人教版九年级数学上册（第二十四章 圆）24.1 圆的有关性质（学习、上课课件）

24.1圆的有关性质第二十四章圆第1课时圆 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2圆圆的有关概念 知1－讲感悟新知知识点圆11.圆的定义(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.(2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合. 感悟新知知1－讲特别提醒●确定一个圆需要“两个要素”：一是圆心，圆心定其位置；二是半径，半径定其大小.●圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”.●“圆上的点”指圆周上的点. 感悟新知2.圆的表示法以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.3.圆的特性(1)同圆的半径相等.(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上.知1－讲 知1－练感悟新知下列说法中，错误的有()(1)经过点P的圆有无数个；(2)以点P为圆心的圆有无数个；(3)半径为3cm且经过点P的圆有无数个；(4)以点P为圆心，3cm长为半径的圆有无数个.A.1个B.2个C.3个D.4个例1 知1－练感悟新知解：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，圆心和半径都确定，这样的圆有且只有一个(唯一).解题秘方：紧扣圆的定义的“两要素”进行判断.答案：A 知1－练感悟新知1-1.下列条件中，能确定唯一一个圆的是()A.以点O为圆心B.以2cm长为半径C.以点O为圆心，5cm长为半径D.半径为2cm且经过点AC 知1－练感悟新知1-2.到点O的距离等于8cm的点的集合是以点____为圆心，以_______cm长为半径的圆.O8 知1－练感悟新知如图24.1-1，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，那么点E，F，G，H是否在同一个圆上？请说明理由.例2 知1－练感悟新知解：点E，F，G，H在同一个圆上.理由如下：如图24.1-1，连接OE，OF，OG，OH.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.解题秘方：只需说明E，F，G，H四个点到点O的距离相等即可. 知1－练感悟新知又∵E为AB边的中点，∴OE=AB.同理可得，OF=BC，OG=CD，OH=DA.∴OE=OF=OG=OH.∴点E，F，G，H在以点O为圆心，OE为半径的圆上. 知1－练感悟新知方法点拨：将说明几个点在同一个圆上转化为说明这几个点到某点(圆心)的距离相等.“到定点的距离相等(数量关系)的点在同一个圆上(位置关系)”是说明多点共圆问题的常用方法. 知1－练感悟新知2-1.如图，BD，CE是△ABC的高，M是BC的中点，试说明点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上. 知1－练感悟新知 感悟新知知2－讲知识点圆的有关概念2定义注意弦连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦直径经过圆心的弦叫做直径 感悟新知知2－讲弧、半圆、劣弧、优弧(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 感悟新知知2－讲等圆能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等前提 知2－讲感悟新知特别提醒1.弦与直径的关系：直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径.2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.3.弦与弧的关系：每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条. 知2－练感悟新知下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆.正确的有________(填序号).例3 知2－练感悟新知答案：①③⑤解题秘方：紧扣圆的相关概念进行解答.解：直径是最长的弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故⑤正确. 知2－练感悟新知3-1.如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有_______条弦.3 圆位置两要素弦（直径）圆圆心半径相关概念弧（半圆）等圆（等弧）大小 24.1圆的有关性质第二十四章圆第2课时垂直于弦的直径 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论 知1－讲感悟新知知识点圆的轴对称性1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.(1)圆的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”. 感悟新知知1－讲警示误区因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 知1－练感悟新知如图24.1-7，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，在AB上找一点P，使PC+PD最短，画出P点位置，不需要证明.例1 知1－练感悟新知解：如图24.1-7，过点C作AB的垂线并延长，交⊙O于点C′，则点C与C′关于AB对称.连接C′D，与AB的交点为P点，此时PC+PD最短.解题秘方：紧扣圆的轴对称性，作出点C关于直径AB的对称点是解题关键. 知1－练感悟新知1-1.下列说法中，不正确的是()A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴D 知2－讲感悟新知知识点垂径定理21.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 感悟新知知1－讲特别提醒1.“垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 感悟新知2.示例如图24.1－8，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的直径，那么可用几何语言表述为：⇒知1－讲⌒⌒⌒⌒ 知2－练感悟新知如图24.1－9，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，且CD=2，BD=，则AB的长为()A.2B.3C.4D.5解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题.把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.例2 知2－练感悟新知解：如图24.3－9，连接OD.∵CD⊥AB，CD=2，∴CH=DH=.在Rt△BHD中，由勾股定理，得BH=1.设⊙O的半径为r，在Rt△OHD中，OH2+HD2=OD2，即(r－1)2+()2=r2，解得r=.∴AB=2r=3.答案：B 知2－练感悟新知2-1.如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=8，求⊙O的直径. 