江苏省海安高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

2024届高三年级12月份数学学科测试试卷2023.12注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设集合，集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（）A.3B.C.2D.3.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.4.已知平面向量，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.5.《RhindPapyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.B.C.D.6.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为4，则（）A.12B.14C.16D.187.已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在直线为，直线的方程为，则（）A.，且与圆相离B.，且与圆相切C.，且与圆相交D.，且与圆相离 8.已知，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.甲､乙两地12月初连续7天的日最高气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（）A.甲地日最高气温的平均数为B.甲地日最高气温的极差为C.乙地日最高气温的众数为D.乙地日最高气温的中位数为10.已知为正实数，，则（）A.的最大值为1B.的最小值3C.的最小值为D.的最小值为11.在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（）A.平面B.C.三棱锥的体积是定值D.三棱锥的外接球的表面积是12.定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（）A.B.在上是增函数C.是周期函数D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.“北依长江，南临太湖､江苏之南，明珠无锡.总要来趟无锡吧”!某游客从鼋头渚､梅园､蠡园､锡惠公园､灵山胜境､拈花湾六个景点中任选三个进行游览，则他选中鼋头渚的概率为__________.14，若某圆锥高为4，其侧面积与底面积之比为3：1，则该圆锥的体积为__________.15.已知函数图象上有一最低点，将此函数的图象向左平移个单位长度得的图象，若函数的图象在处的切线与的图象恰好有三个公共点，则的值是__________.16.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分､请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，且的面积为，求角的角平分线的长.18.（本题满分12分）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.（1）从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；（2）甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.（参考数据：若，则，19.（本题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.20.（本题满分12分）已知数列的首项，且满足，记.（1）证明：是等比数列；（2）记，证明；数列的前项和.21.（本题满分12分）将圆上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点，为轴上一点.（1）求曲线的方程；（2）连接交曲线于点，过点作轴的垂线交曲线于另一点.记的面积为，记的面积为，求的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数.（1）求函数（其中）的单调区间；（2）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围. 12月数学测试参考答案1-8BDCBBCAD9.AD10.ABD11.ACD12.ABD13.14.15.16.17.（1）由题设及正弦定理得.因为，所以.由，可得，故.因为，故，因此.（2）因为，所以设的角平分线交于，因为，所以，所以18.（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，所以，则即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.（2）的可能取值为，则随机变量的分布列为 0123所以.19.（1）证明：平面平面.又平面平面，又平面平面平面；（2）取中点为，连接，因为，则，即四边形为矩形，故，又平面平面，则可得两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，易证，又，所以点是的重心，，又，设平面的一个法向量，则，即，取，设与平面所成角为， .化简得，，解得或或，即的长度为或.20.（1）因为，所以，所以，因为，所以；因为，所以，所以，所以是以5为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，因为，所以得证.21.（1）设曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为，由题意可得，因为，所以曲线的方程为；（2）连接交轴于点.直线，联立解得点， 因为关于轴对称，所以所以直线，所以，所以因为，所以.法二：（转化为到的距离与到距离之比）22.（1），因为，所以①当时，恒成立，此时在上单调递增；②当时，.当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，当时，当时，此时在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，的增区间为；无减区间；当时，增区间为；减区间为.（2）不等式对一切正实数恒成立，即对一切正实数恒成立. 当时，，则；当时，，则.因此当时，恒成立.又当时，，故当时，恒成立.下面讨论的情形.当且时，.设且记.①当，即时，恒成立，故在及上单调递增.于是当时，，又，故，即.当时，，又，故，即.又当时，.因此当时，对一切正实数恒成立.②当，即时，设的两个不等实根分别为.函数图像的对称轴为，又，于是.故当时，，即，从而在在单调递减；而当时，，此时，于是，即，因此当时，对一切正实数不恒成立.