人教版八年级数学下册（第二十章数据的分析）20.1 数据的集中趋势（学习、上课资料）

20.1数据的集中趋势第20章数据的分析20.1.1平均数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平均数加权平均数用样本估计总体 知识点平均数知1－讲感悟新知11.定义一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作“x”，读作“x拔”，即x=(x1+x2+…+xn).__ 知1－讲感悟新知2.计算方法(1)定义法：求平均数，只要把所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可，即：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么x=(x1+x2+…+xn)；(2)新数据法：当所给的数据较大，且所给数据大部分都在某一常数a附近上、下波动时，可计算各数据与a的差：x1－a=x1′，x2－a=x2′，…，xn－a=xn′，则x=a+(x1′+x2′+…+xn′).__ 知1－讲感悟新知3.性质若x1，x2，…，xn的平均数为x,则：(1)nx1，nx2，…，nxn的平均数为nx；(2)x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为x+b；(3)nx1+b，nx2+b，…，nxn+b的平均数为nx+b.____ 知1－讲感悟新知特别提醒●一组数据的平均数是唯一的，它不一定是数据中的某个数据；●平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动. 感悟新知知1－练[中考·鞍山]一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为()A.1B.2C.3D.4例1B解：根据题意，得=3，解得x=2.解题秘方：紧扣“平均数的定义”求解. 感悟新知知1－练1-1.[中考·内江]某4S店今年1～5月新能源汽车的销量(辆)分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是()A.34B.33C.32.5D.311-2.[中考·凉山州]一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为()A.4B.5C.8D.10BB 知识点加权平均数知2－讲感悟新知21.定义(1)一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数. 知2－讲感悟新知特别提醒●权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大，反之越小.权的表现形式为：1.数据的个数；2.数据的百分比；3.数据的比例关系.●数据分组后，常用各组的组中值，即各组的两个端点的数的平均数代表各组的实际数据，这时“权”就是各组数据的频数. 知2－讲感悟新知(2)在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n)，那么这n个数的平均数x=也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权._ 知2－讲感悟新知2.算术平均数与加权平均数的联系与区别(1)联系：算术平均数实质上是加权平均数的一种特殊情况，即各项的权相等，算术平均数是加权平均数.(2)区别：加权平均数不一定是算术平均数，若一组数据较少，可用算术平均数描述这组数据的集中变化趋势；若一组数据中的某些数据重复出现或各个数据的重要程度不同时，可用加权平均数描述这组数据的集中变化趋势. 感悟新知知2－练[中考·大连]在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为()A.3.5元B.6元C.6.5元D.7元例2C金额/元56710人数2321人数就“权”. 知2－讲感悟新知解：x==6.5(元).解题秘方：根据“定义(2)的公式”进行计算._ 感悟新知知2－练2-1.为了解乡镇企业的水资源的利用情况，市水利管理部门抽查了部分乡镇企业在一个月中的用水情况，其中用水15吨的有3家，用水20吨的有5家，用水30吨的有7家，那么平均每家企业一个月用水()A.23.7吨B.21.6吨C.20吨D.5.416吨A 感悟新知知2－练某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录.甲、乙、丙三个小组各方面得分如下表：例3 感悟新知知2－练小组研究报告小组展示答辩甲918078乙817485丙798390解题秘方：根据算术平均数与加权平均数的公式进行计算，然后比较大小. 感悟新知知2－练(1)计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；解：x甲=×(91+80+78)=×249=83；x乙=×(81+74+85)=×240=80；x丙=×(79+83+90)=×252=84.∵84>83>80，∴从高分到低分小组的排名顺序为丙、甲、乙.___ 知2－讲感悟新知(2)如果按照研究报告占40%、小组展示占30%、答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？百分比是权的一种形式.解：甲小组的成绩是=83.8；乙小组的成绩是=80.1；丙小组的成绩是=83.5.由以上数据可知，甲小组的成绩最高. 感悟新知知2－练3-1.学校广播站要招聘一名播音员，考察形象、知识面、普通话三个项目，按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩.