人教版九年级数学下册（第二十七章 相似）27.2 相似三角形（学习、上课课件）

27.2相似三角形第二十七章相似第1课时相似三角形的判定 学习目标课时讲解1相似三角形平行线分线段成比例平行线截三角形相似的定理三边关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形相似定理角的关系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2 知1－讲感悟新知知识点相似三角形11.定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似. 感悟新知数学表达式：如图27.2-1，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，===k，知1－讲⇔△ABC∽△A′B′C′. 感悟新知2.相似三角形的表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.如图27.2-1，△ABC与△A′B′C′相似，记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”.知1－讲 感悟新知特别警示：用符号“∽”表示，读作“相似于”.例如△ABC与△A′B′C′相似，记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”.知1－讲 感悟新知3.相似比：两个三角形相似，对应边的比叫做相似比.特别警示：相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为.知1－讲 感悟新知知1－讲特别提醒1.相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″.2.相似三角形属于特殊的相似多边形，同样具有“对应角相等，对应边成比例”的性质. 知1－练感悟新知如图27.2-2，已知△ABC∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.例1解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解. 知1－练感悟新知(1)求△ABC与△ADE的相似比；解：△ABC与△ADE的相似比为==2. 知1－练感悟新知(2)求∠AED的度数和DE的长.解：因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠C=180°－70°－40°=70°.因为△ABC∽△ADE，所以∠AED=∠C=70°，=.又因为AB=6，BC=6，AD=3，所以=，解得DE=3. 知1－练感悟新知1-1.[中考·重庆B卷]如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC=2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为()A.4B.9C.12D.13.5B 知识点平行线分线段成比例知2－讲21.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知2－讲数学表达式：如图27.2-3，∵l3∥l4∥l5，∴=，=，=. 知2－讲要点解读1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上. 感悟新知知2－讲2.平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 知2－讲数学语言：如图27.2-5，若DE∥BC，则有=，==. 知2－讲特别提醒1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况.2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线(如图27.2-4). 知2－练例2如图27.2-6，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H.下列结论中，错误的是()A．=B．=C．=D．= 知2－练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解题. 知2－练解：∵AB∥CD∥EF，∴=，=，=，故选项A，B，D正确.∵CD∥EF，∴=故选项C错误.答案：C 知2－练2-1.[中考·吉林]如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则的值是()A．B．C．D．A 知2－练[中考·临沂]如图27.2-7，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若=，AD=10，则AO=________.例34 知2－练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论解题.解：∵AB∥CD，∴==，即=，解得AO=4. 知2－练技巧点拨：利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，再根据平行线截得的线段间的比例关系，写出一个含有待求线段和已知线段的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长. 知2－练3-1.如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9，求BC，BF的长. 知2－练解：∵l2∥l3，∴=.∵AB=3，AD=2，DE=4，∴=，解得BC=6.∵l1∥l3，∴=.∵EF=9，AB=3，BC=6，∴=，解得BF=3. 感悟新知知3－讲知识点平行线截三角形相似的定理31.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.“和其他两边相交”是指和其他两边所在直线相交. 感悟新知知3－讲数学表达式：如图27.2-8，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. 知3－讲感悟新知特别提醒●书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. 知3－讲感悟新知●根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，图27.2-8①②很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图27.2-8③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”). 感悟新知知3－讲2.作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例. 感悟新知知3－练如图27.2-9所示，已知在▱ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例4 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似的两种基本图形：“A”型和“X”型进行查找.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△CDF∽△AED.∵AB=CD，AB=3BE，∴CD=3BE. 知3－练感悟新知∴△BEF∽△CDF，相似比k1==；△BEF∽△AED，相似比k2==；△CDF∽△AED，相似比k3==.