人教版九年级数学上册（第二十四章 圆）24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（学习、上课课件）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系第二十四章圆第1课时点和圆的位置关系 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2点和圆的位置关系圆的确定三角形的外接圆反证法 知1－讲感悟新知知识点点和圆的位置关系1点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： 感悟新知知1－讲拓宽视野一个圆将平面分为三个部分：①圆的外部；②圆上；③圆的内部. 感悟新知特别提醒：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为因果关系.知1－讲点和圆的位置关系特点等价关系点在圆外点到圆心的距离大于半径点P在圆外d﹥r点在圆上点到圆心的距离等于半径点P在圆上d=r点在圆内点到圆心的距离小于半径点P在圆内d﹤r 知1－练感悟新知如图24.2-1，已知⊙O的半径r=5cm，圆心O到直线l的距离d=OD=3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD=4cm，QD=5cm，RD=3cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？例1 知1－练感悟新知解：如图24.2-1，连接OR，OP，OQ.∵PD=4cm，OD=3cm，且OD⊥l，∴OP=5cm=r.∴点P在⊙O上.∵QD=5cm，∴OQ=cm﹥5cm.∴点Q在⊙O外.∵RD=3cm，∴OR=3cm<5cm.∴点R在⊙O内.解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况. 知1－练感悟新知1-1.在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是_________.6<r<10 知2－讲感悟新知知识点圆的确定21.过已知点作圆条件作法作圆的个数图示过一点A作圆以不与点A重合的任意一点为圆心，以该点与点A的距离为半径作圆无数个 感悟新知知2－讲过两点A，B作圆连接AB，作线段AB的垂直平分线l，以l上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆无数个过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O，以点O为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆一个 感悟新知知2－讲方法点拨过不在同一条直线上的任意四点作圆：要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则，第四个点不在圆上. 感悟新知2.确定一个圆的条件(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆.(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.知2－讲“确定”是“有且只有”的意思. 知2－练感悟新知如图24.2－2，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()A.1B.2C.3D.4例2 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣两点：(1)四个点中取三个点的组数；(2)去掉三个点共线的组数. 知2－练感悟新知解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，在A，B，C，D四个点中任取三个点的情况共有四种：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D.因为点A，B，C在同一条直线上，所以过这三个点不能画圆.所以过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是3.答案：C 知2－练感悟新知特别提醒：1.确定一个圆要具备两个关键点：(1)已知三个点，若已知两个点或一个点，都无法确定圆；(2)三个点不在同一条直线上.2.圆心为任意两条弦(不平行)的垂直平分线的交点. 知2－练感悟新知2-1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是()A.①B.②C.③D.④B 感悟新知知3－讲知识点三角形的外接圆31.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 感悟新知知3－讲2.三角形的外心(1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.(2)性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 感悟新知知3－讲3.三角形外接圆的作法(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 知3－讲感悟新知特别提醒三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部. 感悟新知知3－练如图24.2－3，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，求⊙O的半径.例3 知3－练感悟新知解题秘方：连接半径，利用圆周角与圆心角的关系结合勾股定理求解.解：如图24.2－3，连接OA，OB，设⊙O的半径为r.∵∠C=45°，∴∠AOB=2∠C=90°.∴OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42.解得r1=2，r2=－2(不符合题意，舍去).∴⊙O的半径为2. 知3－练感悟新知3-1.若直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则直角三角形的外接圆的面积为_____(结果保留π). 感悟新知知4－讲知识点反证法41.定义 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法. 感悟新知知4－讲2.步骤(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 知4－讲感悟新知警示误区1.假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.2.在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证. 感悟新知知4－练如图24.2-4，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦.求证：AB与CD不能互相平分.例4 知4－练感悟新知解题秘方：利用垂径定理的推论结合垂线的唯一性证明.证明：如图24.2-4，设AB，CD交于点P，连接OP.假设AB与CD互相平分，则CP=DP，AP=BP.∵AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，∴OP⊥AB，OP⊥CD. 知4－练感悟新知这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴假设不成立.∴AB与CD不能互相平分. 知4－练感悟新知4-1.用反证法证明“△ABC中至少有两个锐角”，第一步应为()A.假设△ABC中至多有一个锐角B.假设△ABC中有一个直角C.假设△ABC中有两个直角D.假设△ABC中有两个锐角A 点和圆的位置关系点和圆的位置关系圆外、圆上、圆内三角形的外接圆确定圆的条件反证法 24.2点和圆、直线和圆的位置关系第二十四章圆第2课时直线和圆的位置关系 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2直线与圆的位置关系切线的判定切线的性质切线长定理三角形的内切圆 知1－讲感悟新知知识点直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系 感悟新知知1－讲直线与圆的位置关系相离相切相交图示公共点个数012 感悟新知知1－讲公共点名称切点交点直线名称切线割线圆心O到直线l的距离d与半径r的关系d>rd=rd<r等价关系d>r⇔直线l与⊙O相离d=r⇔直线l与⊙O相切d<r⇔直线l与⊙O相交 感悟新知知1－讲要点提醒如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个也成立：1.