2024届广东省四校高三第一次联考数学试题
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2024届广东省四校高三第一次联考高三数学一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={y|y=ln(1-x²)},N={x|-1<x<1},则()a.m=nb.m∩n=[-1,0]c.m∩n=(-1,0)d.(crm)∪n=(-1,+∞)2.已知(1-i)z=1(i为虚数单位)，则z在复平面上对应的点在第()象限a.一b.二c.三d.四3.“m<1”是“x²-mx+1>0在x∈(1,+∞)上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等腰直角三角形△ABC中，C=90°，其面积为1，则下列结论错误的是()A.AC�����⃗⋅BC�����⃗=0B.�AB����⃗⋅AC�����⃗=2C.�AB����⃗⋅BC�����⃗=2D.|AB�����⃗|cosB=|BC�����⃗|5.第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，3月6日各代表团分组审议政府工作报告.某媒体4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者A被安排到甲组的概率为()1111A.BC.D.2346????????2????????26.已知双曲线C−=1(????????⟩0,????????>0),斜率为−√3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为????????2????????2直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为()√3+1A.B.√3+1C.2√3−1D.2√3−227.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若三棱锥A'-EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π????????8.已知????????(????????)=2sin�????????????????+�+(????????−1)sin????????????????(????????⟩0,????????>0)在(0，π)上存在唯一实数x₀使????????(????????0)=−√3,又(????????)=3????????(????????)−2√3,任意的x₁,x₂均有(φ(x₁)≤-φ(x₂)成立,则实数ω的取值范围是()555353A.1<ω≤B.1≤ω<c.<ω<d.<ω≤336262二.选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的命题的是()a.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变2b.已知随机变量x~b(n,p),若e(x)=30,d(x)=20,则????????=31c.设随机变量ξ~n(0,1),若p(ξ>1)=p,则.????????(−1<????????≤0)=−????????2D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,设X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大10.对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|????????ₙ|≤????????,则称数列{an}是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列{an}是无界的.记数列{an}的前n项和为Sₙ，下列结论正确的是()1A.若????????????????=,则数列{an}是无界的????????1学科网（北京）股份有限公司,1????????B.若????????????????=��sin????????,则数列{Sn}是有界的2C.若则数列{Sn}是有界的D.若则数列{Sₙ}是有界的11.如图,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁'中，E为A₁B₁的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P,使AC1⊥平面D1EPB.存在点P，使PE=PD1C.四面体EPC1D1的体积为定值√5,2D.二面角P-D1E-C1的余弦值取值范围是��5312.已知????????(????????)=????????????????ˣ,????????(????????)=????????????????????????????????若存在x1∈R,x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)=t.成立，则下列结论中正确的是()A.当t>0时,x1x2=tB.当t>0时,elnt≤x1x2C.不存在t使得????????′(????????₁)=????????′(????????₂)成立D.f(x)>g(x)+mx恒成立,则m≤2三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(x-y)⁶|的展开式中xy⁵的系数为.114.已知f(x)=sinx+−4,(a,b∈R),若f(-3)=2,则f(3)=.x????????�????????0+∆????????,????????0�−????????�????????0,????????0�????????�????????0+????????,????????0�−????????�????????0,????????0�15.对于二元函数z=f(x,y),若lim存在，则称lim为∆????????→0????????∆????????→0????????????????�????????0,????????0+????????�−????????�????????0,????????0�????????�????????0,????????0+????????�−????????