李文和孔明两名同学的各项成绩如下表：项目选手形象知识面普通话李文708088孔明8075x 感悟新知知2－练(1)计算李文同学的总成绩；解：李文同学的总成绩为70×10%＋80×40%＋88×50%＝83. 感悟新知知2－练(2)若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过多少？解：孔明同学的总成绩为80×10%＋75×40%＋50%·x.根据题意，得80×10%＋75×40%＋50%·x>83，解得x>90.答：若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过90. 感悟新知知2－练为了了解某县八年级女生的身高情况，在该县某校八年级女生中随机抽测了200名女生的身高，统计数据如下表及频数分布直方图(如图20.1-1).例4 感悟新知知2－练解题秘方：紧扣统计表和统计图中的信息，利用组中值和频数求加权平均数是解题的关键.组别身高x/cm频数第一组135≤x＜14550第二组145≤x＜155P第三组155≤x＜16570第四组165≤x＜175Q 知2－讲感悟新知请你结合所给信息，回答下列问题：(1)表中的P=________，Q=________；解：由频数分布直方图可以看出：P=60，则Q=200－50－60－70=20.6020 知2－讲感悟新知(2)请把如图20.1-1所示的频数分布直方图补充完整；解：如图20.1-2所示. 知2－讲感悟新知(3)这200名女生的平均身高大约为________.解：求出每组的组中值分别为140，150，160，170，用每组的组中值近似地作为该组内女生的平均身高.=153(cm)，因此这200名女生的平均身高大约为153cm．153cm 感悟新知知2－练4-1.某中学为了了解本校学生的身体发育情况，抽测了同年龄的40名女学生的身高情况，统计人员将上述数据整理后，列出了如下频数分布表： 感悟新知知2－练身高x/cm频数144.5<x≤149.52149.5<x≤154.5A154.5<x≤159.514159.5<x≤164.512164.5<x≤169.56合计40 感悟新知知2－练根据以上信息回答下列问题：(1)频数分布表中的A=________；(2)这40名女学生的平均身高是_______cm(精确到0.1cm).6158.8 知识点用样本估计总体知3－讲感悟新知31.用样本估计总体当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数. 知3－讲感悟新知2.选取样本的方法(1)用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计越准确，相应的工作量及破坏性也越大，因此样本容量的确定，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性及付出的代价；(2)抽取的样本要具有一般性和代表性，这样有利于推测全貌、估计总体，作出决策，解决有关问题. 知3－讲感悟新知特别提醒用样本估计总体的两种类型：1.用样本平均数估计总体平均数；2.用样本的总量估计总体的总量. 感悟新知知3－练某校为了了解八年级学生某次体育测试的成绩，现对该年级学生这次体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下表及扇形统计图(如图20.1-3)，其中扇形统计图中C组所在的扇形圆心角为36°.例5 感悟新知知3－练被抽取学生的体育测试成绩频数分布表组别成绩x/分频数A20≤x＜242B24≤x＜283C28≤x＜325D32≤x＜36bE36≤x＜4020合计a 感悟新知知3－练解题秘方：用求“加权平均数法”求出样本平均数，并由样本平均数估计出总体平均数. 感悟新知知3－练根据以上图表提供的信息，回答下列问题：(1)计算频数分布表中a与b的值；解：a=5÷=50，b=50－(2+3+5+20)=20. 感悟新知知3－练(2)根据C组28≤x＜32的组中值为30，估计C组中所有数据的和为________；150 感悟新知知3－练(3)请估计该校八年级学生这次体育测试的平均成绩(结果取整数).解：x=(22×2+26×3+30×5+34×20+38×20)÷50≈34，即样本平均数约为34.因此，估计该校八年级学生这次体育测试的平均成绩为34分._ 感悟新知知3－练5-1.为了宣传节约用水，小明随机调查了某小区家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图所示的统计图. 感悟新知知3－练(1)小明一共调查了多少户家庭？解：由统计图得1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1＝20(户)，即小明一共调查了20户家庭． 感悟新知知3－练(2)求所调查家庭5月份用水量的平均数. 感悟新知知3－练(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量.解：估计这个小区5月份的用水量是4.5×400＝1800(吨)． 课堂小结平均数平均数加权平均数定义求法权的形式百分比频数比例算术平均数定义性质求法定义法新数据法 20.1数据的集中趋势第20章数据的分析20.1.2中位数和众数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2中位数众数平均数、中位数和众数的关系 知识点中位数知1－讲感悟新知11.定义将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数. 知1－讲感悟新知2.