知2－练感悟新知 感悟新知知2－练如图24.1－10，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC=BD.求证：△OCD为等腰三角形.例3 知2－练感悟新知解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线的性质证明.作垂直于弦的半径(或直径)或连半径，是常用的作辅助线的方法. 知2－练感悟新知证明：如图24.1－10，过点O作OM⊥AB，垂足为点M.∵OM⊥AB，∴AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD为等腰三角形. 知2－练感悟新知3-1.如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长. 知2－练感悟新知 感悟新知知3－讲知识点垂径定理的推论31.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 感悟新知知3－讲2.示例：如图24.1－11，CD是⊙O的直径，AB是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE=BE，那么CD垂直于AB，并且AD=BD，AC=BC.可用几何语言表述为：⇒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 知3－讲感悟新知拓宽视野对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”. 感悟新知知3－练如图24.1－12，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.例4 知3－练感悟新知证明：如图24.1－12，连接OM，ON，OA，OC.∵O为圆心，且M，N分别为AB，CD的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN(HL).∴AM=CN.∴AB=CD. 知3－练感悟新知4-1.如图，⊙O的弦AB=12，M是AB的中点，且OM=2，则⊙O的半径等于_________. 感悟新知知3－练如图24.1－13，要把残破的圆片修复完整.已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹).⌒例5 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.解：如图24.1－13，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆的圆心. 知3－练感悟新知5-1.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为______.5dm 感悟新知知3－练如图24.1－14，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，AB=120m，CD=20m，求这段弯路所在圆的半径.⌒⌒例6 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长. 知3－练感悟新知解：如图24.1－14，连接OB.∵点C是AB的中点，∴OC⊥AB，AD=BD=AB=60m.设OB=OC=rm，则OD=(r－20)m.在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，∴r2=(r－20)2+602.∴r=100，即这段弯路所在圆的半径为100m.⌒ 知3－练感悟新知6-1.半圆形纸片的半径为2cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为_______cm. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧平分弦垂直于弦圆的轴对称性垂径定理的推论垂径定理 24.1圆的有关性质第二十四章圆第3课时弧、弦、圆心角 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2圆的旋转不变性、圆心角弧、弦、圆心角之间的关系定理弧、弦、圆心角之间关系定理的推论 知1－讲感悟新知知识点圆的旋转不变性、圆心角11.圆的旋转不变性圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 感悟新知2.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角，如图24.1-22，∠AOB是AB所对的圆心角，AB是∠AOB所对的弧.注意一条弧所对的圆心角只有一个.知1－讲 感悟新知知1－讲特别提醒圆心角的条件：1.顶点在圆心上；2.两条边和圆相交.其中“顶点在圆心上”是圆心角的必备条件. 知1－练感悟新知如图24.1-23，已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，则OA∶AB的值为_________.例1 知1－练感悟新知解：如图24.1-23，过点O作ON⊥AB于点N，则AN=AB.∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠A=30°.设ON=a，则OA=2a.解题秘方：作垂直于弦的直径，结合勾股定理求解. 知1－练感悟新知∵OA2-ON2=AN2，∴AN=a.∴AB=2a.∴OA∶AB=.答案： 知1－练感悟新知技巧提醒：特殊的圆心角所对的弦与半径之间的特殊关系1.60°的圆心角所对的弦等于半径；2.90°的圆心角所对的弦等于半径的2倍；3.120°的圆心角所对的弦等于半径的3倍. 知1－练感悟新知1-1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD所对的圆心角的度数为_______.72° 知2－讲感悟新知知识点弧、弦、圆心角之间的关系定理21.定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 感悟新知知2－讲警示误区不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图24.1－25，两个圆的圆心相同，AB与A′B′对应的圆心角相等，但AB≠A′B′，AB≠A′B′.⌒⌒⌒⌒ 感悟新知2.示例 弧、弦、圆心角之间的关系.如图24.1-24，若∠AOB=∠A′OB′，则AB=A′B′，AB=A′B′.知2－讲⌒⌒ 知2－练感悟新知如图24.1－26，AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB.求证：BC=AE.⌒⌒例2 知2－练感悟新知证明：如图24.1－26，连接OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.解题秘方：构造圆心角，将证明弧相等转化为证明圆心角相等.⌒⌒ 知2－练感悟新知2-1.如图，点C是⊙O上的点，CD⊥半径OA于点D，CE⊥半径OB于点E，且CD=CE.求证：AC=BC.⌒⌒ 知2－练感悟新知⌒⌒ 感悟新知知3－讲知识点弧、弦、圆心角之间关系定理的推论31.推论(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 感悟新知知3－讲2.弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.注意：涉及弦心距的问题，应用时要加上垂直的条件. 