人教版八年级数学上册（第十四章 整式的乘法与因式分解）14.1 整式的乘法（学习、上课资料）

14.1整式的乘法第十四章整式的乘法与因式分解14.1(一)幂的运算 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方 知识点同底数幂的乘法知1－讲11.同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：用字母表示为am·an＝am＋n(m，n都是正整数).特别解读1.运用此法则要注意两点：一是底数相同；二是指数相加.2.单个字母或数可以看成指数为1的幂，运算时易漏掉. 知1－讲2.法则的拓展运用(1)同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即：am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p(m，n，…，p都是正整数).(2)同底数幂的乘法法则也可以逆用，即：am＋n＝am·an(m，n都是正整数). 知1－练例1计算：(1)108×102；(2)x7·x；(3)an＋2·an－1；(4)－x2·(－x)8；(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)；(6)(x－y)3·(y－x)4.解题秘方：紧扣同底数幂的乘法法则的特征进行计算 (1)108×102；(2)x7·x；(3)an＋2·an－1；知1－练解：108×102＝108＋2＝1010；x7·x＝x7＋1＝x8；an＋2·an－1＝an＋2＋n－1＝a2n＋1； (4)－x2·(－x)8；(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)；(6)(x－y)3·(y－x)4.知1－练解：－x2·(－x)8＝－x2·x8＝－x10；(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)＝(x＋3y)3＋2＋1＝(x＋3y)6；(x－y)3·(y－x)4＝(x－y)3·(x－y)4＝(x－y)7. 知1－练特别提醒：运用同底数幂的乘法法则计算时应注意以下几点：1.底数既可以是单项式也可以是多项式，当底数是多项式时，应将多项式看成一个整体进行计算.2.当底数互为相反数时，先结合指数的奇偶性化成相同的底数，再按法则计算. 知1－练1-1.下列计算正确的是()A.y2·y3＝y6B.a3·a3＝2a3C.m5＋m5＝m10D.x7·x＝x8D 知1－练1-2.计算：(1)10×104×108＝_________；(2)(－m)·m·(－m)2＝_________.1013－m4 知1－练(1)若am＝2，an＝8，求am＋n的值；(2)已知2x＝3，求2x＋3的值.解题秘方：逆用同底数幂的乘法法则，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数).例2解：∵am＝2，an＝8，∴am＋n＝am·an＝2×8=16；∵2x＝3，∴2x＋3＝2x·23＝3×8＝24. 知1－练2-1.[中考·包头]若24×22＝2m，则m的值为()A.8B.6C.5D.2B 知1－练2-2.已知am＝4，an＝5，则am＋n＝________.20 知2－讲知识点幂的乘方21.幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘.即：用字母表示为(am)n＝amn(m，n都是正整数).2.法则的拓展运用(1)幂的乘方运算法则的推广：[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)；(2)幂的乘方法则也可以逆用，逆用时amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数). 知2－讲特别解读1.“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘.2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知2－练计算：(1)[(－x)3]4；(2)[(x－2y)3]4；(3)(－a2)3；(4)x2·x4＋(x2)3.解题秘方：紧扣幂的乘方法则的特征进行计算.例3 (1)[(－x)3]4；(2)[(x－2y)3]4；(3)(－a2)3；知2－练解：[(－x)3]4＝(－x)3×4＝(－x)12＝x12；[(x－2y)3]4＝(x－2y)3×4＝(x－2y)12；(－a2)3＝－a2×3＝－a6； 知2－练解：x2·x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6.(4)x2·x4＋(x2)3.当出现混合运算时，先算乘方，再算乘法，最后算加法. 知2－练3-1.下列式子正确的是()A.a2·a2＝(2a)2B.(a3)2＝a9C.a12＝(a5)7D.(a8)2＝(a2)8D 知2－练3-2.x18不能写成()A.(x2)16B.(x2)9C.(x3)6D.x9·x9A 知2－练已知a2n＝3，求a4n－a6n的值.解题秘方：此题已知a2n＝3，需逆用幂的乘方法则把a4n－a6n用a2n表示，再把a2n＝3整体代入求值.例4解：a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3＝32－33＝9－27＝－18. 知2－练4-1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n.