四川省绵阳南山中学实验学校2023届高考数学（文）冲刺五试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校高2023届毕业班高考冲刺五文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若复数为纯虚数，则a的值为（）A.-1B.1C.0或1D.-1或1【答案】B【解析】【分析】纯虚数只需让复数的实部为0，虚部不为0，因此可以对应列式，解出即可.【详解】由，解得，故选：B.2.设集合，B=，则（）A.{-2，-1，1}B.{-2，0，1}C.{-2，-1}D.{-1，1}【答案】A【解析】【分析】由题知，再根据集合的补集运算与交集运算求解即可.【详解】，则或，所以.故选：A.3.某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体1200名学生中抽80名学生做视力检查．现将1200名学生从1到1200进行编号，在1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从46～60这15个数中应抽取的数是(　　)A.47B.48C.51D.54【答案】C 【解析】【分析】利用系统抽样分析解答.【详解】因为采取系统抽样，每15人随机抽取一个人，在1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是6，所以在k组抽到的是6＋15(k－1)，所以46～60这15个数中应抽取的数是6＋15×3＝51，故选C.【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知向量满足，与的夹角为，则等于（）A.3B.C.21D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积的定义求出，由，结合向量数量积的运算律计算可得.【详解】，.故选：D.5.已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用两点间的距离公式表示，根据点M在双曲线上化简变形，即可得到所求范围.【详解】因为，所以，所以，又，消去得， ，所以.【点睛】本题考查双曲线的应用，考查两点间距离公式，考查化简变形的能力和运算能力，属于基础题.6.“”是“对任意的正数，均有”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式可判断充分性，取特值可判断不必要性.【详解】当，时，由基本不等式可知，故“”是“对任意的正数，均有”的充分条件；当时，成立，不成立，故“”是“对任意的正数，均有”的不必要条件.故选：A7.已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（）A.1B.2C.31D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.【详解】由得，①又，得，②由①②得，，.故选：A.8.将函数的图象向右平移个单位，得到函数 的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】化简函数，再根据给定条件求出，并求出含数0的递增区间，然后列式计算作答.【详解】依题意，函数，于是得，由，得：，因此，函数在上为增函数，而在上为增函数，于是得，解得，有，所以的最大值为2.故选：C9.斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为，故选：A 10.若数列满足且，则满足不等式的最大正整数为（）A.20B.19C.21D.22【答案】A【解析】【分析】由题意利用累乘法可得，解不等式即可得解.【详解】,当时，，，当时，，，又，，解得，又，故所求的最大值为.故答案为：A.【点睛】本题考查了累乘法求数列通项的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由条件结合圆与圆的位置关系可得点到直线的距离小于等于2，列不等式求的 取值范围.【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，设直线上的点满足条件，则以点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，所以，所以点到点的距离小于等于，所以点到直线的距离小于等于2，所以解得所以k的取值范围为，故选：A.12.已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（）①；②；③关于点对称；④A.①②B.②③C.①②④D.①③④【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【详解】对于①，由于都有， 所以令，则，即，因为，所以，所以①正确，对于②，令，则，所以，即，所以，所以②错误，对于③，令，则，所以，即，所以关于点对称，所以③正确，对于④，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以的周期为4，在中，令，则，因为，所以，，所以，所以，所以④正确，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某射箭运动员一次射箭击中10环、9环、8环的概率分别是0.2，0.3，0.3，那么他射箭一次低于8环的概率是________【答案】0.2【解析】【分析】根据所求的独立事件与它的对立事件概率的关系计算即可.【详解】由题意知， (射箭一次不够8环)=1-P(射箭一次大于等于8环)=1-0.2-0.3-0.3=0.2故答案为：0.214.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．【答案】##-05【解析】【分析】根据奇函数的定义，结合指对数的运算法则，即可得答案.【详解】因为，所以由为奇函数得：．故答案为：15.在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积.【详解】由题意可知两两垂直，且，将三棱锥补成一个长方体，如图所示，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为，，得，所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为： 16.