备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第5讲椭圆

第5讲椭圆1.[2024广西模拟]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝（　C　）A.4B.8C.4或8D.12解析　当椭圆的焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，且10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，且m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.2.[2023成都模拟]设F为椭圆C：x24＋y23＝1的右焦点，点A（2，0），点B在C上，若｜BF｜＝2｜AF｜，则｜AB｜＝（　C　）A.5B.25C.7D.27解析　由题意可知，a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，所以F（1，0），｜AF｜＝1，所以｜BF｜＝2｜AF｜＝2.设F1为左焦点，则｜BF1｜＋｜BF｜＝4，得｜BF1｜＝2，故B为椭圆C短轴的端点，所以B（0，±3），所以｜AB｜＝22＋（±3）2＝7.故选C.3.[2024陕西检测]已知两定点F1（－1，0），F2（1，0）和一动点P，若｜F1F2｜是｜PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则动点P的轨迹方程为（　B　）A.x216＋y29＝1B.x24＋y23＝1C.x216－y29＝1D.y24＋x23＝1解析　由题意得｜F1F2｜＝2，∵｜F1F2｜是｜PF1｜与｜PF2｜的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，且｜PF1｜＋｜PF2｜＞2，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上.易知a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆的方程是x24＋y23＝1.故选B.4.[2024广东七校联考]已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　B　）A.（0，12）B.（0，22）C.（12，22）D.（22，1）解析　因为MF1·MF2＝0，所以点M在以原点为圆心，c为半径的圆上，且该圆在椭圆内部，所以c＜b，所以c2＜b2＝a2－c2，则c2＜12a2，所以0＜e＜22，故选B.5.[2024江西名校模拟]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆上的两点P，Q关于原点对称，若｜PF｜＋｜QF｜＝6，且椭圆C的离心率为13，则椭圆C的方程为（　A　）A.x29＋y28＝1B.x23＋y22＝1C.x26＋y24＝1D.x29＋y23＝1 解析　由椭圆的定义及椭圆的对称性可得｜PF｜＋｜QF｜＝2a＝6，所以a＝3.由椭圆C的离心率为13，得a2－b2a＝13，所以b2＝8，故椭圆C的方程为x29＋y28＝1，故选A.6.[2023南京学情调研]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为（　A　）A.55B.12C.33D.22解析　由题意，知A（－a，0），B（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），所以kAB＝ba.因为AB∥PF1，所以kPF1＝kAB＝ba.将x＝c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中，解得y＝±b2a.易知点P位于第一象限，所以P（c，b2a），所以kPF1＝b22ac，所以b22ac＝ba，即b＝2c，两边平方，得b2＝4c2.又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝ca＝55，故选A.7.[2024四川德阳检测]已知点P为椭圆C：x29＋y25＝1上一点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，若｜PF1｜＝2｜PF2｜，则△PF1F2的内切圆半径为（　B　）A.1510B.155C.2155D.15解析　因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，且｜PF1｜＝2｜PF2｜，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，c2＝9－5＝4，｜F1F2｜＝2c＝4，所以｜PF1｜＝｜F1F2｜，则等腰三角形PF1F2底边PF2上的高h＝42－12＝15，所以S△PF1F2＝12×2×15＝15.设△PF1F2的内切圆半径为r，则12×PF1+PF2+F1F2×r=12×10×r=15，所以r＝155，故选B.8.[多选/2023福州5月质检]已知椭圆C：px2＋qy2＝r，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（　BC　）A.C的长轴长为2B.C的焦距为22C.C的离心率为22D.C与圆（x－3）2＋y2＝1有2个公共点解析　∵p，q，r依次成公比为2的等比数列，∴q＝2p，r＝4p，p≠0，∴px2＋qy2＝r可化为x2＋2y2＝4，即x24＋y22＝1，a＝2，b＝2，c＝2.选项A，椭圆C的长轴长为2a＝4，A错误；选项B，椭圆C的焦距为2c＝22，B正确；选项C，椭圆C的离心率为22，C正确；选项D，由x2+2y2=4，（x－3）2＋y2=1，得x＝2，y＝0，∴椭圆C与圆（x－3）2＋y2＝1只有一个公共点，故D错误.综上，选BC. 9.[2023广东省部分学校联考]我们通常称离心率为5－12的椭圆为“黄金椭圆”.