第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用课件（人教版八下）

第2课时勾股定理的应用 新课导入提问这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题. 学习目标1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题. 推进新课知识点1用勾股定理解决问题例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？已知条件有哪些？ 观察1.木板能横着或竖着从门框通过吗？2.这个门框能通过的最大长度是多少？不能3.怎样判定这块木板能否通过木框？求出斜边的长，与木板的宽比较. 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC=≈2.24．因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过． 例2如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ CODBA在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1. 练习1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）.解: 2.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点之间的距离.解:由图可知两点之间的距离为AB的长. 知识点2勾股定理的应用思考在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°根据勾股定理，得又AB=A′B′,AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）. 探究我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？分析：13开方就是，，如果一个三角形的斜边长为的话，问题就可迎刃而解了. 发现是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边长.23O123ABC 提问你能用语言叙述一下作图过程吗？在数轴上找到点A，使OA=3;作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点.123 下面都是利用勾股定理画出的美丽图形. 练习1.在数轴上作出表示的点.解：如图的数轴上找到点A，使OA=4,作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=1，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点. 2.如图，等边三角形的边长是6.求：（1）高AD的长；（2）这个三角形的面积.解：（1）AD⊥BC于D，则BD=CD=3.在Rt△ABD中，由勾股定理AD2=AB2-BD2=62-32=27，故AD=3≈5.2（2）S=·BC·AD=×6×3≈15.6 随堂演练基础巩固1.求出下列直角三角形中未知的边.AC=8AB=17 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为.153.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m，AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数). 4.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.解： 综合应用解：点A即为表示的点.5.在数轴上作出表示的点. 误区诊断在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为(　　)A.32B.42C.32或42D.以上都不对错解：A或B误区涉及三角形的高的问题时忽略分类讨论 错因分析：如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图②，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32.综上所述，△ABC的周长为32或42.故选C.正解：C 课堂小结勾股定理的应用化非直角三角形为直角三角形将实际问题转化为直角三角形模型 拓展延伸思考这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？ 解：设水深为h尺.由题意得：AC=3,BC=2,OC=h,由勾股定理得： 习题17.1复习巩固1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.（1）已知a=12,b=5，求c；（2）已知a=3,c=4，求b；（3）已知c=10,b=9，求a.c=13 2.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处.木杆折断之前有多高？解:如图，根据题意△ABC是直角三角形，其中AC=3m，BC=4m.∴AB2=AC2+BC2=32+42=52.∴AB=5，又AC+AB=8，所以木杆折断之前有8m高.ACB 3.如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7.AB的长是多少？解:圆锥的高AO，半径OB，母线AB构成直角三角形，在Rt△AOB中，由勾股定理:AB2=AO2+BO2=2.42+0.72=5.76+0.49=6.25，所以AB=2.5.所以AB的长为2.5. 4.已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）.解:由图:AC=40-21=19mm，BC=60-21=39mm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理:AB2=AC2+BC2=192+392=1882，AB≈43.4(mm)所以两孔中心的距离约为43.4mm. 5.如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆.求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）.解：由勾股定理：AB2=72-52=24，AB=2≈4.9（m）所以地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9m. 6.在数轴上作出表示的点.解：在如图的数轴上找到一点A，使OA=4，作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点. 综合应用7.在△ABC中，∠C=90°，AB=c.（1）如果∠A=30°，求BC，AC;（2）如果∠A=45°，求BC，AC;解:（1）BC=AB=c.由勾股定理：AC2=AB2-BC2=c2-c2=c2，所以AC=c； 7.在△ABC中，∠C=90°，AB=c.（2）如果∠A=45°，求BC，AC;解:（2）AC=BC.由勾股定理：AC2+BC2=AB2，即2AC2=c2，AC2=，所以AC=BC=c. 8.在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1，BC=2.8，求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB；（3）高CD.解：（1）S=×AC×BC=×2.1×2.8=2.94（2）由勾股定理：AB=CD=1.68 9.已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高l的长（结果取整数）.解：由图可以看出l的长是等腰三角形底边上的高.由勾股定理， 10.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？解：设水深为x尺，则这根芦苇的高为（x+1）尺，根据题意和勾股定理可列方程：x2+52=（x+1）2，解得x=12. 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2.求斜边AB的长.解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,∴AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，根据勾股定理：x2+22=(2x)2，解得x=，∴AB=. 12.有5个边长为1的正方形，排列形式如图.请把它们分割后拼接成一个大正方形.解：分割小正方形，如图（1），拼接大正方形，如图（2）. 拓广探索13.如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆.求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积. 证明：∵Rt△ACD为等腰三角形，设AC=CD=x，则AD=，故两个小半圆的半径为，半圆ACD的半径为.观察图形可知：S半圆AEC+S半圆CFD+S△ACD-S半圆ACD即为阴影部分面积，即，所以图中阴影部分面积等于Rt△ACD的面积. 14.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2=2AC2.（提示：连接BD.）证明：连接BD.∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，即∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB， ∴∠ECA=∠DCB，∵EC=DC，AC=BC，∠ECA=∠DCB，∴△AEC≌△BDC(SAS)∴AE=BD，∠BDC=∠E=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，根据勾股定理：AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，2AC2=AD2+BD2=AD2+AE2.