知3－讲感悟新知拓宽视野在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，其关系可表示为 感悟新知知3－练如图24.1－27，在⊙O中，AB=CD，有下列结论：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4⌒⌒例3⌒⌒ 知3－练感悟新知答案：D解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系定理的推论判断.解：∵AB=CD，∴AB=CD，故①正确.∵AB=CD，∴AC=BD，故④正确.∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③正确.⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 知3－练感悟新知3-1.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，如果AB=CD，则可得出结论：_________________________________.(至少填写两个)OE＝OF，∠COD＝∠AOB(答案不唯一) 弧、弦、圆心角圆心角弦弧弦心距 24.1圆的有关性质第二十四章圆第4课时圆周角 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2圆周角圆周角定理的推论圆内接多边形 知1－讲感悟新知知识点圆周角11.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.特征：圆周角必须满足两个条件①顶点在圆上；②两边都与圆相交. 感悟新知知1－讲特别提醒圆心角与圆周角的区别与联系：名称关系圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系两边都与圆相交 感悟新知2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图24.1－33，∠ACB=∠AOB.特别警示：定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把同一条弧这个前提省略.知1－讲 知1－练感悟新知如图24.1-34，AB是⊙O的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A的度数.例1 知1－练感悟新知解：如图24.1-34，连接OC.∵BC=BD，∴∠BOC=∠BOD=50°.∴∠A=∠BOC=×50°=25°.解题秘方：连接OC，将求BC所对的圆周角转化为求BC所对的圆心角来解.⌒⌒ 知1－练感悟新知1-1.如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，连接OA，已知∠ABO=30°，则∠ACB的度数为()A.40°B.30°C.50°D.60°D 感悟新知知2－讲知识点圆周角定理的推论21.推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.2.推论2(1)半圆(直径)所对的圆周角是直角；(2)90°的圆周角所对的弦是直径. 感悟新知知2－讲3.“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知2－讲感悟新知特别提醒“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 感悟新知知2－练[中考·兰州]如图24.1-35，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=()A.70°B.60°C.50°D.40°例2 知2－练感悟新知答案：C解题秘方：紧扣圆周角定理的两个推论，找出要求的角与已知角之间的转化关系是解题关键.解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°.∴∠ACD+∠D=90°.∵∠ACD=40°，∴∠ADC=50°．∴∠B=50°． 知2－练感悟新知2-1.［中考·滨州］如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A=48°，∠APD=80°，则∠B的大小为()A．32°B．42°C．52°D．62°A 知2－练感悟新知如图24.1-36，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AC=AB.求证：BD=CD.例3 知2－练感悟新知证明：如图24.1-36，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解. 知2－练感悟新知3-1.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，D，连接ED，BE.(1)求证：DE=BD；(2)若BC=12，AB=10，求BE的长. 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知如图24.1-37，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE=BE，试判断△ABC的形状，并说明理由.例4解题秘方：紧扣“等弧所对的圆周角相等”进行判断. 知2－练感悟新知解：△ABC为等腰三角形.理由如下：如图24.1-37，连接AE.∵DE=BE，∴∠CAE=∠BAE.∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°.又∵AE=AE，∴△ABE≌△ACE(ASA).∴AB=AC.∴△ABC为等腰三角形.⌒⌒ 知2－练感悟新知4-1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB.试判断△ABC的形状，并给出证明. 知2－练感悟新知解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ADB＝∠CDB，∠ADB＝∠ACB，∠CDB＝∠CAB，∴∠ACB＝∠CAB.∴AB＝BC.∴△ABC是等腰直角三角形． 感悟新知知3－讲知识点圆内接多边形31.圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 感悟新知知3－讲2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 知3－讲感悟新知特别解读每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 知3－练感悟新知[中考·常德]如图24.1－38，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°例5解题秘方：将所求的角的度数转化为求圆内接四边形对角的度数. 知3－练感悟新知答案：D解：已知∠BOD=100°.∴∠BAD=∠BOD=×100°＝50°.又∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°.∴∠BCD=180°－∠BAD=180°－50°=130°. 知3－练感悟新知5-1.［中考·镇江］如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB，若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°A 圆周角定义定理圆周角直径所对的圆周角圆内接四边形的性质