内蒙古赤峰二中2023-2024学年高三上学期第四次月考数学试题（文）（Word版附解析）

赤峰二中2021级高三上学期第四次月考文科数学试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．2．设，（是虚数单位），则（    ）A．B．C．D．3．下面的折线图统计了2017-2022年中国人用疫苗进出口均价，则下述结论不正确的是（    ）A．出口均价最高约为3200美元/千克B．2019年至2021年进口均价与出口均价均呈上涨趋势C．出口均价的中位数低于1500D．进口均价的方差大于出口均价的方差4．已知，，c=40.1，则（    ）A．B．C．D．5．已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2)，a2+a4+a6=12，a1+a3+a5=9，则a3+a4=（    ）A．6B．7C．8D．96．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是（    ）A．B．C．D．7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的的值为（    ） A．45B．60C．75D．908．已知λ∈R，函数，若f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是（    ）A．(1，3]B．(4，＋∞)C．(3，4]D．(1，3]∪(4，＋∞)9．如图，点是抛物线的焦点，点A、B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ）A．B．C．D．10．设是的外心，若，则的度数等于（    ）A．B．C．D．11．关于函数有下述四个结论：①的最小正周期为；②的最大值为；③的最小值为；④在区间上单调递增；其中所有正确结论的编号是（    ）A．①②④B．①③④C．①③D．②④12．在三棱锥中，侧棱，则其外接球的表面积是（    ）A．B．C．D． 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为．14．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为．15．已知数列的前项和为，且满足，则．16．如图，已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分。17．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．18．的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长． 19．如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求四面体的体积.20．椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.（1）证明：直线与直线的斜率之积为定值；（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.21．已知函数.（1）设曲线在处的切线为，求证：；（2）若有两个根，，求证：.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，圆．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．(1)判断圆与圆的位置关系；(2)若直线的极坐标方程为，直线与轴交于点，与圆交于两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值． 高三月考文科数学参考答案（12.22）一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案DCDABCCDACBB二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.15.16.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【详解】（1）由题意，有，解得；（2）这种植物果实重量的平均数约为：，∴这种植物果实重量的平均数的估计值约为.（3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为，由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为，∴这批果实中的优质果实的个数约为个.18．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得．又，所以．因为，所以．又，所以，．（2）的面积，则．由余弦定理：，得，所以，故的周长为．19．【详解】（1）证明：设为的中点，连接、，∵为的中点，为的中点， ∴，，∴，∴∥，∵平面，平面∴平面；（2）证明：∵，是的中点∴，又∵平面，平面，∴，∵，，∴平面，∵，∴，∵，∴平面，∴平面，平面，∴平面平面；（3）由（2）知，平面，∴为四面体的高，又，∴，，，∴，∴四面体的体积.20．【详解】（1）由题意，设点, 则直线的斜率为，直线的斜率为，所以，又由点在椭圆上，可得，即，所以，即直线与直线的斜率之积为定值.（2）由直线过点，所以直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，则，即，又由直线，直线，联立方程组，可得，整理得，解得，即点又由向量，所以（定值），即为定值.21．【详解】证明：（1）由于，则，又，所以在处的切线方程为，即，令，则， 于是当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，即.（2）不妨设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，当且仅当，时取等号.下证：.由于，所以，即证：，令，则，当时，；当，；所以在上单调递减，在上单调递增；故，即成立，当且仅当，时取等号.由于等号成立的条件不能同时满足，所以.22．【详解】（1）由，得，将代入上式，得圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为；圆与圆圆心之间的距离，因为，所以圆与圆相交．（2）由，得，将代入上式，得直线的直角坐标方程为． 则直线与轴的交点为，直线的参数方程为（为参数），代入，得，，设两点对应的参数分别为，所以，所以，，（由可知同号）所以．23．【详解】（1）由，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上得，所以不等式的解集为；（2）因，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为8，即，，而，，为正实数，则，当且仅当时取“=”，由得，所以时的最小值为