四川省绵阳南山中学实验学校2023届高三三诊模拟考试理科数学试题（Word版附解析）

南山中学实验学校2023届三诊模拟考试理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数，则（）A.2B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】先求，结合复数的模求解公式即可求解．【详解】因为，所以，则，所以．故选：D．2.设集合，，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A、B，再由集合并运算求.【详解】由题设，，所以.故选：A3.等差数列的前项和为，，则（）A.32B.30C.60D.70【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质可得，再根据等差数列的前项和的公式可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和的公式，属于基础题. 4.已知，设函数，当时，取得最小值，则在方向上的投影为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先得到关于的函数表达，再根据取得最小值的条件求出，然后由投影的定义可求得答案.【详解】，由题意，，解得，所以在方向上的投影为.故选：D.5.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（）A.9B.18C.27D.36【答案】B【解析】【分析】根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即 ，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即或来自个、十、百中的两个即，由组合规律求得结果.【详解】根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即或来自个、十、百中的两个即，则总数为.故选：B.6.设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.【详解】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选：B.7.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；【详解】解：因为，，所以 因为所以，所以．故选：B8.若函数在处有极大值，则实数的值为（）A.1B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的导数可得，解出的值之后验证函数在处取得极大值.【详解】函数，，函数在处有极大值，可得，解得或，当时，，时，时，在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意.当时，，时，时，在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意.综上可得，.故选：D9.中国古代数学巨作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.如图所示，是一曲池形几何体，其中均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径比为，对应的圆心角为，且，则直线与所成角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，在下底面作，以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设由题意可得，则即即则， 所以又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为故选：A10.材料一：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中．这个公式被称为海伦-秦九韶公式材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为（）A.B.3C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据材料二可得点的轨迹为椭圆，当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点的轨迹为椭圆，其焦距，长轴，短轴当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值，，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力.11.设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（）A.（0，1）B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】在△中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率.【详解】由，，设，，在中，由正弦定理有：，离心率，则；解得：，由于，得，显然成立，由有，即，得，所以椭圆离心率取值范围为.故选：C12.已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性求得的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围． 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，①，所以，即②，联立①②可解得，，所以不等式可化为，因为，则，故，设，则，故，因为，，所以，故在上是增函数，则，又因为在时是增函数，所以，则，因为在恒成立，所以．所以正实数a的取值范围是.故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若的展开式中的系数为9，则实数__________．【答案】1【解析】【分析】根据二项式定理得出展开式的通项公式，即可得出的展开式中为或时，则的系数为，即可解出答案.【详解】展开式的通项公式为：，则，， 所以展开式中的系数为，解得．故答案：114.已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据两角和的正切公式求得，利用三角恒等变换将化为，即可求得答案.【详解】由得：，即得，故，故答案为：15.已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由题设，进而根据题意得到直线的距离即为半径，再利用公式结合基本不等式求解即可得半径的最小值，进而得答案.【详解】因为的圆心在曲线上，故设,因为与直线相切,所以到直线的距离即为半径， 即，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为.故答案为:.16.