�????????0,????????0�lim存在,则称lim为f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数,记为∆????????→0????????∆????????→0????????????????′(????????,????????).已知二元函数z=f(x,y)=x²-2xy+y³(x>0,y>0),则????????′(????????,????????)+????????′(????????,????????)的最小值为.????????00????????00????????0016.过P(m,-2)向抛物线x2=4y引两条切线PQ,PR,切点分别为R,Q.又点A(0,4)在直线QR上的射影为H，则焦点F与H连线的斜率取值范围是.四.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a₂,a₃,a₁成等比数列,求数列.|????????ₙ|的前10项和T₁₀.????????+????????18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设√3sin????????+cos????????=,????????(1)求角A;(2)若????????????????������⃗=????????����????????�⃗,且AD=2,求△ABC面积的最大值.19.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E,F分别为AB,PD的中点.2学科网（北京）股份有限公司,(1)求证:EF//平面PBC;(2)已知AD=2√3,DE⊥PC,又二面角E-FC-D的大小为45°,求PD的长.20.某校组织综合学科知识竞赛，规定：参赛同学每答对一题得2分，答错得1分.已知张晓能正确回答每题1的概率都为，且每次回答问题是相互独立的.2(1)记张晓得n分的概率为p(n),n∈N*,求p(2),p(3)的值;(2)记张晓回答n次得分Xn，求Xn的分布列及数学期望.????????2????????221.过原点O的直线交椭圆????????:+=1(????????⟩0)于A,B两点,R(2,0),△ABR面积的最大值为2√5.9????????2(1)求椭圆E的方程；(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又????????�9,????????�(????????≠0),分别记PA,PR,PC的斜率为k₁,k₂,k₃,求????????2的值.2????????1+????????322.已知曲线C:????????(????????)=????????????????????????²????????+????????????????ˣ−????????(????????∈????????).(1)若曲线C过点P(0，-1)，求曲线C在点P处的切线方程；????????(2)当a=-1时,求f(x)在�0,�上的值域；211(3)若0<a≤1,讨论????????(????????)=????????(????????)+cos2????????−????????−的零点个数.223学科网（北京）股份有限公司,2024届广东省四校高三第一次联考高三数学参考答案1．d2．a3．a4．c5.b6.b7.c8.a9.acd10.bc11.bc12.abd13.−614.−10115.−316.�−∞,−√3�∪[√3,+∞)17．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则aad21=+，aad31=+2，…………1分333ad1+=−a1=2a1=−4由题意得，解得或，…………………………3分aadad11(++=)(128)d=−3d=3∴由等差数列通项公式可得annn=−−=−+23(1)35或an=−+43(nn−=−1)37．故ann=−+35或ann=37−；………………………………5分（2）当ann=−+35时，aaa231,,分别为−1，−4，2，不成等比数列；…………6分当ann=37−时，aaa231,,分别为−1，2，−4成等比数列，满足条件．−+3nn7,=1,2故ann=−=37，……………………………………………………7分3nn−≥7,3nn(3−11)记数列{an}的前n项和为sn，sn=.……………………………………8分2taa20=+++=−+++12a20(aaa12)(3+ass10)=−1022=105.………………10分bc++sinbsinc18．解：（1）2sinabb=3，由正弦定理，3sinbb+==cos，……1分aasin于是3sinsinbababcb+cossin=+=++sinsinsinsin(ab)，…………2分，即3sinsinbabababba+=cossinsin++sincossincos，得3sinsinbabba=sin+sincos，………………3分由b∈(0,π)，则sinb≠0，………4分得到3sinaa=+1cos，π1ππ5πππ根据辅助角公式可得，sina−=，结合aa∈(0,π)⇔−∈−,，故a−=，可得6266666πa=………………6分34学科网（北京）股份有限公司,2221bca+−（2）在abc中，由余弦定理得：cosa==，22bc222得b+−=cabc，①……………………7分a又∵bd=dc，所以bd=dc=，且∠adb+∠adc=π，2即cos∠+∠=adbcosadc0，………………8分2212△adb和△adc中，由余弦定理得bc+=+8a，②……………………10分222216联立①②消去a得b+=−≥⇒≤c16bc2bcbc.………………11分343（当且仅bc==时等号成立），31343∴abc的面积s=bcsina=bc≤.24343∴abc面积最大值为.……………………12分319．解：（1）取pc中点m，连接fmbm,.1在pcd中，mf,分别为pcpd,的中点，∴mf dcmf="">0),E(3,0,0,)C(0,23,0)，……………………7分则EF=(−=3,0,tEC),(−3,23,0)，根据条件，可得平面FCD的法向量为????????����1⃗.=(1,0,0)……………………8分设平面EFC的法向量为�????????���2⃗.