备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第5讲对数与对数函数

第5讲对数与对数函数1.[2023宁夏六盘山高级中学模拟]若f（x）满足对定义域内任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（　D　）A.f（x）＝2xB.f（x）＝（12）xC.f（x）＝x2D.f（x）＝log3x解析　因为log3x1＋log3x2＝log3x1x2，满足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝log3x是“好函数”，故选D.2.[2024四川成都模拟]已知a＝log0.70.3，b＝log0.30.7，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为（　D　）A.a＜c＜bB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.b＜c＜a解析　依题意，a＝log0.70.3＞log0.70.72＝2，b＝log0.30.7＝1log0.70.3＜12，而c＝0.5，所以b＜c＜a.故选D.3.已知函数f（x）＝x＋1x－2，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）取得最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝log1m｜x＋n｜的图象是（　A　）解析　∵函数f（x）＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，x∈（2，8），当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时取等号，∴m＝3，n＝4.则函数g（x）＝log13｜x＋4｜在（－4，＋∞）上单调递减，在（－∞，－4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合.故选A.4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（　B　）A.[6，＋∞）B.[6，7） C.（－∞，－2]D.（－13，－2]解析　由题意得，函数y＝x2－ax＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0恒成立，所以a2≥3，32－3a+12>0，解得6≤a＜7，故a的取值范围是[6，7）.故选B.5.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为（　A　）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析　a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1，且log52＞log62，故b＞c＞a.故选A.6.[2023河南部分学校联考]设a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（　A　）A.（9，6523）B.（3，6513）C.[9，6523]D.[3，6513]解析　∵a＝log23＝log827＜log865＝c，∴a＜b＜c，∴log23＜log4x＜log865，∴log23＜log2x12＜log26513，∴3<x12＜6513，得9＜x＜6523，即x的取值范围是（9，6523），故选A.7.[2023山东模拟]已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，则不等式f（log13（2x－5））＞f（log38）的解集为（　C　）A.{x｜52＜x＜4116}B.{x｜x＞132}C.{x｜52＜x＜4116或x＞132}D.{x｜x＜52或4116＜x＜132}解析　因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将f（log13（2x－5））＞f（log38）化为｜log13（2x－5）｜＞｜log38｜，即log3（2x－5）＞log38或log3（2x－5）＜－log38＝log318，即2x－5＞8或0＜2x－5＜18，解得x＞132或52＜x＜4116.故选C. 8.[多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若（a，b）（a＞0，a≠1）为函数y＝log2x图象上的一点，则下列选项正确的是（　ABC　）A.（b，a）为函数y＝2x图象上的点B.（1a，b）为函数y＝log12x图象上的点C.（－b，a）为函数y＝（12）x图象上的点D.（a，2b）为函数y＝log4x图象上的点解析　∵（a，b）（a＞0，a≠1）为函数y＝log2x图象上的一点，∴log2a＝b，∴2b＝a，则（b，a）为函数y＝2x图象上的点，故A正确；∵log2a＝b，∴log121a＝－1－1log2a＝b，则（1a，b）为函数y＝log12x图象上的点，故B正确；∵2b＝a，∴（12）－b＝2b＝a，则（－b，a）为函数y＝（12）x图象上的点，故C正确；∵log2a＝b，∴log4a＝12log2a＝12b，故D错误.故选ABC.9.