河南省菁师联盟2024届高三上学期8月联考数学试题（Word版附解析）

2024届8月质量监测考试数学试卷满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数，则以下为实数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方和四则运算即可得到答案.【详解】对A，，其不是实数，故A错误；对B，，则其为实数，故B正确；对C，，其不是实数，故C错误；对D，，其不是实数，故D错误.故选：B.2.全集，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合对数函数单调性求集合N，进而根据集合间的运算求解.【详解】令，解得，所以，因为，则，所以.故选：C.3.函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊点法判断即可.【详解】因为，所以，故排除C；，故排除B； 而，所以在不可能单调递减，故排除D；因为排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确.故选：A.4.已知函数，则（）A.为奇函数B.为偶函数C.图象关于中心对称D.图象关于轴对称【答案】C【解析】【分析】对于选项AB：根据函数的奇偶性定义对其判断；对于选项CD：根据函数中心对称或轴对称定义对其判断.【详解】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误；对于选项B：，则不是偶函数，故B错误；对于选项C：，故的图象关于点中心对称，故C正确；对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误；故选：C.5.，两个相邻的零点分别为：，则以下是对称轴的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用余弦函数的性质求出对称轴作答.【详解】依题意，函数的周期，，于是，由，得，即，因此，由，得，即图象的对称轴是，当时，，即是图象的对称轴，B是；显然，，都不可能化成的整数倍，即ACD不是.故选：B6.高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（）A.12B.15C.20D.21【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，选中高二1班的同学有种方法，高二1班的同学没选中有，所以2人来自不同班的选法种数为.故选：B7.圆台轴截面面积为，上下底面半径之比为，母线与底面所成角为，则圆台侧面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出轴截面，利用等腰梯形面积公式求出上下底面半径和母线长，再利用圆台侧面积公式即可得到答案.【详解】作出轴截面，则四边形为等腰梯形，，过点作，设上底面半径长为，则下底面半径长为，则上底面直径，下底面直径， 则，则，则，解得，则上底面半径，下底面半径，母线，则圆台侧面积.故选：C.8.正四棱柱中，，二面角为，则直线与直线所成角的余弦值为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】由二面角的大小求出，再利用几何法求出异面直线夹角的余弦作答.【详解】在正四棱柱中，令，连接，如图，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，于是，即是二面角的平面角，有， 而四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，令，由，得，显然，因此是正三角形，，解得，则，由于四边形是矩形，则有，从而是异面直线与所成的角，.故选：D【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.教材《必修一》上有结论：对且，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用给定的结论计算判断AB；利用诱导公式结合A选项计算判断C；利用正弦函数性质判断D作答. 【详解】依题意，取，则，，因此，A正确；，B错误；由选项A知，，因此，C正确；显然，D错误.故选：AC10.双曲线左右焦点分别为，右支上有点，的面积为4，则（）A.双曲线的渐近线斜率为B.C.D.外接圆半径为【答案】ACD【解析】【分析】利用双曲线的方程得到渐近线方程可判断A；利用双曲线的定义可判断B；利用的面积求得的坐标，从而利用向量垂直的坐标表示判断C；利用直角三角形的性质可判断D.【详解】因为双曲线可化为，所以，，，则双曲线的渐近线方程为，即斜率为，故A正确；由双曲线的定义可得，故B错误； 不妨设，因为的面积为4，所以，则，又，则，故，所以，则，所以，则，故C正确；因为为的中点，，所以为外接圆的圆心，所以外接圆半径，故D正确.故选：ACD.11.平面区域被直线分成面积相等的两部分，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】因为平面区域表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，直线表示倾斜角为，过定点的直线，根据面积关系可得，构建函数，利用判断其单调性，结合单调性逐项分析判断.【详解】因为，整理得，表示以为圆心，半径为2的上半圆，可知，表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，又因为直线，表示倾斜角为，过定点的直线，设直线与半圆的另一个交点为，，可知：，且，则， 可得直线的下半部分的面积为，由题意可得：，整理得，即.令，则为的零点，且，所以在上单调递增.对于选项A：因为，即，故A错误；对于选项B：因为，且在上单调递增，所以，故B正确；对于选项C：因为，则，由选项B可知：，所以，故C错误；对于选项D：因为，故D正确；故选：BD.12.与交于为曲线上的动点，则（）A.到直线距离最小值为B.C.存在点，使得为等边三角形D.最小值为1【答案】ABD【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离结合基本不等式即可判断A，求出坐标，计算出的表达式，利用换元法和配方法即可判断BD，通过假设存在这样的等边三角形，利用等边三角形性质求出点的坐标，再进行验证即可.【详解】设，对A，则点到直线的距离，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对B,D，联立有，解得或，则不妨假设，，则，，令，，因为在上均为单调增函数，则，在上也为单调增函数，且，时，，时，，且函数图象在上连续不间断，则，则，当，即，即或（舍去）时取等，故BD正确.对C，若要为等边三角形，则首先点为线段的垂直平分线和曲线的交点，因为，则的中点坐标为，则垂直平分线的所在直线的方程为，即，将其与曲线联立得解得或（舍去）， 此时，而，则，则不存在点，使得为等边三角形，故C错误.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用设点，再求出点坐标，写出相关向量，利用点到直线的距离公式、基本不等式以及换元法等进行求解相关最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知：，则大小关系是_________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.【详解】由，得，因此，显然，则，所以大小关系是.故答案为：14.抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为_________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，推理论证与抛物线准线垂直，再借助抛物线定义求解作答.【详解】抛物线焦点为，点在准线上， 在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，于是，令，则，解得，所以点坐标为.故答案为：15.函数是上的增函数，则的取值范围_________．【答案】【解析】【分析】求导，根据题意分析可得在上恒成立，进而可得，分和两种情况，结合对数函数单调性解不等式即可.【详解】由题意可得：，因为函数是上的增函数，则在上恒成立，且，可得，即当时，则，可得，且在上单调递增，则，解得；当时，则，可得， 且在上单调递增，则，无解；综上所述：的取值范围为.故答案为：.16.数列满足：，则_________．【答案】512【解析】【分析】根据题意可得，进而可得，故从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.【详解】当时，则；当时，可得，且，则，可得：从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，综上所述：.故答案为：512.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.数列，满足：，且数列为等比数列，（1）求通项公式；（2）设，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：数列为等比数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；（2）根据题意利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【小问1详解】由题意可得：，则，所以数列为等比数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则，可得.【小问2详解】因为，则，所以.18.锐角中，．（1）求；（2）内有点，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出边b，再利用余弦定理求出作答.（2）设，利用表示线段，再利用正弦定理求出，然后利用三角形面积公式求解作答.【小问1详解】在锐角中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，，， 此时都是锐角，符合题意，，当时，，即，是钝角，不符合题意，所以.【小问2详解】由（1）知，设，由，得，，在中，，由正弦定理得，显然，由，得，即，整理得，即，显然，因此，所以.19.四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，． （1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.（2）利用（1）中的坐标系，利用空间向量求出二面角的正弦作答.【小问1详解】四棱锥中，底面矩形，平面，则两两垂直，以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，设，由，得，中点，则，由，得，而，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得， 令二面角的夹角为，则，，所以二面角的正弦值为.20.已脱贫的西部地区某贫困县，巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，利用当地自然条件，在山上发展果树种植，现已开始大量结果，为了普及果树种植技术，该县举办“果树种植技术知识竞赛”，竞赛规则如下：先进行预赛，预赛共进行四轮答题比赛，在每轮答题比赛中，选手可选易，中，难三类题中的一题，答对得分，答错不得分，四轮答题中，易，中，难三类题中的每一类题最多选两个，预赛的四轮答题比赛得分不低于10分的进入决赛，某选手A答对各题相互独立，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率答对得分345（1）若选手A前两轮都选择了中等难度题，且对了一题，错了一题，请你为选手A计划后两轮应该怎样选择答题，使得进入决赛的可能性更大，并说明理由；（2）选手A四轮答题中，选择了一个容易题，两个中等难度题，一个难题，已知容易题答对，记选手A预赛四轮答题比赛得分总和为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）都选择容易题进行答题；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定后两轮的选择方案，再利用相互独立事件的概率公式计算比较作答.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望作答.【小问1详解】依题意，选手A前两轮都选择了中等难度题，两轮得分和为4，于是选手A后两轮的选择有3种方案，方案一：都选择容易题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率； 方案二：都选择难题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；方案三：容易题、难题各选1道，则必须都答正确，于是进入决赛的概率，显然，所以后两轮都选择容易题进行答题，进入决赛的可能性更大.【小问2详解】依题意，可能值为：，则；；；；；，所以的分布列为：378111216数学期望为.21.椭圆的左右顶点分别为是栯圆上一点，．（1）求椭圆方程；（2）动直线交椭圆于两点，求面积取最大时的的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出作答.（2）结合（1）求出长，及点到直线的距离，列出三角形面积的函数关系，利用导数探讨函数最大值情况作答.【小问1详解】 在椭圆中，，而在椭圆上，且，因此，解得，显然，则，所以椭圆方程为.【小问2详解】直线与椭圆交于两点，则，把代入方程得：，由椭圆的对称性知，点到直线的距离，当时，得的面积，令，求导得，由，得，当或时，，当或时，，因此函数在上递增，在上递减，而，，显然，于是当时，函数取得最大值，此时面积取得最大值，所以当面积取最大时，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．22.有两个零点．（1）时，求的范围；（2）且时，求证：．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）将函数零点与方程的根联系起来，进一步分离参数构造新的函数，利用导数研究其性态即可求解.（2）当时由及的两个零点之间的距离可得.【小问1详解】时，，由题意的两个零点即为方程的两个根，分离参数即得，令， 对其求导得，设，则，所以在定义域上面单调递减，注意到，所以随的变化情况如下表：所以有极大值（最大值），又当时，；当时，，若方程有两个根，则，即的取值范围为.【小问2详解】因为，设，所以当且时有，进而有，且的函数图像恒在的函数图象上方，不妨设的两个零点为（且），如图所示： 因此的两个零点在二次函数两个零点之内，所以有，令，则其二次项系数、一次项系数、常数项分步为，其判别式，又，所以，综上，有，命题得证.【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于将函数零点转化为方程的根进一步分离参数，至于第二问的关键是进行放缩，进而去发现相应零点之间的变化.