解：103m＝(10m)3＝33＝27；102n＝(10n)2＝22＝4；103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108. 知3－讲知识点积的乘方31.积的乘方法则积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即：用字母表示为(ab)n＝anbn(n为正整数). 知3－讲特别提醒1.积的乘方的前提是底数是乘积的形式，每个因数(式)可以是单项式，也可以是多项式.2.在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项.3.积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用. 知3－讲知识点2.法则的拓展运用(1)积的乘方法则的推广：(abc)n＝anbncn(n为正整数)；(2)积的乘方法则也可以逆用，逆用时anbn＝(ab)n(n为正整数). 知3－练计算：(1)(x·y3)2；(2)(－3×102)3；(3)；(4)(－a2b3)3.例5解题秘方：运用积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算. (1)(x·y3)2；(2)(－3×102)3；(3)；知3－练解：(x·y3)2＝x2·(y3)2＝x2y6；(－3×102)3＝(－3)3×(102)3＝－27×106＝－2.7×107；＝＝·(a6)2＝a12； (4)(－a2b3)3.知3－练解：(－a2b3)3＝(－1)3·(a2)3·(b3)3＝－a6b9.系数乘方时，要带前面的符号，特别是系数为－1时，不要漏掉. 知3－练5-1.计算：(1)(2ab)3；(2)；(3)(xmyn)2；(4)(－3×102)4.解：原式＝8a3b3；原式＝x2my2n原式＝8.1×109. 知3－练计算：(1)(2×102)3×(－103)4；(2)［(a2)3＋(2a3)2］2；(3)(－2a)6－(－3a3)2＋［－(2a)2］3.解题秘方：在幂的混合运算中，先计算积的乘方，再计算幂的乘方，同底数幂的乘法，最后计算加减法.例6 (1)(2×102)3×(－103)4；(2)［(a2)3＋(2a3)2］2；(3)(－2a)6－(－3a3)2＋［－(2a)2］3.知3－练解：(2×102)3×(－103)4＝8×106×1012＝8×1018；［(a2)3＋(2a3)2］2＝(a6＋4a6)2＝(5a6)2＝25a12；(－2a)6－(－3a3)2＋［－(2a)2］3＝64a6－9a6－64a6＝－9a6. 知3－练6-1.计算：(1)(－2anb3n)2＋(a2b6)n；(2)(－3x3)2－(－x2)3＋(－2x)2－(－x)3.解：原式＝4a2nb6n＋a2nb6n＝5a2nb6n.原式＝9x6－(－x6)＋4x2－(－x3)＝9x6＋x6＋4x2＋x3＝10x6＋x3＋4x2. 幂的运算幂的运算关键点同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方底数与指数的变化 14.1整式的乘法第十四章整式的乘法与因式分解14.1(二)整式的乘除法 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘同底数幂的除法零指数幂单项式除以单项式多项式除以单项式 知识点单项式与单项式相乘知1－讲11.单项式乘单项式法则一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 知1－讲2.单项式与单项式相乘的步骤(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 知1－讲特别提醒1.单项式与单项式相乘的结果仍为单项式.2.单项式乘单项式法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 知1－练例1计算：(1)4xy2·；(2)5x··(－2.25axy)·(－3x2y2)；(3)5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2.解题秘方：紧扣单项式乘单项式的法则，并按步骤进行计算. (1)4xy2·；(2)5x··(－2.25axy)·(－3x2y2)；知1－练解：4xy2·＝·x1＋2y2＋1z＝－2x3y3z；5x··(－2.25axy)·(－3x2y2)＝a1＋1x1＋1＋1＋2y1＋2＝a2x5y3； (3)5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2.知1－练解：5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2=5a3b·9b2＋36a2b2·(－ab)－ab3·16a2=45a3b3－36a3b3－16a3b3=－7a3b3. 知1－练1-1.若(2x3y2)·(－3xmy3)·(5x2yn)＝－30x7y6，则m＋n＝_______.3 知1－练1-2.计算：(1)(－3x2y)2··xz2；(2)(－4ab3)·－. 知2－讲知识点单项式与多项式相乘21.单项式乘多项式法则一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即：用字母表示为m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 知2－讲2.单项式与多项式相乘的几何解释如图14.1-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa＋pb＋pc.