[2023天津市汇文中学模拟]计算：（827）－23＋10lg3＋log193－log54·log25＝　3　.解析　（827）－23＋10lg3＋log193－log54·log25＝[（23）3]－23＋3＋log3-2312－2lg2lg5·lg5lg2＝（23）－2＋3＋12－2log33－2＝94＋3－14－2＝3.10.[2024江苏省联考]已知函数f（x）＝2－log2x，x≥1，4x，x<1，则f（f（12））＝　1　.解析　由函数f（x）＝2－log2x，x≥1，4x，x<1，得f（f（12））＝f（2）＝1.11.[2024北京市中关村中学模拟]声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f（x）＝10×lgx1×10－12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的　108　倍.解析　由f（x）＝10×lgx1×10－12，即y＝10×lgx1×10－12可知，声音强度x＝10y10×10－12＝10－12+y10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x1，x2，故强度之比x1x2＝10－12+1401010－12+6010＝108.12.[2024贵州贵阳名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x－a｜＋1，且f（6＋x）＝f（2－x），则f（2）＝　2　. 解析　由f（6＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，而函数f（x）＝log2｜x－a｜＋1的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，所以f（x）＝log2｜x－4｜＋1，所以f（2）＝log2｜2－4｜＋1＝2.13.[2023乌鲁木齐质监（一）]已知函数f（x）＝ln2－x3+x，a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（　A　）A.f（a）＜f（c）＜f（b）B.f（a）＜f（b）＜f（c）C.f（c）＜f（a）＜f（b）D.f（c）＜f（b）＜f（a）解析　f（x）＝ln2－x3+x＝ln（－1＋53+x），由2－x3+x＞0，得f（x）的定义域为{x｜－3＜x＜2}，由复合函数的单调性可得，f（x）在（－3，2）上单调递减.由bc＝log34log58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c＞1得b＜c.又9＞8，即32＞23，所以3＞232，log23＞32，同理8＜532，log58＜32，所以c＜a，于是b＜c＜a，再结合f（x）的单调性可得f（a）＜f（c）＜f（b），故选A.14.[2024陕西模拟]已知函数f（x）＝（12）x，x≥1，f（x+1),x<1，则下列结论正确的是（　B　）A.f（f（0））＝12B.f（f（1））＝24C.f（f（log23））＝22D.f（x）的值域为（0，1]解析　对于选项A，f（0）＝f（1）＝12，f（f（0））＝f（12）＝f（32）＝（12）32＝（18）12＝24，故A错误；对于选项B，f（1）＝12，f（f（1））＝f（12）＝24，故B正确；对于选项C，因为log23＞1，所以f（log23）＝（12）log23＝2log213＝13，f（f（log23））＝f（13）＝f（43）＝（12）43≠22，故C错误；对于选项D，当x≥1时，f（x）＝（12）x∈（0，12]，当0≤x＜1时，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又当x＜0时，f（x）＝f（x＋1），所以当x＜0时，f（x）∈（14，12]，综上，函数f（x）的值域为（0，12]，故D错误.故选B.15.[2024南昌市模拟]已知函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则（　D　）A.a＞bB.a＋b＜2 C.ab＞1D.a2＋b2＞2解析　易知y＝ex与y＝lnx互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝2－x垂直，所以两函数的图象与直线y＝2－x的交点A，B关于直线y＝x对称.设直线y＝x与y＝2－x的交点为C，则C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.∴a2＋b22＞a＋b2＝1，即a2＋b2＞2.故选D.16.[2024河南省六市部分学校联考]已知正数a，b，c∈（1，＋∞），且满足2a－1a－1＝2＋log2a，3b－2b－1＝3＋log3b，4c－3c－1＝4＋log4c，则下列不等式成立的是（　B　）A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b解析　由2a－1a－1＝2＋log2a，可得1a－1＝log2a，由3b－2b－1＝3＋log3b，可得1b－1＝log3b，由4c－3c－1＝4＋log4c，可得1c－1＝log4c，易知y＝1x－1（x＞1）和y＝logmx（m＝2，3，4）的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝1x－1（x＞1）的图象如图.根据图象可知a＜b＜c.