=(x,y,z)，nEF⋅=0−+=30xtz2则，所以，nEC⋅=0−+3230xy=2取xt=2，则y=3,tz=6，∴ntt2=(2,3,6)，………………10分由题意，二面角E−−FCD的大小为45，nn⋅22t12∴cos＜nn12,＞===，解得t=±6（舍负）.…………11分nn343tt22++6212∵F是PD的中点，∴PD的长为12.…………12分经检验符合题意.20.解：（1）得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，1113∴p(2)=+×=，……1分2224得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，1111115∴pC(3)=××+××=2；………………3分222228（2）由题意可知，Xn的所有可能取值为nn,1++,2n,,nk+,,2n.…………4分knk−nkk111*pX(nn=+=⋅nk)C⋅−1=⋅Cn(0≤≤∈knn,N)…………5分222故Xn的分布列如下6学科网（北京）股份有限公司,Xnnn+1nk+2nnnnn0111k1n1PCn⋅Cn⋅Cn⋅Cn⋅2222nnnn0111kn11∴EX()=⋅+nC(n+⋅+12)C+(nkC+⋅+)+⋅nCnnnnn2222……8分n=1⋅01+++++++++++kn12knnC(nnCCnCnnn)C2CkCnnCn2…………9分又由kkn!(n−1!)−1………………10分kC=k⋅=n⋅=nCnn−1knk!(⋅−)!(k−⋅−1)!(nk)!01knn01knn−−11CC+++++=CC2，C+++++=CCC2…………11分nnnnn−1nnn−−−111nn∴=1⋅⋅+n01+++n−−1=13⋅⋅+⋅nn1=nE()Xnnn2(CCnn−−11Cn−1)nn22222…………12分121.解:（1）易知????????△????????????????????????=????????△????????????????????????=2∙∙|????????????????|∙|????????????????|=2|????????????????|≤2|????????|=2????????=2√5，2????????2????????2∴????????=√5，故椭圆的方程为+=1.…………4分95（2）设????????????????的方程为????????=2+????????????????，????????(????????1,????????1),????????(????????2,????????2)，由????????=2+????????????????�22,⟹(5????????2+9)????????2+20????????????????−25=0，…………5分????????????????+=19520????????25????????1+????????24????????∴????????1+????????2=−5????????2+9，????????1∙????????2=−5????????2+9，∴????????∙????????=5，…………6分1292????????????????−????????1+????????−????????2设????????(,????????)，则????????2=，????????1+????????3=5−????????????????5−????????????????，…………8分252122????????22????????25−10????????(????????1+????????2)+4????????2????????1∙????????2∴=∙????????1+????????352[10????????−(2????????????????+5)(????????1+????????2)+4????????????????1∙????????2]20????????225????????25−10????????∙�−5????????2+9�+4????????∙�−5????????2+9�=∙520????????2510????????−(2????????????????+5)∙�−5????????2+9�+4????????∙�−5????????2+9�????????25[(5????????2+9)+4????????2]=∙510????????[(5????????2+9)+4????????2]????????51=∙=.52????????2…………12分2xx22.解:（1）依题意得，fa(0)=−=1，此时fx()=sinx−−ex，fx′()=sin2x−−e1，……1分则切线斜率为f′(0)=−2，…………2分故切线方程：yx+=−−12(0)，即yx=−−21…………3分（2）时????????=−1，????????(????????)=????????????????????????2????????−????????????????−????????，则????????′(????????)=????????????????????????2????????−????????????????−1，∴????????′(????????)=????????????????????????2????????−????????????????−1≤−????????????????<0，……4分′????????∴????????(????????)在�0,�上单调递减，…………5分27学科网（北京）股份有限公司,????????????????????????????????????????又????????(0)=−1，????????��=1−????????2−，∴????????(????????)值域为�1−????????2−,−1�.…………6分22211????????（3）????????(????????)=????????(????????)+????????????????????????2????????−????????−=????????????????−????????−????????(0<????????≤1)，22????????′(????????)=????????????????????????−1=0⟹????????=−????????????????????????，????????′(????????)>0⟹????????>−????????????????????????