所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 知2－讲警示误区1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.2.单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘. 知2－练计算：(1)(－3x)(－2x2＋1)；(2)(3xy2－6xy－1)·xy.例2解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算. (1)(－3x)(－2x2＋1)；(2)(3xy2－6xy－1)·xy.知2－练解：(－3x)(－2x2＋1)＝(－3x)·(－2x2)＋(－3x)·1＝6x3－3x；(3xy2－6xy－1)·xy＝3xy2·xy＋(－6xy)·xy＋(－1)·xy＝x2y3－2x2y2－xy. 知2－练2-1.计算：. 知2－练2-2.计算：3ab(a2b－ab2－ab)－ab2(2a2－3ab＋2a).解：原式＝3a3b2－3a2b3－3a2b2－2a3b2＋3a2b3－2a2b2＝a3b2－5a2b2. 知3－讲知识点多项式与多项式相乘31.多项式乘多项式法则一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即：用字母表示为(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn. 知3－讲2.多项式与多项式相乘的几何解释如图14.1-2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋bp＋bq.所以(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 知3－讲特别解读1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式乘积的和的形式.2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积. 知3－练计算：(1)(x－4)(x＋1)；(2)(3x＋2)(2x－3)；(3)(x＋2)(x2－2x+4).例3解题秘方：紧扣多项式乘多项式法则，用“箭头法”进行计算. (1)(x－4)(x＋1)；(2)(3x＋2)(2x－3)；知3－练解：(x－4)(x＋1)＝x2＋x－4x－4＝x2－3x－4；(3x＋2)(2x－3)＝3x·2x＋3x×(－3)＋2×2x＋2×(－3)＝6x2－9x＋4x－6＝6x2－5x－6；此处切忌犯如下错误:(3x＋2)(2x－3)=3x·2x＋2×(－3)=6x2－6 知3－练(3)(x＋2)(x2－2x+4).解：(x＋2)(x2－2x+4)＝x·x2＋x·(－2x)＋x×4＋2·x2＋2×(－2x)＋2×4＝x3－2x2＋4x＋2x2－4x＋8＝x3＋8. 知3－练3-1.下列多项式相乘的结果为x2＋3x－18的是()A.(x－2)(x＋9)B.(x＋2)(x－9)C.(x＋3)(x－6)D.(x－3)(x＋6)D 知3－练3-2.已知(x＋1)(x－3)＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别是()A.a＝2，b＝3B.a＝－2，b＝－3C.a＝－2，b＝3D.a＝2，b＝－3B 知3－练3-3.计算：(1)(x＋1)(x＋4)；(2)(m－2)(m＋1)；解：原式＝x2＋4x＋x＋4＝x2＋5x＋4；原式＝m2＋m－2m－2＝m2－m－2； 知3－练(3)(t－3)(t＋3)；(4)(y－4)2.解：原式＝t2＋3t－3t－9＝t2－9；原式＝(y－4)(y－4)＝y2－4y－4y＋16＝y2－8y＋16. 知4－讲知识点同底数幂的除法41.同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减.即：用字母表示为am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n). 知4－讲2.法则的拓展运用(1)法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即am÷an÷ap＝am－n－p(a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n＋p)；(2)同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时am－n＝am÷an(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n). 知4－讲特别解读1.运用此法则要注意两点：一是底数相同，二是指数相减.2.底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. 知4－练计算：(1)(－x)8÷(－x)4；(2)(x－y)7÷(y－x)5.例4解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减.解：(－x)8÷(－x)4＝(－x)8－4＝(－x)4＝x4；(x－y)7÷(y－x)5＝(x－y)7÷［－(x－y)5］＝－(x－y)7－5＝－(x－y)2. 知4－练4-1.[中考·玉林]下列计算结果为a6的是()A.a7－aB.a2·a3C.a8÷a2D.(a4)2C 知4－练4-2.计算：(1)(－a)6÷(－a)2；(2)x13÷x2÷x5；(3)(x－y)5÷(y－x)2.