四川省绵阳南山中学实验学校2023届高三理科数学三诊模拟试题（Word版附解析）

2023年四川省绵阳市涪城区南山中学实验学校高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）A．2B．3C．D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴＝3﹣3i，∴＝．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（　　）A．（﹣2，3）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，3）【答案】A【分析】求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}．故选：A．3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a3+a4＝42，则S5＝（　　）A．32B．30C．60D．70【答案】D【分析】由等差数列通项公式得a2+a3+a4＝3a3＝42，求出a3，再由等差数列通项公式和前n项和公式得到S5＝5a3，由此能求出结果．【解答】解：因为a2+a4＝2a3，所以a2+a3+a4＝3a3＝42，a3＝14，即S5＝＝5a3＝70．故选：D．,4．（5分）已知，设函数，当时，f（t）取得最小值，则在方向上的投影为（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据二次函数取最小值，确定值，再用向量投影定义求解．【解答】解：因为，所以，当时，f2（t）＝||2＝，当t＝＝，即＝﹣时，f2（t）取得最小值，于是f（t）取得最小值，所以在方向上的投影为＝＝﹣，故选：D．5．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（　　）A．9B．18C．27D．36【答案】B【分析】利用分类计数原理和分步计数原理求解即可．【解答】解：根据珠算的运算法则以及题干中描述的操作，,从个、十、百上珠中选1粒往下拨，则有种，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百，即种，或者来自个、十、百中的两个，即种，故算盘表示的数的个数为（+）＝18．故选：B．6．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|PF1|＝6时，△PF1F2的面积为（　　）A．4B．3C．D．6【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得|PF2|＝4，又|F1F2|＝2c＝4，进而即得．【解答】解：双曲线，∴，又点P在双曲线c的右支上，|PF1|＝6，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，6﹣|PF2|＝2，即|PF2|＝4，又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2面积为．故选：B．7．（5分）设a＝20.7，b＝log64，c＝40.3，则（　　）A．c＞a＞bB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：因为a＝20.7，b＝log64，c＝40.3，所以0＜b＜1，1＜c＝20.6＜20.7＝a，所以a＞c＞b．故选：B．8．（5分）若函数f（x）＝x（x+a）2在x＝1处有极大值，则实数a的值为（　　）A．1B．﹣1或﹣3C．﹣1D．﹣3,【答案】D【分析】利用函数的导数可得f'（1）＝0，解出a的值之后验证函数在x＝1处取得极大值．【解答】解：函数f（x）＝x（x+a）2，f'（x）＝（x+a）2+2x（x+a）＝（x+a）（3x+a），函数f（x）＝x（x+a）2在x＝1处有极大值，可得f'（1）＝（1+a）（3+a）＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣3，当a＝﹣1时，f'（x）＝（x﹣1）（3x﹣1），时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）在x＝1处有极小值，不合题意．当a＝﹣3时，f'（x）＝（x﹣3）（3x﹣3），x∈（﹣∞，1）时f'（x）＞0，x∈（1，3）时f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，f（x）在x＝1处有极大值，符合题意．综上可得，a＝﹣3．故选：D．9．（5分）中国古代数学巨作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．如图所示，是一曲池形几何体，其中AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径比为1：2，对应的圆心角为120°，且AA1＝2AB，则直线AB1与CD1所成角的余弦值为（　　）,A．B．C．D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线AB1与CD1所成角的余弦值．【解答】解：如图所示，是一曲池形几何体，其中AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径比为1：2，对应的圆心角为120°，且AA1＝2AB，设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，在下底面作OM⊥OD，以O为原点，分别以OC，OM，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设OC＝1，由题意可得OA＝2，AB＝1，AA1＝2，则C（1，0，0），A（2cos120°，2sin120°，0）即，B1（cos120°，sin120°，2）即，D1（2，0，2），则，所以，又异面直线所成角的范围为，故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为．故选：A．10．（5分）材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中．这个公式被称为海伦﹣秦九韶公式．,材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知△ABC中，BC＝4，AB+AC＝6，则△ABC面积的最大值为（　　）A．B．3C．2D．6【答案】C【分析】由题意知点A的轨迹是椭圆，写出椭圆的标准方程，求出△ABC面积的最大值．【解答】解：△ABC中，BC＝4，AB+AC＝6，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，如图所示；则c＝2，a＝3，b＝＝，所以椭圆的标准方程为+＝1；由图形知，当点A在椭圆的短轴端点时，△ABC的面积取得最大值；此时△ABC的面积为S＝BC•b＝×4×＝2．故选：C．11．（5分）设F1、F2椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得离心率，则e取值范围为（　　）A．（0，1）B．C．D．