已知点是抛物线上的一点，是的焦点，是的中点，，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】设点，由向量坐标运算可得，利用基本不等式求其最小值即可.【详解】依题意，，设，则，因为在抛物线上，所以得，即，由，得，，，所以，令，，则，，当即时，，；当即时，，当且仅当，即时取等号，此时. 综上所述，的最小值为.故答案为：三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，的面积为2，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到，从而求出；（2）由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依题意，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以所以所以【小问2详解】解：因为的面积，所以，即，所以，由余弦定理得，所以，因为平分，所以，所以，所以，所以，所以18.新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.日期代码x12345678累计确诊人数y481631517197122 为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）选择模型①，理由见解析（2）（3）157【解析】【分析】（1）选择模型①.根据残差的意义直接判断；（2）套公式求出系数，即可得到y关于x的回归方程；（3）将代入，即可求得.【小问1详解】选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好【小问2详解】 由（1），知y关于x的回归方程为，令，则.由所给数据得：，，.，∴y关于x的回归方程为，【小问3详解】将代入上式，得(人)，所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人.19.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形.（1）证明：平面平面；（2）若，且，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据是菱形，得到，且为的中点，再由，得到，进而得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）解法一：由（1）知平面平面，利用面面垂直的性质定理得到平面，从而由求解；解法二：易得三棱锥是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，从而由求解；解法三：取中点，连接交于点，连接.由是等边三角形，得到，再由，得到平面，从而，再由，得到平面，然后由四棱锥的体积为 求解.【小问1详解】证明：如图所示：连接交于点，连接，因为是菱形，所以，且为的中点，因为，所以，又因为平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】解法一：由（1）可知，平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以，由已知可得，又，且为的中点.所以，又，所以，所以，所以.解法二：由已知可得：为正三角形，且，又，且为的中点，所以，又，所以，从而， 所以三棱锥是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，所以.解法三：如图所示：取中点，连接交于点，连接.因为，所以是等边三角形，所以，又因平面，所以平面平面，所以，由（1）知，且平面，所以平面.由是边长为2的菱形，在中，，由，在中，，所以.所以四棱锥的体积为.20.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的离心率；（2）平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出点坐标，即可求出的方程，利用点到直线的距离公式得到，整理即可求出离心率；（2）由（1）问可设椭圆方程为，即可得到点坐标，从而得到的斜率，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可求出、，即可得到方程.【小问1详解】由题设及，不妨设，所以，，解得或（舍去），从而，直线的方程为，整理得，原点到直线的距离为，将代入整理得，即，所以离心率.【小问2详解】由（1）问可设椭圆方程为，则，因为，所以为平行四边形，所以直线过点，则斜率为，则设直线方程为， 联立椭圆方程得，显然，则，则，解得（负值舍去），所以，所以椭圆方程为.21.已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因为，所以， ，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小 值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，圆普通方程为.在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程.（1）求曲线与轴交点（非极点）的极坐标；（2）若射线与圆和曲线分别交于点，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别令、代入曲线的极坐标方程即可计算得曲线与轴交点（非极点）的极坐标；（2）写出圆的极坐标方程，将代入圆和曲线的极坐标方程，从而根据的几何意义表示出并利用二倍角公式化简得，利用换元法令，再构造新函数，判断函数的单调性，从而可求解出的最大值.【小问1详解】在曲线中，令，则； 令，则.因为和重合，则曲线与轴交点的极坐标为；【小问2详解】圆的普通方程为，所以圆的极坐标方程为，则所以.令，，∴，令，则函数在上单调递增，所以当，即时，取得最大值23.已知函数的值域为.（1）求；（2）证明：当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的性质即可求解.（2）利用平方后作差,转化成的形式,然后根据第一问的范围即可证明差与0的关系,即可求解. 【小问1详解】因为，所以的值域为，即.【小问2详解】证明：由，由有，，可得，，