−+elne正确，C错误．ax≤−+exelnxe恒成立，其中x>0，所以a≤，记x2xexx−+elneFx()=(x>0)，则xexx22ex−+⋅−xexxx(e−eln+e)e(xx2−+−1)(1e)x+elnxFx′()==，当x∈(0,1)时，Fx′()<0；22xx当x∈(1,+∞)时，Fx′()>0，所以Fx()在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故Fx()min=F(1)=2e，则实数a的取值范围为a≤2e，D正确．故选ABD．213．34【解析】(2abb+⋅=)1,2abb⋅+||=1，2ab⋅=−=−143，222ab+=4ab++⋅=4ab3646+−=34．214．5【解析】由2sinBC=3sin，得23bc=，因为bc−=1解得cb=2,=3，又cosA=，由余弦定322理得a=+−×××=492235，解得a=5．315．22【解析】q>∴+≥0,aa2aa=2a（当且仅当aa=时等号成立），686876811121∴++≥+aa2a,2a+≥22（当且仅当a=时等号成立），故aa++的最小值为6877768aaa2a777722．−+46216．【解析】因为B(1,0)为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则F(−1,0)，由椭圆的定义，7学科网（北京）股份有限公司 得PA+=+−=+−PBPA24aPFPAPF，所以P为射线FA与椭圆交点时，PA+PB取最小值，yx=+1,2−+462因为直线FA方程为yx=+1，设Pxy(,)，联立xy22消去y得7xx+−=880,x=或+=1,743−−462（舍）．717．解：（1）fx()=4sincosxx+23cos2x=2sin2xx+23cos2π=4sin2x+，32π∴fx()的最小正周期为T==π．2πππ3令+≤+≤+2kππ2x2,kk∈Z，232ππ7得+≤≤+2kππ2x2,kk∈Z，66ππ7化简得+≤≤+kxππkk,∈Z，1212ππ7∴fx()的单调减区间为++∈kππ,,kkZ．1212π（2）0≤≤x，2πππ4∴≤+≤2x．333πππ4令tx=2+，则≤≤t，3333∴−≤sint≤1，2∴−23≤4sint≤4，学科网（北京）股份有限公司 π∴fx()在0,上的值域为−23,4．218．解：（1）当n=1时，Sb=2,S=2，111∴=b1，1n−1∴=b2，n2∴=Sn2．n当n≥2时，22aSS=−=−−=−2nn2(1)4n2．nnn−1经检验，当n=1时，a=2满足上式，1∴=−an42．n4nn−2,为奇数,（2）c=nn−12,n为偶数.设{c}的前10项和为T，n10∴=+++++++Taa10(13abb9)(24b10)55×+(234)214×−()=+214−=772．ABBM19．解：（1）在△ABM中，=，sin∠∠AMBsinBAM21∴=，sin∠°AMBsin30∴∠sinAMB=1，∴∠AMB=90°，∴∠ABC=60°．222在△ABC中，AC=+−××∠ABBC2ABBCcosABC，21∴AC=+−×××=492237，2学科网（北京）股份有限公司 ∴=AC7．另解：∠==AMC∠AMB90°，2222∴=AMAB−BM=−=213，22∴=+AC2(3)=7．222（2）在△ABM中，BM=+ABAM−××∠2ABAMcosBAM，22∴=1AB+AM−3AB×AM≥−(23)AB×AM，1∴×≤ABAM=+23，当且仅当AB=AM时，等号成立．23−1πS=××ABAMsin，△ABM2623+∴S的最大值为．△ABM4SS=2，△AMC△ABM23+∴S的最大值为．△AMC220．（1）证明：连接CE交CF于点G，连接DG，延长CF与BB延长线交于点H．11111因为△CCF∽△HBFBF,=CF，所以BH=CC，所以EH=CC，所以△HEG∽△CCG，则111122EG=CG．又因为AD=CD，所以DG为△CEA的中位线，则AE∥DG．