过圆心；2.过切点；3.垂直于切线. 知1－练感悟新知如图24.2-12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则直线AB和以点C为圆心，r为半径的圆有何位置关系？为什么？(1)r=4cm；(2)r=4.8cm；(3)r=7cm.例1 知1－练感悟新知解题秘方：求出点C到AB的距离，再将其与圆的半径的大小进行比较. 知1－练感悟新知解：如图24.2-12，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB=10cm.又∵AB·CD=AC·BC，∴CD=4.8cm.(1)当r=4cm时，CD﹥r，直线AB和⊙C相离；(2)当r=4.8cm时，CD=r，直线AB和⊙C相切；(3)当r=7cm时，CD<r，直线AB和⊙C相交. 知1－练感悟新知1-1.[中考·嘉兴]已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.相交或相切D 知1－练感悟新知如图24.2－13，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，O是AB上的一点，OB=m(m>0)，⊙O的半径r为12，当m分别在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离、相切、相交？例2 知1－练感悟新知解题秘方：利用直线与圆的位置关系的性质建立方程(或不等式)求m的取值范围.解：如图24.2－13，作OD⊥BC于点D.∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°.∴∠DOB=30°. 知1－练感悟新知在Rt△ODB中，OB=m，∴DB=m，OD=m.设OD=d.(1)当直线BC与⊙O相离时，d﹥r，即m＞，解得m＞.(2)当直线BC与⊙O相切时，d=r，即m=，解得m=. 知1－练感悟新知(3)当直线BC与⊙O相交时，d<r，即m<，解得m<，又∵m>0，∴0<m<. 知1－练感悟新知2-1.已知直线l与半径为2的⊙O的位置关系是相离，则点O到直线l的距离的取值范围在数轴上表示正确的是()A 知1－练感悟新知2-2.(易错题)在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m，4)，半径是2，如果⊙M与y轴相切,那么m=_______；如果⊙M与y轴相交,那么m的取值范围是__________.±2－2<m<2 感悟新知知2－讲知识点切线的判定21.判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知2－讲感悟新知特别提醒切线必须同时具备两个条件：1.直线过半径的外端；2.直线垂直于这条半径. 感悟新知知2－讲2.判定方法(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 感悟新知知2－练如图24.2－14，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2.求证：CD是⊙O的切线.例3 知2－练感悟新知证明：如图24.2－14，连接OD.由题意可知CD=OD=OA=AB=2.∵OC=2，∴OD2+CD2=OC2.∴∠ODC=90°，即OD⊥CD.∴CD是⊙O的切线.解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线. 知3－练感悟新知3-1.如图，点C是⊙O上的一点，AB是⊙O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD与⊙O的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.相交或相切C 感悟新知知2－练如图24.2－15，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.例4 知2－练感悟新知证明：如图24.2－15，过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B=90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF=DB.∴AC与⊙D相切.解题秘方：利用“无切点，作垂线，证半径”判定圆的切线. 知2－练感悟新知4-1.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作⊙D.求证：OA是⊙D的切线． 知2－练感悟新知证明：过点D作DF⊥OA于点F.∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，∴DF＝DE，即点D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE.∴OA是⊙D的切线． 感悟新知知3－讲知识点切线的性质31.性质定理圆的切线垂直于过切点的半径. 感悟新知知3－讲2.切线的性质(1)切线和圆只有一个公共点；(2)圆心到切线的距离等于半径；(3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). 知3－讲感悟新知特别提醒切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用.它们是一个互逆的过程，不要混淆. 知3－练感悟新知如图24.2-16，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD.例5 知3－练感悟新知解题秘方：(1)利用“等半径”得等腰三角形；(2)利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形，再结合相关性质求解. 知3－练感悟新知(1)求∠D的度数.解：如图24.2-16，连接OC.∵AO=CO，∴∠OAC=∠ACO.∴∠COD=2∠CAD.又∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD.∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD=90°.∴∠D=45°. 知3－练感悟新知(2)若CD=2，求BD的长.解：由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2.由勾股定理得OD===2，∴BD=OD－OB=2－2. 知3－练感悟新知5-1.B[中考·泰安]如图，在△ABC中，AB=6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC，AB分别交于点E，G，点F是优弧GE上一点，∠CDE=18°，则∠GFE的度数是()A.50°B.48°C.45°D.36° 知3－练感悟新知[中考·湖州]如图24.2-17，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.例6 知3－练感悟新知解题秘方：(1)构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角求解；(2)利用“连半径，证垂直”求解. 知3－练感悟新知(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；解：如图24.2-17，连接CD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB.∵AD=DB，∴AC=BC=2OC=10. 知3－练感悟新知(2)求证：DE是⊙O的切线.证明：如图24.2-17，连接OD.∵∠ADC=90°，E为AC的中点，∴DE=EC=AC.∴∠1=∠2.∵OD=OC，∴∠3=∠4.∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC.∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线. 