人教版九年级数学上册（第二十四章 圆）24.3 正多边形和圆（学习、上课课件）

24.3正多边形和圆第二十四章圆 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2正多边形及有关概念正多边形的有关计算正多边形的画法 知1－讲感悟新知知识点正多边形及有关概念11.正多边形各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.2.圆的内接正n边形把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形叫作这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆. 感悟新知知1－讲特别解读“各边相等，各内角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形. 感悟新知3.正多边形的有关概念(1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心.(2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角.(4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.知1－讲 感悟新知4.正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.n为偶数时，正n边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.知1－讲 感悟新知知1－讲拓宽视野1.任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆.2.任意多边形(边数大于3)不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 知1－练感悟新知如图24.3－1，三角形AOB是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO的延长线分别交⊙O于点D，E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.例1 知1－练感悟新知证明：∵三角形AOB是正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OB=OA.∴点B在⊙O上.∵FC∥AB，∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°解题秘方：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明. 知1－练感悟新知∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 知1－练感悟新知解法提醒：证明一个多边形是圆内接正多边形的方法：1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等；2.证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 知1－练感悟新知1-1.下列图形：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是____________(填序号).②④⑤⑥⑦ 知1－练感悟新知1-2.若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定C 感悟新知知2－讲知识点正多边形的有关计算21.正n边形的每个内角都等于.2.正n边形的每个中心角都等于.3.正n边形的每个外角都等于. 感悟新知知2－讲4.设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则：(1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+()2；(2)周长l=na；(3)面积S=ar·n=lr. 知2－讲感悟新知特别提醒常见的正多边形的边长与半径的关系：1.正六边形的边长等于其外接圆半径.2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍.3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 感悟新知知2－练已知正六边形ABCDEF的半径为6，求这个正六边形的边长a6，周长l6和面积S6.例2解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等关系进行计算. 知2－练感悟新知解：如图24.3－2，设正六边形ABCDEF的中心为点O，过点O作OG⊥AB于点G，连接OA，OB.∵∠AOB==60°，OA=OB=6，∴∠AOG=30°.∴AG=OA=3.∴a6=AB=2AG=6. 知2－练感悟新知∴l6=6a6=6×6=36.在Rt△AOG中，OG===3，∴S6=×AB×OG×6=×6×3×6=54. 知2－练感悟新知解法技巧：构造特殊三角形解正多边形的方法在解决有关正六边形和正方形的计算时，我们往往作相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形，然后与前面学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等知识联系起来综合求解. 知2－练感悟新知2-1.[中考·沈阳]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是()A.B.C.2D.2B 知2－练感悟新知2-2.[中考·湖州]如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是()A.60°B.70°C.72°D.144°C 感悟新知知3－讲知识点正多边形的画法3正n边形的画法：将圆n等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n边形. 知3－讲感悟新知特别解读画正多边形的原理是在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 感悟新知知3－讲用量角器等分圆先用量角器画一个度数为的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，依次连接各等分点，就得到圆的内接正n边形，如图24.3－3①. 感悟新知知3－讲2.用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形，如正方形、正六边形等，可以用圆规和直尺作图，如图24.3－2②.在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 知3－讲感悟新知特别提醒1.画圆内接正n边形，实质是找圆的n等分点.2.用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差.3.尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形. 知3－练感悟新知作一个正三角形，使其半径为0.9cm.例3解题秘方：用量角器画时应先求出其中心角，用尺规画时应先考虑等分圆. 知3－练感悟新知解：作法一(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)用量角器画∠AOB=∠BOC=120°，其中A，B，C均为圆上的点；(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为所求作的正三角形，如图24.3－4所示. 知3－练感悟新知作法二(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)作⊙O的任一直径AB；(3)以B为圆心，以0.9cm为半径作弧，交⊙O于点D，E；(4)连接AD，DE，EA，则△ADE为所求作的正三角形，如图24.3－5所示. 知3－练感悟新知3-1.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹).略． 正多边形与圆相关概念半径中心边心距中心角正多边形与圆有关计算画法