因为DG⊂平面CDFAE,⊄平面CDF，所以AE∥平面CDF．111222（2）解：因为AB=1,BC=2,AC=5,AC=AB+BC，所以AB⊥BC．如图，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，BB为z轴建立空间直角坐标系，121则FDC,0,0,1,,0,(2,0,1)，132114则FD=,,0,FC=,0,1．1323学科网（北京）股份有限公司 设m=(xyz,,)为平面DFC的一个法向量，111mFD⋅=0,32xy+=0,24则即令x=1，解得m=−−1,,．mFC⋅=10,4xz+=0,333又平面ABE的一个法向量n=(1,0,0)，mn⋅329设所求夹角为θ，则cosθ==．mn2921．（1）解：由题意得l的方程为x=2．又AB=42，不妨设A(2,22)，代入抛物线C，解得p=2．（2）证明：①当直线MQNQ,中有一条直线斜率存在时，不妨设直线MQ的斜率不存在，则MN(1,2,−)(0,0)，此时直线NQ的斜率为0．lxly:=1,:=0，SQ=TQ=2．MQNQ②当直线MQNQ,斜率均存在时，记直线MQ斜率为k，直线NQ斜率为kP,到直线MQ的距离为d，到直线NQ的距离为d，1212yy12设l:ykx=++(1)2,MxyNxy(,),(,)，则kk=,=，MN112212xx−−1112yyyy16yy121212kk===．122222222(xx12−−11)()yy12y1y2yy12−+++4(y1y2)8yy1216−++11644学科网（北京）股份有限公司 2yx=4,k2442(k+)由得yyk−++=20，则y1+=y2,yy12=，ykx=++(1)2,4kk64(k+2)k42kk(+)kk===1．122216(k+2)6432(k+2)48kk+−++1622kkk21k+21k+12因为d=，同理d=，12221+k1+k12121+2kk++1k21211dd====，则SQ=TQ．2111221++kk211+2k1x+1x+1x22．（1）解：令fx()=0，得a=，令gx()=，则gx′()=−，xxxeee令gx′()>0，得x∈−∞(,0)，令gx′()<0，得x∈(0,+∞)．则gx()在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减．当x→−∞时，gx()→−∞，当x→+∞时，gx()→=0,g(0)1，x+1若要gx()=与ya=有两个交点，则a∈(0,1)．xe2（2）证明：易知−<<<10xx，令pxx()=+1,qx()=−+x1．125xx+1exx−−设Gxgxpx()=()−()=−−−<<x1(1xGxgxpx0),′′()=()−′()=−−=1，xxxeeexx令ϕϕ(xx)=−−e,′(x)=−1e−<0，则ϕ(x)在(−1,0)上单调递减，且ϕϕ(−>1)0,(0)<0，则存在唯一的x∈−(1,0)，使Gx()在(−1,x)单调递增，在(x,0)单调递减．000又GG(−=1)(00)=，则在(−1,0)上Gx()>0，即gx()>px()在(−1,0)上恒成立．x+12x2设Hxgxqx()=−=+−>()()x1(x0)，则Hxgxqx′′′()=()−()=−+，xxe5e5xx−11令τ(x)=−，则τ′(x)=，则τ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则ττ(x)≥=(1)−，xxeee学科网（北京）股份有限公司 则Hx′()>0，则Hx()在(0,+∞)上单调递增，又H(00)=，所以Hx()>0，即gxqx()>()在(0,+∞)上恒成立．令pxa()=得到xa1′=−1，由apx=(111′)=gx()>px()且px()在(−1,0)上单调递增，则xx11′>；5令qxa()=得到xa′=−−(1)，由aqx=′=gx>qx且qx()在(0,+∞)上单调递减，则xx′<．2(222)()()2227则xxxx−>−=′′(1−a)．21212学科网（北京）股份有限公司