备考2024届高考数学一轮复习分层练习第六章平面向量复数第6讲复数

第6讲复数1.[2024河南信阳开学考试]i＋i2＋i3＋…＋i2025＝（　C　）A.2025B.1－iC.iD.－i解析　因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2025＝i，故选C.2.[2024贵阳模拟]复数z满足（1＋2i）z＝3－i，则｜z｜＝（　A　）A.2B.3C.2D.5解析　解法一　因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i＝（3－i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝15－75i，所以｜z｜＝（15）2＋（－75）2＝2，故选A.解法二　因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i，所以｜z｜＝｜3－i1+2i｜＝｜3－i｜｜1+2i｜＝105＝2，故选A.3.[2023高三名校联考]已知a+2ii＝b＋i（a，b∈R），其中i是虚数单位，则a＋b＝（　B　）A.3B.1C.－1D.－3解析　解法一　因为a+2ii＝b＋i，所以（a+2i）ii2＝2－ai＝b＋i，所以－a=1，b=2，即a＝－1，b=2，所以a＋b＝1，故选B.解法二　因为a+2ii＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b=2，所以a＋b＝1，故选B.4.[2024安徽六校联考]复数z在复平面内对应的点为（3，－1），则1－i｜z｜＋i＝（　A　）A.15－35iB.35－35iC.15－15iD.－15－15i解析　由复数的几何意义可知，z＝3－i，所以｜z｜＝2，所以1－i｜z｜＋i＝1－i2+i＝（1－i)(2－i）（2+i)(2－i）＝15－35i.故选A.5.[2024江西四校联考]设a，b∈R且b≠0，若复数（a＋bi）3是实数，则（　A　）A.b2＝3a2B.a2＝3b2C.b2＝9a2D.a2＝9b2解析　因为（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i为实数，（提示：完全立方和公式为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b－b3＝0.又因为b≠0，所以3a2＝b2，故选A. 6.[角度创新]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，i为虚数单位，则z1z2＝（　B　）A.1－2iB.－5C.5D.5i解析　因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，所以z2＝－1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故选B.7.[2023长沙重点中学模拟]设复数z满足z－z－＝2i，｜z｜＝2，复数z所对应的点位于第一象限，则1z＝（　B　）A.1+3i2B.3－i4C.－1+3i2D.3＋i4解析　设z＝a＋bi（a∈R，b∈R），则z－＝a－bi，所以z－z－＝2bi＝2i，则b＝1，所以｜z｜＝a2＋b2＝a2+1＝2，解得a＝±3.又因为复数z所对应的点位于第一象限，所以a＝3，所以z＝3＋i，所以1z＝13＋i＝3－i（3＋i)(3－i）＝3－i4，故选B.8.[角度创新]若3+4iz是纯虚数，则复数z可以是（　D　）A.－3＋4iB.3－4iC.4＋3iD.4－3i解析　解法一　因为复数3+4iz是纯虚数，所以设3+4iz＝mi（m∈R且m≠0），则z＝3+4imi＝（3+4i)(－i）mi（－i）＝4－3im，显然当m＝1时，z＝4－3i，故选D.解法二　设z＝a＋bi（a，b∈R），则3+4iz＝（3+4i)(a－bi）（a＋bi)(a－bi）＝（3a+4b）＋（4a－3b）ia2＋b2，因为3+4iz是纯虚数，所以3a+4b=0，4a－3b≠0，所以ab＝－43，结合选项知，选D.9.[开放题]已知复数z＝4+ai1+i，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的一个整数值可以为　0（答案不唯一）　.解析　z＝4+ai1+i＝（4+ai)(1－i）（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）2＝a+42＋（a－4）i2，因为z在复平面内对应的点在第四象限，所以a+42>0，a－42<0，解得－4＜a＜4，又a∈Z，所以a可取－3，－2，－1，0，1，2，3.10.[2023广西联考]设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y1－i＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　D　）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析　因为y1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以y＝x+1，1－x=0，解得y=2，x=1，所以z＝1＋2i，所以z＝1－2i，所以z在复平面内对应的点为（1，－2），位于第四象限，故选D.11.[2023广东六校联考]设复数z＝12＋32i，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中错误的是（　B　）A.zz＝1B.z2＝zC.z是方程x2－x＋1＝0的一个根D.满足zn∈R的最小正整数n为3解析　对于A，z·z＝（12＋32i）（12－32i）＝1，故A正确；对于B，z2＝（12＋32i）2＝－12＋32i，z＝12－32i，∴z2＝－z，故B错误；对于C，（12＋32i）2－（12＋32i）＋1＝－12＋32i－12－32i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确；对于D，z＝12＋32i，z2＝－12＋32i，z3＝z2·z＝－（12－32i）（12＋32i）＝－1，故D正确，故选B.12.[多选]18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.下列说法正确的是（　BCD　）A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±iB.若在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i分别对应向量OA与OB（O为坐标原点），则向量BA对应的复数为9＋iC.在复平面内，复数z对应的点为Z（－1，1），则z对应的点位于第三象限D.若复数z满足1≤｜z｜≤2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为π解析　对于A，令z＝12＋32i，满足｜z｜＝1，故A错误；对于B，由题知BA＝OA－OB，即在复平面内，BA对应的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i，故B正确；对于C，∵点Z（－1，1），∴z在复平面内对应点（－1，－1），位于第三象限，故C正确；对于D，设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z满足1≤｜z｜≤2，∴1≤a2＋b2≤2，∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×（2）2－π×12＝π，故D正确.故选BCD.13.[2024四川成都二中开学考试]已知复数z满足｜z－1｜＝｜z＋i｜（i为虚数单位），在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为　322　. 解析　解法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得（x－1）2＋y2＝x2＋（y＋1）2，即y＝－x，所以点Z0（2，1）与点Z（x，y）之间的距离d＝（x－2）2＋（y－1）2＝2x2－2x+5＝2（x－12）2＋92≥322，当且仅当x＝12时取等号.解法二　由｜z－1｜＝｜z＋i｜及复数的几何意义知，点Z在点（1，0）与点（0，－1）连线的垂直平分线上，即点Z的轨迹方程为y＝－x.点Z0与点Z之间距离的最小值即点Z0（2，1）到直线y＝－x的距离，即2+12＝322.14.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx＋isinx，该公式被称为欧拉公式，它在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数z＝eπ4i，根据欧拉公式可知，z1－i表示的复数的虚部为（　C　）A.－22B.－22iC.22D.22i解析　解法一　由题意知z＝eπ4i＝cosπ4＋isinπ4＝22＋22i，根据复数的运算法则知z1－i＝22＋22i1－i＝22i，所以z1－i的虚部为22，故选C.解法二　根据公式eix＝cosx＋isinx知，1－i＝2[cos（－π4）＋isin（－π4）]＝2e－π4i，因为z＝eπ4i，所以z1－i＝eπ4i2e－π4i＝22eπ2i＝22（cosπ2＋isinπ2）＝22i，所以z1－i的虚部为22，故选C.15.[与数列综合]已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝　－1＋i　.解析　解法一　因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，可知数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i.解法二　由an＋1＝ian＋i＋1，可得an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所以数列{an－i}是以i为首项，i为公比的等比数列，所以an－i＝in，则an＝i＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i.