海南省部分学校2023-2024学年高三上学期12月联考（四）数学（Word版附答案）

2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：集合､常用逻辑用语､不等式､三角函数､平面向量､解三角形､函数与导数､数列､立体几何､解析几何.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若函数为上的偶函数，则实数的值为（）A.-2B.2C.1D.-13.已知，则（）A.0B.4C.-4D.0或44.已知数列的通项公式为，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列，其中，则数列的通项公式为（）A.B.C.D.5.已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（）A.B. C.直线是图象的一条对称轴D.是图象的一个对称中心6.已知函数，则的图象大致为（）A.B.C.D.7.已知圆过点，且直线0被圆所截得的弦长为，若圆的圆心在轴右侧，则圆的面积为（）A.B.C.D.8.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）A.1012B.1016C.1912D.1916二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.10.已知向量，则（）A.若，则B.在方向上的投影向量为 C.存在，使得在方向上投影向量的模为1D.的取值范围为11.已知函数在处取得最大值的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A.B.在上的单调递减区间是C.将图象上的所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象D.将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到的图象12.已知定义在上的函数满足为奇函数，的图象关于点对称，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于对称B.函数的图象关于点对称C.函数的一个周期为4D.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距为__________.14.已知向量满足，则__________.15.等差数列前项和分别为，且，则__________. 16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为为上任意一点，且的周长为6，若直线经过定点，则的最小值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若为上的高，且，求面积的最小值.18.（12分）如图，在长方体中，，点为的中点，点是上靠近的三等分点，与交于点.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.19.（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求；（2）若，求数列的前项和.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，点为的中点. （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.（12分）已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点.（1）若，求的面积；（2）若直线与交于点，证明：点在定直线上.22.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学·答案1.D2.A3.D4.Α5.C6.A7.B8.C9.ABC10.BCD11.ABD12.ACD13.14.2或15.16.317.解：（1）因为，结合正弦定理得，因为，所以，所以，所以.又，所以.（2）由题意得，，故.由余弦定理，得，，，当且仅当时取等号，面积的最小值为.18.解：（1）连接.易知分别为线段的中点， 所以.又且，所以四边形是平行四边形，所以，故，又平面平面，故平面.（2）连接.由题易知.易知为的中点，又，所以.以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以.设平面的法向量为，则即令，则，可得. 因为，故点到平面的距离为.19.解：（1）依题意，故，故是以2为公差的等差数列.而，又，解得，故的首项为3，则，则.（2）由（1）可知，当时，；当时，也满足该式，故，故，则，两式相减得，，故20.解：（1）法一：连接，在Rt中， 底面.又在直角梯形中，，平面，平面，而平面，平面，.法二：.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量，令，则，设直线与平面所成角为， 则.即直线与平面所成角的正弦值为.21.解：（1）依题意，，联立得.设，故，故，点到直线的距离，故.（2）设，，联立得，则.同理可得，.则直线， 化简得，，①同理可得，直线0，②联立①②消去可得，故点在直线上.22.解：（1）当时，，所以，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取得极大值，也为最大值，且，所以，所以在上单调递减.（2）由，得，即在上恒成立. 令，可得，令，可得，令，可得；令，可得，所以在单调递减，在单调递增，又所以在中存在唯一的使得，在中存在唯一的使得，即有.因为在单调递减，在单调递增，所以当时，；当时，；当时，；当时，.又， 所以当时，；当时，；当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以时，的极小值为时，的极小值为因为，可得，所以，所以.代入和，则有，同理可得，所以，所以，