请写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”C的标准方程：　x24＋y225－2＝1（答案不唯一）　.解析　由题可设C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），令a＝2，由题可知离心率e＝ca＝5－12，所以c＝5－1，b2＝a2－c2＝4－（5－1）2＝25－2，所以“黄金椭圆”C的标准方程可以为x24＋y225－2＝1.10.[2021全国卷甲]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为　8　.解析　因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，所以四边形PF1QF2为矩形.解法一　设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝｜F1F2｜2＝48，所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn＝64，可得mn＝8，即四边形PF1QF2的面积等于8.解法二　令∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积为b2tanθ2＝4tan90°2＝4，所以四边形PF1QF2的面积等于8.11.[2023石家庄市二检]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若PF1⊥PF2，且｜PF2｜｜PQ｜＝512，则椭圆C的离心率为　53　.解析　依题意，设｜PF2｜＝5t（t＞0），则｜PQ｜＝12t.如图，连接F2Q，在Rt△PF2Q中，根据勾股定理可得｜F2Q｜＝13t.因为PF1+PF2=2a,所以｜PF1｜＝2a－5t，所以QF1=12t-2a-5t=17t-2a.因为｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a，所以｜QF1｜＝2a－13t，所以17t－2a＝2a－13t，即2a＝15t，则｜PF1｜＝43a，｜PF2｜＝23a.在Rt△PF2F1中，43a2+（23a）2＝4c2，解得c2a2＝59，所以ca＝53，即椭圆C的离心率为53.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长与短轴长的比是2∶3.（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（0，23），点P是椭圆C上任意一点，求｜MP｜的最大值.解析　（1）设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），由题意得a2＝b2＋c2，c=2，2a∶2b=2∶3，可得a2＝16，b2＝12，所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1. （2）设P（x0，y0），则x0216＋y0212＝1，即x02＝16－43y02，所以｜MP｜2＝x02＋（y0－23）2＝（16－43y02）＋y02－43y0＋12＝－13（y0+63）2＋64，y0∈[－23，23].因为y＝－13（x+63）2＋64（x∈R）的图象的对称轴方程为x＝－63，所以y=-13(x+63)2＋64在[－23，23]上单调递减，所以当y0＝－23时，｜MP｜2取得最大值48，即｜MP｜的最大值为43.13.[全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.解析　（1）连接PF1.由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（3＋1）c，故C的离心率e＝ca＝3－1.（2）设满足条件的点P的坐标为（x，y），则12｜y｜·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，即c｜y｜＝16　①，x2＋y2＝c2　②，x2a2＋y2b2＝1　③，由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2，又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③得x2＝a2c2（c2－b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞）.14.[2023河南适应性测试]如图，椭圆E：x25＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作弦AB，CD.若AB∥CD，则｜AF1｜+｜CF2｜的取值范围为（　C　）A.[25，1655]B.[25，1655）C.[855，25）D.[855，25]解析　由椭圆的对称性可知｜CF2｜＝｜BF1｜，所以AF1+CF2=AF1+BF1=AB.因为弦AB，CD分别过椭圆E的左、右焦点，且AB∥CD，所以｜AB｜∈[2b2a，2a），又a＝5，b2＝4，所以｜AB｜∈[855，25），故选C. 15.[2024天星原创]已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若｜PB｜2的最大值是｜PF1｜·｜PF2｜的最小值的163倍，则椭圆C的离心率为（　D　）A.23B.12C.32或12D.32解析　设P（x0，y0），则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝a2（1－y02b2）＋（y0－b）2＝－c2b2（y0＋b3c2）2＋a4c2，由题意知c＞b，故－b＜－b3c2＜0，又－b≤y0≤b，所以当y0＝－b3c2时，｜PB｜2取得最大值a4c2.