知3－练感悟新知6-1.[中考·雅安]如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DC是⊙O的切线； 知3－练感悟新知证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OE∥AC，∴∠OEB＝∠ACB＝90°.∴OD⊥BC.∴OD垂直平分BC.∴DB＝DC.∴∠DBE＝∠DCE.又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE.∴∠DBO＝∠OCD. 知3－练感悟新知∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴DB⊥OB.∴∠OCD＝∠DBO＝90°.∴OC⊥DC.又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线． 知3－练感悟新知(2)若∠ABC=30°，AB=8，求线段CF的长. 感悟新知知4－讲知识点切线长定理41.切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 感悟新知知4－讲2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 知4－讲感悟新知特别提醒经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 感悟新知知4－讲3.示例如图24.2－18是切线长定理的一个基本图形,可以直接得到结论：(1)PO⊥AB；(2)AO⊥AP，BO⊥BP；(3)AP=BP；(4)∠1=∠2=∠3=∠4；(5)AD=BD；(6)AC=BC等.⌒⌒ 感悟新知知4－练如图24.2－19，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，点D在PA上，点E在PB上.例7解题秘方：根据切线长的定义，判断出切线长，再利用切线长定理，找到相等关系. 感悟新知知4－练(1)若PA=10，求△PDE的周长；解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB.∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.∴△PDE的周长为20. 感悟新知知4－练(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.解：如图24.1－19，连接OA，OC，OB.∵PA，PB，DE是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE.∴∠DAO=∠EBO=90°.∴∠P+∠AOB=180°.∴∠AOB=180°－50°=130°.易知∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°. 知4－练感悟新知7-1.(易错题)如图，直线AB，AD分别与⊙O相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD=130°，则∠A的度数是()A.70°B.85°C.80°D.100°C 知4－练感悟新知7-2.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D.若⊙O的半径为2，△PCD的周长等于4，则线段AB的长是_______. 感悟新知知4－练如图24.2－20，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.例8解题秘方：活用切线长定理中角的关系结合相关性质求解. 知4－练感悟新知证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴由切线长定理知∠BPO=∠APO=∠APB，PA=PB，PO⊥AB.∴∠ABP+∠BPO=90°.又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB.∴∠ABP+∠ABC=90°.∴∠ABC=∠BPO=∠APB，即∠APB=2∠ABC.求证：(1)∠APB=2∠ABC； 知4－练感悟新知证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.(2)AC∥OP. 知4－练感悟新知8-1.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，若∠BOC=90°，求证：AB∥CD. 知4－练感悟新知证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG，∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD. 感悟新知知5－讲知识点三角形的内切圆51.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 知5－讲感悟新知要点解读●一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形.●三角形的内心在三角形的内部. 感悟新知知5－讲2.三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.3.三角形内心的性质三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径. 感悟新知知5－练王奶奶有一块三角形的布料ABC，∠ACB=90°，她要裁剪一个圆片，已知AC=60cm，BC=80cm.为了充分地利用这块布料，使裁剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆片的半径是多少？例9 感悟新知知5－练解题秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆. 知5－练感悟新知解：如图24.2-21，设△ABC的内切圆⊙O的半径为rcm，⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F，连接OE，OF，则四边形OECF为正方形. 知5－练感悟新知∴CE=CF=rcm.∵∠ACB=90°，AC=60cm，BC=80cm，∴AB=100cm，AF=AD=(60－r)cm，BD=BE=(80－r)cm.∵AD+BD=AB，即60－r+80－r=100，∴r==20.∴她应该裁剪下来这块三角形布料的内切圆，这个圆片的半径是20cm.直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和减去斜边之差的一半. 知5－练感悟新知9-1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)若AB=9，BC=14，AC=13，求AD，BE，CF的长；(2)若BA=BC=13，AC=24，求△ABC的内切圆的半径. 知5－练感悟新知解：(1)设AD＝x，BE＝y，CF＝z，由切线长定理可得AD＝AF＝x，BD＝BE＝y，CE＝CF＝z.∴x＋y＝9，y＋z＝14，x＋z＝13，解得x＝4，y＝5，z＝9.即AD＝4，BE＝5，CF＝9. 知5－练感悟新知 感悟新知知5－练如图24.2－22，在△ABC中，∠A=70°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.例10解题秘方：三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点. 知5－练感悟新知解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°－70°=110°.∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB.∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=55°.∴∠BOC=180°－55°=125°. 知5－练感悟新知10-1.[中考·湖州]如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_______．70° 直线与圆的位置关系割线切线切线的判定直线与圆的位置关系相交相离相切三角形的内切圆切线的性质切线长定理