故选B.17.[2024合肥开学考试]定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞1，则不等式f（2log2x）－f（x）＞log2x2－x的解集为（　B　）A.（1，2）B.（2，4）C.（4，8）D.（8，16）解析　根据题意：设x1＞x2，则f（x1）－f（x2）x1－x2＞1⇒f（x1）－f（x2）＞x1－x2⇒f（x1）－x1＞f（x2）－x2，可得函数h（x）＝f（x）－x在（0，＋∞）上单调递增.则f（2log2x）－f（x）＞log2x2－x⇒ f（log2x2）－log2x2＞f（x）－x⇒log2x2＞x⇒log2x2＞log22x⇒x2＞2x，在同一坐标系中画出y＝x2与y＝2x的图象，如图.又x＞0，得2＜x＜4，则不等式的解集为（2，4），故选B.18.[多选/2023重庆二调]若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则（　BCD　）A.1a＋1b＝2cB.1a＋1b＝1cC.a＋b＞4cD.ab＞4c2解析　令2a＝3b＝6c＝m，则a＝log2m，b＝log3m，c＝log6m，∴1a＝logm2，1b＝logm3，1c＝logm6，∴1a＋1b＝logm2＋logm3＝logm6＝1c，A选项错误，B选项正确；a＋b＝（a＋b）（1a＋1b）c＝c（2＋ba＋ab）＞c（2＋2ba·ab）＝4c，（∵a≠b，∴等号无法取到）C选项正确；1c＝1a＋1b＝a＋bab＞4cab，∴ab＞4c2，D选项正确.故选BCD.19.[多选/2024云南省昆明市第一中学双基检测]设偶函数f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递增，则下列结论中正确的是（　BC　）A.f（a＋2）＞f（b＋2）B.f（a＋2）＜f（b＋2）C.f（a＋1）＞f（b－2）D.f（a＋1）＜f（b－2）解析　因为函数f（x）为偶函数，所以b＝0.又偶函数f（x）＝loga｜x｜在（－∞，0）上单调递增，则0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，2＜a＋2＜3，且由函数f（x）为偶函数知f（x）在（0，＋∞）上单调递减.对于选项A和B，因为a＋2＞2＝b＋2，所以f（a＋2）＜f（b＋2），故A错误，B正确；对于选项C和D，因为1＜a＋1＜2，b－2＝－2，所以f（a＋1）＞f（2）＝f（－2）＝f（b－2），故C正确，D错误.故选BC.20.[多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f（x）＝log13（ax2－3ax＋2），则下列说法正确的是（　AC　）A.若f（x）的值域为R，则a∈[89，＋∞）B.若f（x）的定义域为R，则a∈（0，89）C.若f（x）的最大值为0，则a＝49D.若f（x）的最小值为1，则a＝2027 解析　选项A：f（x）的值域为R，说明函数y＝ax2－3ax＋2能取到所有大于0的数，当a＝0时，ax2－3ax＋2＝2，不满足；当a≠0时，a>0，Δ=9a2－8a≥0，解得a≥89，选项A正确.选项B：当f（x）的定义域为R时，函数y＝ax2－3ax＋2＞0恒成立，当a＝0时，ax2－3ax＋2＝2恒成立；当a≠0时，a>0，Δ=9a2－8a<0，解得0＜a＜89，综上，a∈[0，89），选项B错误.选项C：若f（x）的最大值为0，即y＝ax2－3ax＋2的最小值为1，故有a>0，8a－9a24a=1，解得a＝49，选项C正确.选项D：若f（x）的最小值为1，即y＝ax2－3ax＋2的最大值为13，则有a<0，8a－9a24a＝13，无解，选项D错误.故选AC.21.[多选/2024聊城模拟]对于两个均不等于1的正数m和n，定义：m*n＝min{logmn，lognm}，则下列结论正确的是（　BC　）A.若a＞1，且3*a＝2*4，则a＝9B.若a≥b≥c＞1，且a*bb*c＝c*a，则b＝cC.若0＜a＜b＜c＜1，则a*b－a*c＝a*（bc）D.若0＜a＜b＜c＜1，x＞y＞z＞0，则（ax*by）·（by*cz）＝2（ax*cz）解析　选项A：当1＜a＜3时，log3a＝log42，即log3a＝12，即a＝312＝3；当a＞3时，loga3＝log42，即loga3＝12，即a＝9.综上，当a＞1时，a＝3或a＝9，则A错误.选项B：由a*bb*c＝c*a及a≥b≥c＞1，得logab＝logbc·logac，即lgblga＝lgclgb·lgclga，即lg2b＝lg2c，即lgb＝lgc或lgb＝－lgc，即b＝c或bc＝1.由b≥c＞1，得bc＞1，从而可得b＝c，则B正确.选项C：若0＜a＜b＜c＜1，则a*b－a*c＝logab－logac＝logabc，而由1＞bc＞b＞a＞0，得a*（bc）＝logabc，所以a*b－a*c＝a*（bc）成立，则C正确.选项D：由指数函数f（t）＝at（0＜a＜1）是减函数，且x＞y，可得ax＜ay.由幂函数h（x）＝xy（y＞0）在（0，＋∞）上单调递增，且a＜b，可得ay＜by，于是0＜ax＜by＜1 ，所以ax*by＝logaxby＝yxlogab，同理by*cz＝zylogbc，ax*cz＝zxlogac，所以（ax*by）·（by*cz）ax*cz＝yxlogab·zylogbczxlogac＝logab·logaclogablogac＝1，则D错误.故选BC.