人教版八年级数学上册（第十一章 三角形）11.3 多边形及其内角和（学习、上课资料）

11.3多边形及其内角和第十一章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2多边形及其相关概念多边形的内角和多边形的外角和 知识点多边形及其相关概念知1－讲11.多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 知1－讲2.相关概念(1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.(2)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.(3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 知1－讲3.凸多边形画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形.本节只讨论凸多边形. 知1－讲4.正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.特别解读正多边形必备的两个条件：(1)各个角都相等；(2)各条边都相等.说明:若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形. 知1－讲特别解读多边形的三个必要条件：1.线段在“同一平面内”；2.线段“不在同一直线上”且条数不少于3；3.首尾顺次相接. 知1－练例1下列说法中，正确的有()①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角；④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.A.1个B.2个C.3个D.4个 知1－练解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析.答案：B解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，不正确；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和2n个外角，不正确；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，正确. 知1－练知识归纳：从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形一共有条对角线. 知1－练1-1.如图，下列标注的角中是五边形ABCDE的外角的是()A.∠1B.∠2C.∠3D.∠4C 知1－练1-2.从一个多边形的一个顶点可引2022条对角线，则这个多边形的边数是()A.2022B.2023C.2024D.2025D 知2－讲知识点多边形的内角和21.定理n边形内角和等于(n－2)×180°(n≥3).2.多边形内角和公式的常见应用(1)已知多边形的边数，求内角和；(2)已知多边形的内角和，求边数；(3)求正n边形每个内角的度数，其公式为；(4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数. 知2－讲特别解读1.由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°. 知2－练如图11.3-1，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数.例2解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数. 知2－练解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝∠D＝＝108°.∵AC∥DE，∴∠ACD＋∠D＝180°.∴∠ACD＝180°－108°＝72°.∴∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝108°－72°＝36°. 知2－练2-1.[中考·邵阳]如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是_______.40° 知2－练根据下列条件求多边形的边数：(1)多边形的内角和是1620°；(2)正多边形的每个内角均为120°.解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解.例3 知2－练解：设多边形的边数为n，根据题意得：(1)(n－2)·180＝1620，解得n＝11.故多边形的边数为11.(2)(n－2)·180＝120n，解得n＝6.故正多边形的边数为6.已知内角和，设出边数n，利用内角和公式列出方程求边数n 知2－练3-1.已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由. 知2－练解：甲的说法对，乙的说法不对．∵n边形的内角和为180°的正整数倍，360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲的说法对，乙的说法不对．360°÷180°＋2＝2＋2＝4，∴甲同学说的边数n是4. 知2－练(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法求出x的值.解：依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°.解得x＝2. 知3－讲知识点多边形的外角和31.定理多边形的外角和等于360°.多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°.特别解读1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. 知3－讲2.常见应用(1)已知外角度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为. 知3－练根据下列条件解决问题：(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.例4解题秘方：根据多边形的外角和定理计算. 知3－练解：设该多边形的边数为n.根据多边形的外角和为360°，得n×72°＝360°，解得n＝5．∴该多边形的边数为5.(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数； 知3－练解：∵多边形的外角和为360°，∴360°÷30°=12.故这个正多边形的边数为12.(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数. 知3－练4-1.[中考·河北]如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是()A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.无法比较α与β的大小A 多边形及其内角和多边形内角定义正多边内角和对角线外角外角和