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后顺序，若顺序颠倒，则相似比成为原来相似比的倒数. 知3－练感悟新知4-1.[中考·玉林]如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有()A.3对B.5对C.6对D.8对C 感悟新知知3－练如图27.2-10，在▱ABCD中，AE=EB，AF=2，则FC=________.例54 知3－练感悟新知解题秘方：判断是用平行线截线段成比例，还是用平行线截三角形相似的对应边成比例是解题关键. 知3－练感悟新知解：在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△CDF.∴=.∵AE＝EB，AB=CD，∴=.又∵AF=2，∴CF=4. 知3－练感悟新知5-1.[中考·陕西]如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为()A．B.7C.D.8C 感悟新知知4－讲知识点三边关系判定三角形相似定理41.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似. 知4－讲感悟新知特别提醒由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可. 感悟新知知4－讲2.数学表达式：如图27.2-11所示，在△ABC和△DEF中，∵==，∴△ABC∽△DEF. 知4－练感悟新知图27.2-12、图27.2-13中小正方形的边长均为1，则图27.2-13中的哪一个三角形(阴影部分)与图27.2-12中的△ABC相似？例6 知4－练感悟新知解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断. 知4－练感悟新知解：易知AC=，BC=2，AB=.图27.2-13①中，三角形的三边长分别为1，，2；图27.2-13②中，三角形的三边长分别为1，，；图27.2-13③中，三角形的三边长分别为，，3；图27.2-13④中，三角形的三边长分别为2，，.∵===2，∴图27.2-13②中的三角形与△ABC相似. 知4－练感悟新知6-1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是()A.CE≠BDB.△ABC≌△CBDC.AC=CDD.∠ABC=∠CBDD 感悟新知知5－讲知识点边角关系判定三角形相似定理51.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 知5－讲感悟新知特别提醒运用该定理证明两三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS方法. 感悟新知知5－讲2.数学表达式：如图27.2-14所示，在△ABC和△DEF中，∵=，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF. 感悟新知知5－练如图27.2-15，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.例7 知5－练感悟新知证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD=CD=BC=4a.∵Q是CD的中点，BP=3PC，∴DQ=CQ=2a，PC=a.∴==2.又∵∠D=∠C=90°，∴△ADQ∽△QCP.解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可. 知5－练感悟新知技巧点拨：利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后证明这两组对应边成比例. 知5－练感悟新知7-1.如图，在△ABC中，D，E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求证：△ADE∽△ACB. 知5－练感悟新知 知6－讲感悟新知知识点角的关系判定三角形相似定理61.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似. 感悟新知知6－讲特别提醒由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 感悟新知2.数学表达式如图27.2-16所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.知6－讲 感悟新知3.常见的相似三角形的类型：平行线型：如图27.2-17①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)相交线型：如图27.2-17②，若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC.知6－讲 感悟新知(3)“子母”型：如图27.2-17③，若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图27.2-17④，若∠A=∠D=∠BCE=90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.知6－讲 知6－练感悟新知如图27.2-18，，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.例8 知6－练感悟新知解题秘方：紧扣“两组对应角相等的两个三角形相似”，由于∠BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B=∠4即可证明. 知6－练感悟新知证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF.∴∠FAD=∠3.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.又∵∠B=∠3－∠1，∠4=∠FAD－∠2，∴∠B=∠4.又∵∠BFA=∠AFC，∴△ABF∽△CAF. 知6－练感悟新知8-1.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：(1)△ACE∽△BDE；证明：∵∠ADB＝∠ACB，∴∠BDE＝∠ACE.又∵∠E＝∠E，∴△ACE∽△BDE. 知6－练感悟新知(2)BE·CD=AB·DE.证明：∵△ACE∽△BDE，∴=，即=.又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD.∴=.∴BE•CD=AB•DE. 知6－练感悟新知8-2.[中考·怀化]如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD．求证：(1)AC=BD；证明：∵AB＝CD，∴AC＝BD.∴AC＝BD.︵︵︵︵ 知6－练感悟新知(2)△ABE∽△DCE.证明：∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C.∴△ABE∽△DCE. 感悟新知知7－讲知识点直角三角形相似的判定71.直角三角形相似的判定方法：(1)一组锐角相等的两直角三角形相似；(2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似. 知7－讲感悟新知特别提醒左栏所述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定理给出，所以只能作为一种分析问题的依据. 