人教版八年级数学下册（第十七章 勾股定理）17.1勾股定理（学习、上课资料）

17.1勾股定理第17章勾股定理 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2勾股定理勾股定理的证明勾股定理的应用在数轴上作出表示(n为大于1的整数)的点 知识点勾股定理知1－讲感悟新知11.勾股定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.数学表达式：如图17.1-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则a2+b2=c2. 知1－讲感悟新知2.勾股定理的变形公式a2=c2－b2，b2=c2－a2.3.基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知1－讲感悟新知特别提醒●勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.●利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边. 感悟新知知1－练在Rt△ABC中,∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C=90°.(1)已知a=3，b=4,求c；(2)已知c=19，a=13，求b(结果保留根号)；(3)已知a∶b=1∶2，c=5，求b.例1解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答. 感悟新知知1－练解：(1)∵∠C=90°，a=3，b=4，∴由勾股定理，得c=(2)∵∠C=90°，c=19，a=13，∴由勾股定理，得b= 感悟新知知1－练(3)∵a∶b=1∶2，∴b=2a.∵∠C=90°，c=5，b=2a，∴由勾股定理，得a2+(2a)2=52，解得a=(负值舍去).∴b=2. 感悟新知知1－练1-1.Rt△ABC中，斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为()A.8B.4C.6D.10A 感悟新知知1－练解：设a＝3x，b＝4x(x>0)．由勾股定理得a2＋b2＝c2，则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15.所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.1-2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c.(1)若a∶b=3∶4，c=75，求a，b； 感悟新知知1－练(2)若c－a=4，b=16，求a，c. 感悟新知知1－练已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为_______.解题秘方：紧扣“所求第三边可能是斜边或直角边”进行分类解答.例2 感悟新知知1－练解：当第三边是斜边时，第三边长为当第三边是直角边时，第三边长为 感悟新知知1－练2-1.若直角三角形的三边长分别为2，4，x,则x的值可能有()A.1个B.2个C.3个D.4个B 知识点勾股定理的证明知2－讲感悟新知21.常用证法验证勾股定理的方法很多，有测量法，几何证明法；但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证. 知2－讲感悟新知2.著名证法举例特别提醒通过拼图证明命题的思路：1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3.利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的. 知2－讲感悟新知方法图形证明赵爽“赵爽弦图”因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c2.又大正方形的面积=4×ab+(b－a)2=a2+b2，所以a2+b2=c2 知2－讲感悟新知加菲尔德总统拼图设梯形的面积为S，则S=(a+b)(a+b)=a2+b2+ab.又S=ab+ab+c2=c2+ab，所以a2+b2=c2 知2－讲感悟新知毕达哥拉斯拼图由图①得大正方形的面积=c2+4×ab，由图②得大正方形的面积=a2+b2+4×ab，比较两式易得a2+b2=c2 感悟新知知2－练一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法.如图17.1-2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB=a，BC=b，AC=c.请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.例3 感悟新知知2－练解题秘方：紧扣“总面积等于各部分面积之和”进行验证. 感悟新知知2－练整个图形面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和. 感悟新知知2－练 感悟新知知2－练3-1.如图，写出字母所代表的正方形的面积：SA=__________，SB=__________.625144 知识点勾股定理的应用知3－讲感悟新知31.勾股定理的应用范围勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 知3－讲感悟新知2.勾股定理应用的常见类型(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 知3－讲感悟新知特别提醒运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象出几何图形;2.确定要求的线段所在的直角三角形;3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系;4.求得结果. 感悟新知知3－练如图17.1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D.求CD的长.例4解题秘方：紧扣“同一个直角三角形的面积的两种表示法”求解，即利用面积法解决问题. 感悟新知知3－练解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=∵CD⊥AB，∴S△ABC=AB·CD=AC·BC，即AB·CD=AC·BC.∴CD= 感悟新知知3－练4-1.如图，在△ABC中，EF∥AB，∠B＋∠1=90°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为()A.5B.6C.3D.4A 感悟新知知3－练如图17.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N.求证：AN2－BN2=AC2.例5解题秘方：将要证明的线段归结到不同的直角三角形中，结合等式的性质证明. 感悟新知知3－练证明：∵MN⊥AB，∴在Rt△AMN中，AN2+MN2=AM2；在Rt△BMN中，BN2+MN2=MB2.∴AM2－AN2=MB2－BN2，即AN2－BN2=AM2－MB2.在Rt△AMC中，∵∠C=90°，∴AM2－MC2=AC2.又∵AM是中线，∴MC=MB.∴AM2－MB2=AC2.∴AN2－BN2=AC2. 感悟新知知3－练5-1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2=BC2+AP2. 感悟新知知3－练证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2. 感悟新知知3－练一架长5m的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动()A.0mB.1mC.2mD.3m解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角三角形的问题求解.例6B 感悟新知知3－练解：根据题意，建立如图17.1-5所示的模型，BB1的长即为所求.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5m，BC=3m，∴AC==4(m).在Rt△A1B1C中，∠A1CB1=90°，A1C=AC－AA1=4－1=3(m)，A1B1=5m，∴B1C==4(m).∴BB1=B1C－BC=4－3=1(m). 感悟新知知3－练6-1.古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”.平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm(如图).请问：水深多少？ 感悟新知知3－练解：设水深CB＝xcm，则AC＝(x＋10)cm，即CD＝(x＋10)cm.在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2，解得x＝75.答：水深75cm. 知识点在数轴上作出表示(n为大于1的整数)的点知4－讲感悟新知41.用勾股定理画长为的线段利用勾股定理画出长为的线段的关键是找到两个整数a，b，使a2+b2=n.因此只要作出直角边长为a，b的直角三角形，斜边的长即为.例如，长为的线段就是直角边长为3，2的直角三角形的斜边. 2.在数轴上作出表示的点如图17.1-6，构造两条直角边长都是1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；知4－讲感悟新知 构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，….依此规律可以在数轴上作出表示，，，…的点.知4－讲感悟新知 知4－讲感悟新知特别解读在数轴上作出表示的点的步骤：第1步：利用勾股定理画出长为的线段；第2步：在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正半轴相交，交点即为所求作的点. 感悟新知知4－练在数轴上画出表示的点.解题秘方：紧扣长为的线段是两直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边“作图”.例7 感悟新知知4－练解：如图17.1-7所示.(1)画出数轴，数轴上要标明原点O、正方向、单位长度；(2)在数轴上找出表示3的点A，则OA=3.过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=1；(3)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点. 感悟新知知4－练7-1.如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()B 课堂小结勾股定理勾股定理直角三角形拼图法条件结论三边平方关系面积法验证应用几何应用实际应用