新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题 Word版含答案

新高考联合质量测评12月联考试题高三数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）．A．B．C．D．2．设复数满足，则（）．A．B．C．D．3．已知，，，则（）．A．B．C．D．4．函数的图象大致为（）．A．B．C．D．5．已知，且，则的最小值是（）．A．B．C．20D．256．已知展开式的各项系数之和为64，则展开式中的系数为（）．A．10或2970B．10或1890C．10D．18907．意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》中有一经典的“生兔问题”：一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后有多少对兔子？每月兔子总数形成“斐波那契”数列：1，1，2，3，5，8，…，则一年后共有兔子（）． A．144对B．232对C．375对D．376对8．已知三棱锥三条侧棱、、两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则、两点间的距离最大值为（）．A．B．C．D．二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．关于平面向量，，，下列说法不正确的是（）．A．若，，则B．C．若，且，则D．若，则10．2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）．A．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％ 11．已知棱长为2的正方体，点、为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是（）．A．当为的中点时，有平面B．若点，均在线段上运动，且，则三棱锥的体积为定值C．以点为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的弧长之和为D．当点在平面内运动，点在平面内运动时（，不重合），与的夹角最大为12．已知函数，为的一个零点，为图像的一条对称轴，右移个单位长度得到函数，则下列说法正确的是（）．A．B．若在上单调递减，则C．若，则D．若为偶函数，则的最小值为5三、填空题：13．已知，，则______．14．某班预备在今年的元旦晚会中排15个节目，其中弹唱类6个，小品、相声类4个，舞蹈类4个，魔术类1个，甲、乙两人计划从中各选1个节目参加，且两人不选择同一个节目，则两人选择同一类节目的概率为______．15．已知命题，命题．若是的充分条件，则的取值范围为______． 16．已知函数，若函数使得方程恰有3个不同根，则实数的取值范围为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．①；②；③，为锐角．从以上三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知内角，，的对边分别为，，，______，若3，求周长的最大值．18．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．19．已知函数．（1）若在点处的切线斜率为2，求在上的最大值；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．20．随着生产力和国家经济实力的提升，网购成为了人们心中首选的购物方式．方便快捷、价格实惠、商品丰富成为吸引消费者进行网购的主要因素．据统计，全国约有55％的居民进行网购，而其中年龄在40岁及以下的约占．（1）如果采用分层抽样的方式从“网购”与“非网购”居民中随机抽取40人，其中“网购”居民中年龄在40岁及以下的有16人，“非网购”居民中年龄在40岁及以下的有5人，试问是否有％的把握认为是否网购与年龄有关？（2）“双十一”期间各大电商平台积极宣传促销，全网销售额达到2674亿元，其中天猫占比高达60％，若从网购居民中随机选取3人，用表示所选3人中在天猫购买商品的人数，求的分布列和数学期望． 附：21．如图（1），已知梯形，，，，将沿向上翻折，构成如图（2）所示的四棱锥，为的中点．（1）证明：平面；（2）当四棱锥体积最大时，若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．22．已知函数，．（1）当，且时，①试求函数的单调区间；②证明：．（2）当时，若是上的单调函数，求的最小值．参考答案1．C【解析】由，得，故．2．B【解析】，所以，所以． 3．B【解析】，，故．4．C【解析】为奇函数，排除A，B；当时，，，排除D．5．D【解析】由得．所以．6．A【解析】展开式的各项系数之和为，解得或．当时，的系数为．当时，的系数为．故选A．7．A【解析】由题可知数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，共144对．8．D【解析】由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．则三棱锥内切球球心，外接球球心， 以及内切球与面的切点三点均在上，且．设内切球半径为，外接球半径为，则．由，，解得，故、两点间距离的最大值为．9．ABD【解析】当时，A不成立；B显然错误；，则，即，即，故C正确；当时，D不成立．10．BD【解析】A显然错误；，与2018年基本一致，B正确；，不会超过，C错误；％％，不会超过10％，D正确．11．BC【解析】，但与，都不垂直，A错误；如图，，B正确； 所截得的弧为3个半径为2的圆弧，弧长和为，C正确；当点在上运动时，平面，，此时夹角为，D错误．12．ABD【解析】A，，①，②由①②，得．又，故，所以，A正确．B，的单调递减区间为，，则，解得．又，所以．此时，B正确．C，， 所以．所以，C错误．D，为偶函数，则，所以．因为，所以，D正确．13．【解析】由已知可得，，则，．14．【解析】．15．【解析】由，解得．因为是的充分条件，所以在上恒成立．设，其图象如图． 所以．16．【解析】由已知得的图象如图(1)．(1)当时，要使得方程恰有3个不同根，则需存在，使得，即．又的图象如图(2)，故．(2)当时，由图(1)知需与函数相切．设切点为，则，即过点，故，解得．因为，故．所以．(3)当时，显然符合题意．综上，实数的取值范围为．17．解：选择①．由正弦定理，得， 即．因为，所以，即t．因为，所以．由余弦定理，得，即．由均值不等式知（“＝”成立）．故，即．所以周长，即周长的最大值为．选择②．由二倍角公式，得．解得或．在中，，故．所以．(下同)选择③．因为，所以，解得．因为，所以．(下同)18．解：(1)因为数列是等差数列，所以． 所以．设公差为，因为，所以．由可得，所以．所以．(2)由，得，所以，所以，所以，所以．19．解：(1)函数的定义域为，，所以，所以，所以，，所以在上单调递增．又，所以，所以在上单调递增． 所以．(2)由可得．设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有极大值，且，当时，，所以其图象如图所示．要使得有两个零点，即与的图象有两个不同的交点，需．所以的取值范围是．20．解：(1)由题意可得列联表如下：网购非网购合计40岁及以下1652140岁以上61319合计221840，所以有％的把握认为是否网购与年龄有关．(2)由题意可知， ，，，．所以的分布列为0123数学期望．21．(1)证明：如图，取的中点，连接，，，则．又，故．所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：当平面时，四棱锥体积最大．又，故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，， 则，．设平面的法向量，则，即．令，则．又平面的法向量，所以．解得．所以．设直线与平面所成角为，则，故，即直线与平面所成角的余弦值为．22．(1)解：①当，且时，．因为的定义域为，，又，则当时，，当时，， 故函数，的单调增区间是，单调减区间是．②证明：由①知时，在处取得最大值，最大值为．所以，即．令，因为，所以，则只要证．令，，则，则当时，，当时，．故在上单调递增，在上单调递减，故，故成立，即．因此，时，．(2)解：，因为在上单调，所以或恒成立．当时，设，则，所以有两个相异的根，，且．不妨设， 则当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上单调递减．所以不合题意．当时，则对恒成立．即在恒成立，设，只需．因为，当且仅当时取等号．所以，即．所以，当且仅当，时取等号．当，时，且不恒为0，此时在内单调递增．所以的最小值为．