感悟新知知7－讲2.数学表达式：如图27.2-19，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 感悟新知知7－讲(2)∵∠C=∠C′=90°，＝，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.(3)∵∠C=∠C′=90°，=，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 知7－练感悟新知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中,不能判定这两个三角形相似的是()A.∠A=55°，∠D=35°B.AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C.AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D.AB=10，AC=8，DE=15，EF=9例9 知7－练感悟新知解题秘方：紧扣“判定直角三角形相似的思路”一一进行验证.解：A.∵∠A=55°，∴∠B=90°－55°=35°.∵∠D=35°，∴∠B=∠D.又∵∠C=∠F=90°，∴△ABC∽△EDF. 知7－练感悟新知B.∵AC=9，BC=12，DF=6，EF=8，∴==.又∵∠C=∠F=90°，∴△ABC∽△DEF.C.由题干知∠C=∠F=90°，但由已知条件不能得出两组对应边成比例，故不能判定两三角形相似. 知7－练感悟新知D.∵AB=10，AC=8，∴由勾股定理可得BC=6.又∵DE=15，EF=9，∴==.又∵∠C=∠F=90°，∴△ABC∽△DEF.答案：C 知7－练感悟新知9-1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，图中共有哪几对相似三角形？并选择其中一对进行证明. 知7－练感悟新知解：图中共有3对相似三角形，分别为△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD(选择不唯一)证明△ACD∽△ABC如下：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴∠ADC=90°=∠ACB.又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC. 知7－练感悟新知9-2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，CD=1，AD=，AB=2，求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. 知7－练感悟新知证明：由勾股定理，知AC===2.∵=，==，∴=.又∵∠C=∠C=90°∴Rt△ADC∽Rt△BAC. 相似三角形的判定平行线的性质平行线截对应线段成比例相似三角形的判定相似三角形的定义相似三角形的判定定理平行线截三角形相似 27.2相似三角形第二十七章相似第2课时相似三角形的性质 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2相似三角形对应线段的比相似三角形面积的比 知识点相似三角形对应线段的比知1－讲11.定理：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即：相似三角形对应线段的比等于相似比. 知1－讲特别提醒：(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；(2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序. 知1－讲深度理解对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线. 知1－讲2.相似三角形周长的比：相似三角形周长的比等于它们的相似比. 知1－练例1如图27.2-38，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.若BC=30cm，AD=10cm，求矩形EFGH的周长. 知1－练解题秘方：利用相似三角形对应高的比等于相似比求解. 知1－练解：设HG=xcm，则EH=2xcm.易得AP⊥EH，PD=HG=xcm.∵AD=10cm，∴AP=(10－x)cm.∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC.∴△AEH∽△ABC.∴=，即=.解得x=6.∴HG=6cm，EH=12cm.∴矩形EFGH的周长为(6+12)×2=36(cm). 知1－练1-1.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为()A．B．C．D．D 知1－练如果两个相似三角形的相似比是3∶2，它们的周长差为8，那么较大的三角形的周长为_______.例2解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比”列方程求解. 知1－练解：设较大的三角形的周长为x，则较小的三角形的周长为x－8.∵这两个相似三角形的相似比为3∶2，∴这两个三角形的周长比为3∶2.∴=，解得x=24. 知1－练答案：24也可设较小的三角形的周长为2x，较大的三角形的周长为3x.∴3x－2x=8，∴x=8，∴较大的三角形的周长为3x=24. 知1－练2-1.已知两个相似三角形的对应边之比为1∶3，则它们的周长比为()A.1∶9B.9∶1C.1∶6D.1∶3D 知1－练2-2.若△ABC∽△A′B′C′，且=，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为()A.18cmB.20cmC.cmD.cmB 知2－讲知识点相似三角形面积的比2相似三角形面积的比：相似三角形面积的比等于相似比的平方.若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则=k2. 知2－讲2.相似多边形面积的比：相似多边形面积的比等于相似比的平方. 知2－讲特别提醒面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆. 知2－练如图27.2-39，△ABC∽△A′B′C′，BC=6，B′C′=4，AD⊥BC于点D，AD=4，求△A′B′C′的面积.例3解题秘方：利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解. 解：S△ABC=BC·AD=×6×4=12.∵△ABC∽△A′B′C′，∴=2，即=2=.∴S△A′B′C′==，即△A′B′C′的面积为.知2－练不要误认为相似三角形面积的比等于相似比. 知2－练3-1.[中考·遂宁]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为()A.12cm2B.9cm2C.6cm2D.3cm2B 相似三角形的性质相似比对应线段面积相似三角形的性质周长 27.2相似三角形第二十七章相似第3课时相似三角形应用举例 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2利用影子测量物体的高度利用标杆测量物体的高度利用镜子的反射测量物体的高度利用相似测量宽度 知识点利用影子测量物体的高度知1－讲11.测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物高及其影长、被测物高及其影长构造相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的原理解决. 