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝｜PF1｜（2a－｜PF1｜）＝－｜PF1｜2＋2a｜PF1｜＝－（｜PF1｜－a）2＋a2，因为｜PF1｜∈[a－c，a＋c]，所以当｜PF1｜＝a－c或｜PF1｜＝a＋c时，｜PF1｜·｜PF2｜取得最小值，为－c2＋a2＝b2.又｜PB｜2的最大值是｜PF1｜·｜PF2｜的最小值的163倍，所以a4c2＝16b23，即3a4＝16a2c2－16c4，又e＝ca，所以16e4－16e2＋3＝0，得e＝12或e＝32.又e＝12不满足c＞b，e＝32满足c>b,所以e＝32.故选D.16.[多选]已知F1，F2是椭圆C：mx2＋（1－m）y2＝m－m2在x轴上两个不同的焦点，点M在C上，则（　ABD　）A.0＜m＜12B.C的离心率为1－2m1－mC.∠F1MF2的最大值小于π2D.△F1MF2面积的最大值为24解析　选项A，椭圆C的方程mx2＋（1－m）y2＝m－m2可化为x21－m＋y2m＝1，（提示：因为方程mx2＋（1－m）y2＝m－m2表示椭圆，所以m≠0且m≠1）由题意可知，1－m＞m＞0，解得0＜m＜12，故A正确；选项B，设C的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b，由方程x21－m＋y2m＝1可知，a2＝1－m，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝1－2m，则C的离心率e＝ca＝1－2m1－m，故B正确；选项C，以F1F2为直径作圆O，因为c2－b2＝1－2m－m＝1－3m，所以当13＜m＜12时，椭圆C与圆O无交点，此时∠F1MF2的最大值小于π2，当m＝13时，椭圆C与圆O有两个交点，∠F1MF2的最大值为π2，当0＜m＜13时，椭圆C与圆O有四个交点，此时∠F1MF2的最大值大于π2，故C错误； 选项D，易知△F1MF2面积的最大值为12×2c×b＝（1－2m）m＝－2m2＋m＝－2（m－14）2＋18，所以当m＝14时，△F1MF2的面积取得最大值，为24，故D正确.17.[2021浙江高考]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0）c>0.若过F1的直线和圆（x－12c）2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是　255　，椭圆的离心率是　55　.解析　设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A（12c，0），则｜AM｜＝c，｜AF1｜＝32c，所以｜MF1｜＝52c，所以该直线的斜率k＝｜AM｜｜MF1｜＝c52c＝255.因为PF2⊥x轴，所以PF2=b2a，又｜F1F2｜＝2c，所以k＝255＝b2a2c＝a2－c22ac＝1－e22e，得e＝55.18.[与立体几何综合/多选/2023安徽安庆模拟]如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是（　ACD　）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为24C.椭圆的方程可以为x24＋y22＝1D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－2解析　圆柱的底面半径是2，直径是22，所以椭圆的长轴长2a＝22cos45°＝4，故a＝2，短轴长2b＝22，b＝2，则c＝a2－b2＝2，离心率e＝ca＝22.以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为x24＋y22＝1.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－2.故选ACD.19.[新定义“果圆”]我们把由半椭圆E1：x2a2＋y2b2＝1（x≥0）与半椭圆E2：y2b2＋x2c2＝1（x≤0）合成的曲线称为“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，如图.设A1，A2，B1，B2是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆E1上一点，F为半椭圆E1的焦点.若CA1+CF=43，tan∠B1A1B2＝－22，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为　4（2＋6）　.解析　由已知得F（c，0），A1（－c，0），所以A1，F分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点.由｜CA1｜＋｜CF｜＝43及椭圆的定义可得2a＝43，即a＝23. 设∠B1A1O＝θ，则tan∠B1A1B2＝tan2θ＝－22，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，解得tanθ＝2或tanθ＝－22，因为θ是锐角，所以tanθ＞0，所以tanθ＝2.因为tanθ＝bc，所以b＝2c，因为a＝23，a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，所以b＝22，c＝2.所以半椭圆E1：x212＋y28＝1（x≥0），半椭圆E2：y28＋x24＝1（x≤0）.作“果圆”的内接矩形为MNPQ（如图）.设M（x1，y1），N（x2，y1），0＜x1＜23，－2＜x2＜0，0＜y1＜22，则满足x1212＋y128＝1　①，y128＋x224＝1　②，①－②得x12＝3x22，即x1＝－3x2.则“果圆”的内接矩形的面积为2（x1－x2）y1＝2（－3x2－x2）8（1－x224）＝22×（3＋1）×（4－x22）x22≤2（6＋2）×4－x22＋x222＝4（2＋6），当且仅当4－x22＝x22，即x2＝－2时等号成立.所以“果圆”的内接矩形面积的最大值为4（2＋6）.