解：原式＝(－a)4＝a4；原式＝x6；原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)3. 知4－练已知xm＝9，xn＝27，求x3m－2n的值.解题秘方：逆用同底数幂的除法法则，即am－n＝am÷an(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)，进行变形求值.解：x3m－2n＝x3m÷x2n＝(xm)3÷(xn)2＝93÷272＝1.例593÷272＝(32)3÷(33)2＝36÷36＝1 知4－练5-1.若ax＝5，ay＝3，则ax－y＝________. 知4－练5-2.已知2x＝3，4y＝5，求23x－4y的值. 知5－讲知识点零指数幂51.零指数幂同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am,根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am－m＝a0，故a0＝1.2.零指数幂的性质任何不等于0的数的0次幂都等于1.即：用字母表示为a0＝1(a≠0). 知5－讲特别解读1.零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况.2.指数为0，但底数不能为0. 已知式子(2x－6)0＋有意义，则x的取值范围是()A.x≠－3B.x≥1且x≠3C.x＞1且x≠3D.x≠3知5－练例6解题秘方：根据零指数幂及算术平方根的意义确定x的取值范围. 知5－练解：根据零指数幂有意义的条件，可得2x－6≠0，则x≠3.由有意义，可得x－1≥0，即x≥1.故x的取值范围是x≥1且x≠3.答案：B 知5－练6-1.若(a－2)0＝1，则a的取值范围是()A.a>2B.a＝2C.a<2D.a≠2D 知5－练6-2.已知(x－5)x＝1，则整数x的值可能为_________.0，4，6 计算：|－3|＋(－1)0.知5－练解题秘方：负数的绝对值是它的相反数，任何不为0的数的0次幂都等于1.例7解：|－3|＋(－1)0＝3＋1＝4. 知5－练7-1.[中考·淄博]计算|－8|－的值是()A.－7B.7C.7D.9B 知6－讲知识点单项式除以单项式61.单项式除以单项式法则一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 知6－讲2.步骤(1)把系数相除，所得的结果作为商的系数；(2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 知6－讲特别解读1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除.2.单项式除以单项式的结果还是单项式.3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果. 计算：(1)－3a7b4c÷9a4b2；(2)4a3m+1b÷(－8a2m+1)；(3)(6.4×105)÷(2×102).知6－练例8解题秘方：根据单项式除以单项式法则解答. (1)－3a7b4c÷9a4b2；(2)4a3m+1b÷(－8a2m+1)；(3)(6.4×105)÷(2×102).知6－练解:原式＝［(－3)÷9］a7－4b4－2c＝－a3b2c；原式＝［4÷(－8)］a(3m＋1)－(2m＋1)b＝－amb；原式＝(6.4÷2)×(105÷102)＝3.2×103. 知6－练8-1.计算：÷÷(－10ab). 知7－讲知识点多项式除以单项式71.多项式除以单项式法则一般地，多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.用字母表示为(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b.2.步骤(1)用多项式的每一项除以单项式；(2)把每一项除得的商相加. 知7－讲特别解读1.多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式.2.商的项数与多项式的项数相同.3.用多项式的每一项除以单项式时，要包括每一项的符号. 计算：(1)(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)；(2)÷ab3.知7－练解题秘方：先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.例9 (1)(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)；(2)÷ab3.知7－练解：(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)＝8a3÷(－2a)＋(－2a2)÷(－2a)＋6a÷(－2a)＝－4a2＋a－3；÷ab3＝a5b8÷ab3－2a2b6÷ab3＝2a4b5－6ab3. 知7－练特别警示：多项式除以单项式时应注意：多项式里的每一项与单项式相除时，要逐项相除，不能漏项，并且要注意符号的变化. 知7－练9-1.如果(4a2b－3ab2)÷M＝－4a＋3b，那么单项式M为()A.abB.－abC.aD.－bB 知7－练9-2.计算：(1)(12a3－6a2)÷(－2a)；(2)(4x3y－6x2y2)÷2xy；(3)(x5y3－2x4y3＋3x2y)÷x2y；(4)÷(－2b).解：原式＝－6a2＋3a；原式＝2x2－3xy；原式＝x3y2－2x2y2＋3； 整式的乘除法整式的乘除法整式的乘法单项式与多项式多项式与多项式单项式与单项式整式的除法同底数幂的除法零指数幂