；????????′(????????)<0⟹????????<−????????????????????????.????????(????????)减区间为(−∞,−????????????????????????)，增区间为(−????????????????????????,+∞)，……7分∴????????(????????)≥????????(−????????????????????????)=1+????????????????????????−????????.当????????=1时，1+????????????????????????−????????=0，∴????????(????????)≥0，∴????????(????????)在(−∞,+∞)上有且仅有一个零点；……8分′11−????????当0<????????<1时，令????????(????????)=1+????????????????????????−????????(0<????????<1)，????????(????????)=−1=>0，∴????????(????????)在(0,1)上单调递增，????????????????∴????????(????????)<????????(1)=0，…………9分1又????????(0)=0，∴????????(????????)在(−∞,−????????????????????????)上有一个零点，又????????(−2????????????????????????)=+2????????????????????????−????????，????????…………11分1′(????????−1)2令????????(????????)=−????????+2????????????????????????(0<????????<1)，则????????(????????)=−<0，∴????????(????????)在(0,1)上单调递减，????????????????∴????????(????????)>????????(1)=0，∴????????(−2????????????????????????)>0，∴????????(????????)在(−????????????????????????,−2????????????????????????)上有一个零点.……12分综上所述，????????=1时，????????(????????)有一个零点，0<????????<1时，????????(????????)有2个零点.8学科网（北京）股份有限公司</a≤1,讨论????????(????????)=????????(????????)+cos2????????−????????−的零点个数.223学科网（北京）股份有限公司,2024届广东省四校高三第一次联考高三数学参考答案1．d2．a3．a4．c5.b6.b7.c8.a9.acd10.bc11.bc12.abd13.−614.−10115.−316.�−∞,−√3�∪[√3,+∞)17．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则aad21=+，aad31=+2，…………1分333ad1+=−a1=2a1=−4由题意得，解得或，…………………………3分aadad11(++=)(128)d=−3d=3∴由等差数列通项公式可得annn=−−=−+23(1)35或an=−+43(nn−=−1)37．故ann=−+35或ann=37−；………………………………5分（2）当ann=−+35时，aaa231,,分别为−1，−4，2，不成等比数列；…………6分当ann=37−时，aaa231,,分别为−1，2，−4成等比数列，满足条件．−+3nn7,=1,2故ann=−=37，……………………………………………………7分3nn−≥7,3nn(3−11)记数列{an}的前n项和为sn，sn=.……………………………………8分2taa20=+++=−+++12a20(aaa12)(3+ass10)=−1022=105.………………10分bc++sinbsinc18．解：（1）2sinabb=3，由正弦定理，3sinbb+==cos，……1分aasin于是3sinsinbababcb+cossin=+=++sinsinsinsin(ab)，…………2分，即3sinsinbabababba+=cossinsin++sincossincos，得3sinsinbabba=sin+sincos，………………3分由b∈(0,π)，则sinb≠0，………4分得到3sinaa=+1cos，π1ππ5πππ根据辅助角公式可得，sina−=，结合aa∈(0,π)⇔−∈−,，故a−=，可得6266666πa=………………6分34学科网（北京）股份有限公司,2221bca+−（2）在abc中，由余弦定理得：cosa==，22bc222得b+−=cabc，①……………………7分a又∵bd=dc，所以bd=dc=，且∠adb+∠adc=π，2即cos∠+∠=adbcosadc0，………………8分2212△adb和△adc中，由余弦定理得bc+=+8a，②……………………10分222216联立①②消去a得b+=−≥⇒≤c16bc2bcbc.………………11分343（当且仅bc==时等号成立），31343∴abc的面积s=bcsina=bc≤.24343∴abc面积最大值为.……………………12分319．解：（1）取pc中点m，连接fmbm,.1在pcd中，mf,分别为pcpd,的中点，∴mf></c.<ω<d.<ω≤336262二.选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的命题的是()a.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变2b.已知随机变量x~b(n,p),若e(x)=30,d(x)=20,则????????=31c.设随机变量ξ~n(0,1),若p(ξ></x<1},则()a.m=nb.m∩n=[-1,0]c.m∩n=(-1,0)d.(crm)∪n=(-1,+∞)2.已知(1-i)z=1(i为虚数单位)，则z在复平面上对应的点在第()象限a.一b.二c.三d.四3.“m<1”是“x²-mx+1>
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