如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：①动点的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点，使得；③三棱锥的体积的最大值为；④设直线与平面所成角为，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹；对于②，利用垂直的性质的可判断；对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，由正方体性质知，，平面，平面，所以平面,又平面，，所以平面平面，当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； 对于②，当为线段中点时，，，又，，故②正确；对于③，三棱锥的体积，又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；对于④，连接，则与平面所成角，则，又，所以的取值范围是，故④正确；故正确结论的序号是①③④，故答案为：②③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关：潜伏期天潜伏期天总计 50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：0.050.0250.0103.8415.0246.635，其中.【答案】（1）天；（2）表格见解析，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）8.【解析】【分析】（1）由平均数公式计算即可；（2）从已知数据知潜伏期有的有600人，超过6天的有400人，由分层抽样按比例可得潜伏期不超过6天的抽样人数及超过6天的抽样人数，由此可填写列联表，计算后可得结论；（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，则服从二项分布：，由二项分布的期望公式可直接得期望．【小问1详解】(天)．【小问2详解】 根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则，经查表，得，所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.【小问3详解】由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则服从二项分布：，，，则，所以的期望为.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，D为边上一点，.（1）若，求；（2）若的面积为，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由正弦定理求得； （2）利用面积公式求出，利用向量中线公式求出，用数量积求出模长即可.【详解】解：（1）依题意得，则，在中，由正弦定理得：，即，所以.（2）因为，所以，由可得，，则，所以.【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．19.如图，在等腰直角中，，和都垂直于平面，且，为线段上一点，设（）.（1）当为何值时，平面；（2）当二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积.【答案】（1）当时，平面（2） 【解析】【分析】（1）取上一点，当，，两两平行且时，，，此时通过线面平行判定定理证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，使用空间向量表示出二面角的余弦值，求出实数的值，再求出四棱锥的体积即可.【小问1详解】当时，平面，理由如下：当时，在线段上取一点，使，连接，，则，，又∵平面，平面，∴，且，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，故当时，平面.【小问2详解】如图，以点为原点，过垂直于平面的直线为轴，，所在直线为轴和轴建立空间直角坐标系， 则，，，，∵，∴，∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，易知平面的一个法向量为，当二面角的余弦值为时，，解得（舍）或，∴，点到平面的距离，梯形的面积，∴四棱锥的体积.20.已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线过点P，交C于A，B 两点，且当时，．（1）求C的方程；（2）设C在A，B处的切线交于点Q，证明．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】设斜率为且过点P的直线为l：，其中.设.（1）代入，得l：，将其与联立，后由，结合韦达定理及抛物线定义可得答案；（2）利用表示出C在A，B处的切线方程，联立切线方程得Q坐标，注意到，说明即可.小问1详解】设斜率为且过点P的直线为l：，其中.设.当时，l：，将其与联立，消去x得：，由韦达定理有.又由抛物线定义知，又，结合，则.得C的方程为；【小问2详解】由（1）可得，P，则l：，将其与抛物线方程联立，消去x得：，则.设C在A点处的切线方程为，C在B点处的切线方程为. 将与联立，消去x得：，因为抛物线切线，则联立方程判别式，又，则，得，同理可得.将两切线方程联立有，代入，，解得，得.则，又，则，同理可得.注意到，则等价，下面说明.，因，则.又，则，故.【点睛】关键点点睛：本题为直线与抛物线综合题，难度较大.（1）问较为基础，但将l设为可简化运算； （2）问所涉字母较多，解决问题的关键是利用及将相关表达式统一为与有关的形式.21.已知函数，（其中常数）（1）当时，求的极大值；（2）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线在点、处的切线互相平行，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极大值；（2）由（、且）可得出，利用基本不等式可得出对恒成立，求出在时的最大值，即可得出的取值范围.【小问1详解】解：当时，，该函数的定义域为，，当或时，；当时，，所以，函数在和上单调递减，在单调递减故函数的极大值为.【小问2详解】 解：因为，则，由题意，可得（、且），即因为，由不等式性质可得恒成立，又、、，所以，对恒成立，令，则对恒成立，所以，在上单调递增，所以，，故，从而“对恒成立”等价于“”，所以，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第二问求的取值范围，解题的关键在于利用基本不等式推导出，通过恒成立思想可求得的取值范围.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于点A，B.（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长. 【答案】（Ⅰ）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用极坐标方程公式化简得到答案.（Ⅱ）圆心到直线的距离，计算得到答案.【详解】（1），即，故曲线的直角坐标方程为；曲线的直角坐标方程为.（2）曲线表示圆心为（2，0），半径的圆，曲线表示直线，则圆心到直线的距离，所以弦长.【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标转化，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4—5：不等式选讲]23.设函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）设，当时，成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法解不等式可得出函数的定义域；（2）由可得可得出，然后解不等式可得出，根据题意得出，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，要使函数有意义，需满足.当时，则有，即，解得，此时；当时，则有，即，不合乎题意；当时，则有，即，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为.因此，当时，函数的定义域为；（2）当时，由可得，则，可得由可得，解得，，解得.因此，实数的取值范围是.