【答案】C,【分析】在△MF1F2中，由正弦定理结合条件有：＝，再由|MF2|的范围可求出离心率．【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n；在△MF1F2中，由正弦定理有：＝；＝＝e，则e＝＝；解得：n＝；由于a﹣c＜|MF2|＜a+c；即（a+c）（a﹣c）＜2a2＜（a+c）2；又a2﹣c2＜2a2成立；则有a＜a+c；∴离心率：﹣1＜e＜1；故选：C．12．（5分）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝ex，若关于x的不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0在（0，ln3）上恒成立，则正实数a的取值范围是（　　）A．B．[0，+∞）C．D．【答案】D【分析】由奇偶性求得f（x），g（x）的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为，设ex+e﹣x＝t，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a的范围．【解答】解：因为f（x），g（x）分别为R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝ex①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣g（x）＝e﹣x②，联立①②可解得，，所以不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0可化为，,因为x∈（0，ln3），则ex﹣e﹣x＞0，故，设ex+e﹣x＝t，则（ex﹣e﹣x）2＝（ex+e﹣x）2﹣4＝t2﹣4，故，因为t＝ex+e﹣x，x∈（0，ln3），所以t'＝ex﹣e﹣x＞0，故t＝ex+e﹣x在（0，ln3）上是增函数，则，又因为在时是增函数，所以，则，因为在x∈（0，ln3）恒成立，所以0＜．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若（ax﹣y）（x+y）6的展开式中x5y2的系数为9，则实数a＝　1　．【答案】1．【分析】根据二项式定理得出（x+y）6展开式的通项公式，即可得出（ax﹣y）（x+y）6的展开式中x5y2为r＝1或r＝2时，则x5y2的系数为，即可解出答案．【解答】解：（x+y）6展开式的通项公式为：，则，，所以（ax﹣y）（x+y）6展开式中x5y2的系数为，解得a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知，则cos2α＝　﹣　．【答案】﹣．【分析】由已知利用两角和的正切公式可求得tanα＝7，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为，,所以＝﹣，可得tanα＝7，则cos2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知⊙M的圆心在曲线上，且⊙M与直线2x+y+1＝0相切，则⊙M的面积的最小值为　5π　．【答案】5π．【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，再由基本不等式求得圆M的半径的最小值，则面积最小值可求．【解答】解：设圆心为（a，）（a＞0），则r＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，∴⊙M的面积的最小值为：．故答案为：5π．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱DD1的中点，F是正方形CDD1C1内部（含边界）的一个动点，且B1F∥平面A1BE．给出下列四个结论：①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F，使得B1F⊥A1B；③三棱锥B1﹣D1EF的体积的最大值为；④设直线B1F与平面CDD1C1所成角为θ，则tanθ的取值范围是．其中所有正确结论的序号是　②③④　．【答案】②③④．,【分析】对于①，利用线线平行能证明平面A1BE∥平面MNB1，由此能求出点F的轨迹；对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解．【解答】解：对于①，分别取CC1和D1C1的中点N，M，连接MN，MB1，NB1，由正方体的性质知MN∥A1B，NB1∥EA1，NB1⊄平面A1BE，A1B、EA1⊂平面A1BE，∴MN，NB1∥平面A1BE，又MN，NB1⊂平面MNB1，MN∩NB1＝N，∴平面A1BE∥平面MNB1，当F在MN上运动时，有B1F∥平面A1BE，∴动点F的轨迹是线段MN，故①错误；对于②，当F为线段MN中点时，∵MB1＝NB1，∴B1F⊥MN，又MN∥A1B，∴B1F⊥A1B，故②正确；对于③，三棱锥B1﹣D1EF的体积V＝＝，又（）max＝＝1，∴三棱锥的体积最大值为，故③正确；对于④，连接B1F，C1F，则B1F与平面CDD1C1所成角θ＝∠B1FC1，则tanθ＝，∵，∴tanθ的范围是[2，2]，故④正确．故答案为：②③④．,三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635,，其中n＝a+b+c+d．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据统计数据计算平均数即可；（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（3）根据题意知随机变量X～B（20，），计算概率P（X＝k），列不等式组并结合题意求出k的值．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2，…，20；由，,得，化简得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，A＝60°，D为BC边上一点，BD＝2CD．（1）若CD＝1，求sinC；（2）若△ABC的面积为，求AD的长．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）由已知结合正弦定理即可直接求解sinC；（2）由已知结合三角形面积公式可求b，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求．【解答】解：（1）依题意得BD＝2，则BC＝3，在△ABC中，由正弦定理得：，即，所以．（2）因为，所以b＝4，由BD＝2CD可得，，则＝+，＝＝，所以．19．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，DB和EC都垂直于平面ABC，且EC＝BC＝3DB＝6，F为线段AE上一点，设AF＝λAE（0＜λ＜1）．（1）当λ为何值时，DF∥平面ABC；,（2）当二面角E﹣DF﹣C的余弦值为时，求四棱锥F﹣BCED的体积．【答案】（1）；（2）18．【分析】（1）作出辅助线，证明出DBHF为平行四边形，得到DF∥BH，从而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，设AF＝λAE，利用空间向量列出方程，求出，从而得到四棱锥的体积．