求中位数的方法(如图20.1-5) 知1－讲感悟新知特别解读●一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数.●中位数是刻画一组数据的“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势. 感悟新知知1－练[中考·杭州]已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图(如图20.1-6)，则这六个整点时气温的中位数是_____________．例115.6 感悟新知知1－练解：把这些数据从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，∵这组数据有6个，∴最中间的两个数的平均数是(15.3+15.9)÷2=15.6.∴这六个整点时气温的中位数是15.6.解题秘方：紧扣“中位数的定义”解答. 感悟新知知1－练1-1.[中考·株洲]某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为()A.63B.65C.66D.69B 知识点众数知2－讲感悟新知21.定义一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.特别提醒●一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或几个，也可能没有.●众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数. 知2－讲感悟新知说明：(1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中；(2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据. 知2－讲感悟新知2.确定众数的方法(1)排列：将数据按照大小顺序排列；(2)确定众数：先数出这组数据中各数据出现的次数,再找出这组数据中出现次数最多的数据.在一组数据中，当出现次数最多的数据只有一个时，这个数据就是众数；当出现次数最多的数据不止一个时，这几个数据就是众数；当每个数据出现的次数相同时，这组数据没有众数. 感悟新知知2－练下表是某学习小组一次数学测验的成绩(百分制)统计表：已知该小组本次数学测验的平均成绩是85，则测验成绩的众数是()A.80B.85C.90D.80和90例2D成绩708090100人数13x1 感悟新知知2－练解题秘方：紧扣“众数的定义”解答. 知2－讲感悟新知解：由平均数的定义可列如下方程：70×1+80×3+90x+100×1=85(1+3+x+1)，即410+90x=425+85x，解得x=3.从而可知这组数据中80和90出现的次数最多，都是3次.故测验成绩的众数有两个，是80和90. 感悟新知知2－练2-1.[中考·湖州]统计一名射击运动员在某次训练中10次射击的中靶环数，获得如下数据：7，8，10，9，9，8，10，9，9，10．这组数据的众数是()A.7B.8C.9D.10C 感悟新知知2－练2-2.如图是根据某班40名学生一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名学生一周参加体育锻炼时间的众数是()A.8B.9C.14D.16A 知识点平均数、中位数和众数的关系知3－讲感悟新知3平均数、中位数和众数的联系与区别 知3－讲感悟新知类别区别联系优点缺点平均数平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中较为常用，可用样本的平均数估计总体的平均数在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的影响平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据的“一般水平”中位数中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述集中趋势不能充分地利用各数据的信息众数众数考察的是各数据所出现的次数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题的实质当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义 知3－讲感悟新知特别提醒●它们从不同的角度反映数据的集中趋势，在实际应用中，需要依具体情况选择适当的量来分析数据，避免仅从一个方面考虑，就轻易下结论.●特殊情况下，平均数、中位数和众数可能是同一个数据. 感悟新知知3－练某中学篮球队有10名队员，在一次投篮训练中，这10名队员各投篮50次的进球情况如下表：根据上面的信息，请解答下列问题：例3进球数4232262019181514人数11112121解题秘方：紧扣“平均数需计算，中位数、众数需排序查找”，并结合“三数”的特点进行解答. 感悟新知知3－练(1)求这10名队员进球数的平均数、中位数和众数；解：平均数：×(42+32+26+20+19×2+18+15×2+14)=22；中位数：19；众数：15，19. 感悟新知知3－练(2)求这支球队整体的投篮命中率投篮命中率.解：投篮命中率为×100%=44%. 感悟新知知3－练3-1.[中考·南充]为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数)，将样本数据绘制成统计图(如图)，其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是()A.平均数B.中位数C.众数D.方差B 课堂小结中位数和众数中位数用排序法确定众数用公式求平均数数据的集中趋势