知1－讲2.测量方法：在同一时刻测量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度和“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”的原理计算出被测物体的高度. 知1－讲特别提醒运用此测量方法时，要符合下列两个条件：1.被测物体的底部能够到达；2.由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长. 知1－练例1某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是()A．1.25mB．10mC．20mD．8m解题秘方：用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解. 知1－练解：设该旗杆的高度是xm，根据题意，得1.6∶0.4=x∶5，解得x=20，即该旗杆的高度是20m.答案：C 知1－练1-1.[中考·杭州]某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图)．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB＝_______m．9.88 知2－讲知识点利用标杆测量物体的高度21.测量原理：用标杆与被测物体平行构造相似三角形. 知2－讲2.测量方法：(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的距离和距被测物体底端的距离；(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度. 知2－讲特别提醒利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部必须可到达. 知2－练如图27.2-47，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=______m.例2 知2－练解题秘方：本题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程求解. 知2－练解：∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB.∴=.∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m，∴=.∴BC=4m.∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).答案：5.5 知2－练2-1.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上.已知DE=0.5m，EF=0.25m，测得点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m，则旗杆的高度为()A．10mB．(10+1.5)mC．11.5mD．10mC 知3－讲知识点利用镜子的反射测量物体的高度31.测量原理：利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度. 2.测量方法(1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；知3－讲特别提醒●测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置.●利用物理学中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等.找到一组锐角对应相等，创造相似条件. (2)测出观测者眼睛到地面的高度；(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离；(4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.知3－讲 知3－练如图27.2-48是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求该古城墙CD的高度.例3 知3－练解题秘方：由反射原理及AB⊥BD，CD⊥BD，可得△ABP∽△CDP，利用相似三角形的性质即可求出CD的长. 知3－练解：如图27.2-48，由题意可得∠CPE=∠APE，∴∠CPD=∠APB.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°.∴△ABP∽△CDP.∴=.∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴=.∴CD=8米.答：该古城墙CD的高度为8米. 知3－练3-1.如图，小明为测量学校旗杆AB的高度，在E处放置一面镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B.已知小明的眼睛D离地面的高度CD=1.5m，他与镜子的水平距离CE=0.5m，镜子与旗杆的底部A处的距离AE=2m，且A，E，C三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为()A．4.5mB．4.8mC．5.5mD．6mD 感悟新知知4－讲知识点利用相似测量宽度41.测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离. 感悟新知知4－讲2.常见的测量方式：(1)构造“A”型相似，如图27.2-49.(2)构造“X”型相似，如图27.2-50. 知4－讲感悟新知特别解读利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：1.利用平行线、标杆等构造相似三角形；2.测量与表示未知量的线段相对应的线段的边长以及另外任意一组对应边的长度；3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；4.检验并得出答案. 感悟新知知4－练如图27.2-51，我们想要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离(即河宽).方案：先从B点出发向与AB成90°角的方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处向右转90°，沿CD方向再走17m到D处，使得点A，O，D在同一条直线上.那么点A，B之间的距离是多少？例4 知4－练感悟新知解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解. 知4－练感悟新知解：由题意知∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC.∴=.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m，∴=.∴AB=85m.∴点A，B之间的距离是85m. 知4－练感悟新知4-1.如图，身高为1.6m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是C′D，点B，E，D在同一水平线上，且A，E，C′在一条视线上，河宽BD=12m，且BE=2m，求树CD的高度. 知4－练感悟新知 相似三角形应用举例标杆或直尺相似的应用测量高度工具光线镜子测量宽度