【解答】解：（1）当时，F为AE上靠近点A的三等分点，取AC上靠近点A的三等分点H，连接FH，BH，则FH∥EC，且，又因为DB⊥面ABC，EC⊥面ABC，所以DB∥EC，又因为EC＝3BD＝6，所以BD＝2，于是BD∥FH且BD＝FH，所以四边形DBHF为平行四边形，所以DF∥BH，又DF⊄平面ABC，BH⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC，故当时，DF∥平面ABC；（2）根据题意，建系如图，则根据题意可得：A（3，3，0），D（0，0，2），C（0，6，0），E（0，6，6），,设F（m，n，t），∵，∴（m﹣3，n﹣3，t）＝λ（﹣3，3，6），∴m＝3﹣3λ，n＝3λ+3，t＝6λ，∴F（3﹣3λ，3+3λ，6λ），∴，设平面FDC的法向量为，则，取，又平面EDC的法向量为，∵二面角E﹣DF﹣C的余弦值为，∴，解得，此时．,20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为k（k≠0）的直线过点P，交C于A，B两点，且当时，|AF|+|BF|＝16．（1）求C的方程；（2）设C在A，B处的切线交于点Q，证明．【答案】（1）y2＝4x；（2）答案见解析．【分析】设斜率为k（k≠0）且过点P的直线为l：，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）代入m＝2，得l：，将其与C：y2＝2px（p＞0）联立，后由|AF|+|BF|＝16，结合韦达定理及抛物线定义可得答案；（2）利用Δ＝0表示出C在A，B处的切线方程，联立切线方程得Q坐标，注意到，说明即可．【解答】解：（1）设斜率为k（k≠0）且过点P的直线为l：，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2）．当时，l：，将其与C：y2＝2px（p＞0）联立，消去x得：y2﹣4py+p2＝0，由韦达定理有．,又由抛物线定义知|AF|+|BF|＝x1+x2+p，又x1+x2＝2（y1+y2）﹣p，结合|AF|+|BF|＝16，则8p＝16⇒p＝2．得C的方程为y2＝4x；（2）由（1）可得，P（﹣1，0），则l：x＝my﹣1，将其与抛物线方程联立，消去x得：y2﹣4my+4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝4．设C在A点处的切线方程为x＝m1（y﹣y1）+x1，C在B点处的切线方程为x＝m2（y﹣y2）+x2．将x＝m1（y﹣y1）+x1与y2＝4x联立，消去x得：y2﹣4m1y+4m1y1﹣4x1＝0，因x＝m1（y﹣y1）+x1为抛物线切线，则联立方程判别式Δ＝16﹣4（4m1y1﹣4x1）＝0，由＝4x1，可得16﹣4（4m1y1﹣）＝4（2m1﹣y1）2＝0，可得m1＝，同理可得m2＝，将两切线方程联立有，将m1，m2代入可得，可得Q（1，2m），则|AQ|2＝（x1﹣1）2+（y1﹣2m）2，又x1＝my1﹣1，即|AQ|2＝（my1﹣1）2+（y1﹣2m）2＝（1+m2）﹣8my1+4m2+4，同理可得|BQ2|＝（1+m2）﹣8my2+4m2+4，因为＝＝＝，要证＝，即证y1|BQ|2＝y2|AQ|2，,又因为y1|BQ|2＝（1+m2）y1﹣8my1y2+（4m2+4）y1，因y1y2＝4，所以y1|BQ|2＝4（1+m2）（y1+y2）﹣32m，同理可得y2|AQ|2＝4（1+m2）（y1+y2）﹣32m，即证y1|BQ|2＝y2|AQ|2成立，所以＝成立．21．（12分）已知函数f（x）＝（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．（1）当m＝2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y＝f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y＝f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m＝2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；,x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m＝1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则，故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0此时f（x）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”∴x1+x2的取值范围为,（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．↩[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ+5，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于点A，B．（1）将曲线C1、C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求弦AB的长．【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝9；；（2）2．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式和弦长公式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ+5，根据：，转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝9；曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为；（2）利用圆心（2，0）到直线的距离d＝，所以|AB|＝2．[选修4—5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝lg（|x﹣1|+|x+2|+a）．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）设g（x）＝|x﹣1|+|x+2|+a，当x∈[﹣2，1]时，g（x）≥|x﹣2a|成立，求a的取值范围．【答案】见试题解答内容【分析】（1）代入a＝﹣5，使真数有意义，分段解绝对值不等式即可；（2）由题成立转化为a+3≥|x﹣2a|成立，再由x的范围即可解出a的范围．【解答】解：（1）a＝﹣5时，要使函数有意义，则需满足|x﹣1|+|x+2|﹣5＞0，|x﹣1|+|x+2|﹣5＞0⇔或或，,⇔x＜﹣3或x＞2，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．（2）当x∈[﹣2，1]，|x﹣1|+|x+2|+a≥|x﹣2a|成立，即a+3≥|x﹣2a|成立，所以a≥﹣3且﹣a﹣3≤x﹣2a≤a+3，可得，而x∈[﹣2，1]，，x+3∈[1，4]，所以a的取值范围是