第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径课件（人教版九上）

24.1.2垂直于弦的直径R·九年级上册 新课导入圆是轴对称图形吗？ (1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题. 推进新课什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？回顾知识点1圆的轴对称性 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探究 圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？O如何来证明圆是轴对称图形呢？ BOACDE是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.BOACDE圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 知识点2垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.⌒⌒⌒⌒BOACDE 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．知识要点垂径定理BOACDE 下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4OAEBDOCAEB AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理 推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． NOABMCD注意为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意个条件都可以推出其他个结论.注意两三 条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．垂径定理的推论 例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.则R2=18.52+(R-7.23)2解得：R≈27.3因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23 随堂演练基础巩固1.下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BDC.OD=DCD.AC=BC3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是，最短弦的长是.C106⌒⌒ 8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD. 课堂小结垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.