新疆生产建设兵团第二中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

兵团二中2023年高三年级第四次月考数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设集合，，若，则（）A.B.C.D.2.设复数z满足，且z在复平面内对应的点为则满足（）AB.C.D.3.已知α、β是空间中两个不重合平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则4.已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（）A.B.C.D.5.以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（）A.B.C.D.6.下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（） A.B.C.D.7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（）A.14B.12C.10D.88.若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是.现已知，的差倒数是，的差倒数是，以此类推，则（）A.B.C.D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．9.已知是所有棱长都相等的直棱柱，则下列命题中正确的是（）A.当点在棱上，直线与侧面所成角最大为；B.当点在棱上（端点除外），点在棱上（端点除外），直线与直线可能相交；C.当点在侧面内，点在侧面内，存在直线垂直侧面；D.当点分别在三个侧面上，存在直角三角形.10.已知函数的图像关于点中心对称，则（） A.在区间单调递减B.在区间有两个极值点C.直线是曲线对称轴D.直线是曲线的切线11.已知函数的定义域为，，则（）A.B.C.是奇函数D.是偶函数12.小明有一条长度为A的木棍，小华有一条长度为B的木棍，小明先将自己的木棍分成3段，然后小华也将自己的木棍分成3段，如果可用分成的6段木棍拼成2个三角形，则小华获胜；否则小明获胜，如果二人在采用最优策略的前提下小明必胜，那么有序数对可能是下面的（　　）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.二项式的各项系数之和为，则展开式中常数项为____.14.甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这个景点中随机选一个．事件甲和乙选择的景点不同，事件甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率____；15.直线被圆截得的弦的中点为，且，若点关于原点的对称点恰在圆上，则圆的标准方程为____；16.若，设的零点分别为，，…，，则n＝_______________；_______________．（其中为a向上取整，例如：，） 四、解答题：本大题共6小题，17小题10分，18~22每小题12分，共计70分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣bcosA＝c．(1)求证：tanA＝3tanB；(2)若B＝45°，b＝，求△ABC的面积．19.如图，在正方形中，点为上动点，点为上动点，满足，将、分别沿、折起，使、两点重合于点．（1）证明：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．20.减脂是现在很热的话题，人体内的脂肪会受年龄的影响而不同，为了解脂肪和年龄是否有关系，某兴趣小组得到年龄和脂肪观测值的如下数据：年龄2327394145505356脂肪值9.517.821.225.927.528229.631.4并计算得．（1）求年龄和脂肪值的样本相关系数（精确到0.01）；（2）已知年龄和脂肪观测值近似成正比．利用以上数据给出年龄35岁的脂肪观测值的估计值．附：相关系数． 21.已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆有且仅有一个交点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，若，试求直线在轴上的截距的取值范围.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围． 兵团二中2023年高三年级第四次月考数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设集合，，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合关系，确定中一定有元素，分和两种情况讨论，确定值.【详解】由已知，若，则，，此时，，满足，符合题意；若，，，集合中有两个相同元素，不满足集合元素的互异性，不符合题意.综上有.故选：D2.设复数z满足，且z在复平面内对应点为则满足（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】 设，代入，再由复数模的计算公式求解.【详解】设，由得：，即，故选：A【点睛】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.已知α、β是空间中两个不重合的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】由平面的基本性质，结合线线、线面关系及平面法向量概念判断各项正误.【详解】A：若，，则或，错；B：若，，则与相交或，不一定有，错；C：若，，，则平行或相交，错；D：若，，则直线的方向向量分别为的法向量，又，即平面法向量垂直，所以，对.故选：D4.已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到.【详解】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为，又，得：，解得：，则，故选：C.5.以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为，由题意可得出、关于、的关系式，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，由题意可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为，因为所求双曲线的顶点为椭圆的焦点，则，而双曲线焦点在轴上，且双曲线的焦点为椭圆的顶点，则，可得，因此，所求双曲线的标准方程为.故选：C. 6.下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意对于AC，举出反例说明其不是偶函数即可；对于D，举出反例说明其在区间上不是增函数即可；对于B，按偶函数的定义证明并且由幂函数的单调性判断即可.【详解】对于A，，故不是偶函数，不符题意；对于B，因为幂函数满足，且其定义域为关于原点对称，所以是偶函数，且，所以在区间上是增函数，符合题意；对于C，，故不是偶函数，不符题意；对于D，，所以在区间上不是增函数，不符题意.故选：B.7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（） A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】【分析】通过转化得：，展开，利用向量数量积的定义计算即可.【详解】如图：连接因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以，，，.所以.故选：A8.若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是.现已知，的差倒数是，的差倒数是，以此类推，则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】列出递推公式，依次求数列的各项，观察总结规律.【详解】由题意：数列中，，，故：，，，可知：，所以.故选：A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．9.已知是所有棱长都相等的直棱柱，则下列命题中正确的是（）A.当点在棱上，直线与侧面所成角最大为；B.当点在棱上（端点除外），点在棱上（端点除外），直线与直线可能相交；C.当点在侧面内，点在侧面内，存在直线垂直侧面；D.当点分别在三个侧面上，存在是直角三角形.【答案】BD【解析】【分析】对A，取中点连接，易得为与侧面所成的角，由图分析得，当最小时，最大，运算得解；对B，当是中点，是中点时易判断；对C，利用反证法分析判断；对D，当D是中点，E是中点，F是靠近点的四等分点时易判断.【详解】对于A，如图1，取中点连接，因为三棱柱所有棱长相等，所有三棱柱为正三棱柱，所以，又平面，，可得平面，连接，则为与侧面所成的角，设三棱柱的棱长为2，则，， 当最小时，最大，显然当是中点时，最小为2，此时，即，所以直线与侧面所成角的最大值不可能为，故A错误；对于B，当是中点，是中点时，，所以，此时共面，所以直线与直线相交，故B正确；对于C，设点，点在底面上的投影分别是点，点，连接，，则，即四点共面，假设存在直线垂直侧面，则，又，所以平面，可得，而根据题意不可能垂直，所以不存在直线垂直侧面.故C错误；对于D，如图2，当D是中点，E是中点，F是靠近点的四等分点时，有，所以是直角三角形.故D正确.故选：BD.10.已知函数的图像关于点中心对称，则（）A.在区间单调递减B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线的切线 【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．11.已知函数的定义域为，，则（） A.B.C.是奇函数D.是偶函数【答案】ABD【解析】【分析】利用特殊值法，结合奇偶函数的定义，可得答案.【详解】对于A，在等式，令，则，故A正确；对于B，在等式，令，则，再令，则，解得，故B正确；对于D，在等式，令，则，所以，即函数为偶函数，故D正确，对C，举例函数满足题意，但其显然不是奇函数，故C错误；故选：ABD.12.小明有一条长度为A的木棍，小华有一条长度为B的木棍，小明先将自己的木棍分成3段，然后小华也将自己的木棍分成3段，如果可用分成的6段木棍拼成2个三角形，则小华获胜；否则小明获胜，如果二人在采用最优策略的前提下小明必胜，那么有序数对可能是下面的（　　）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据三角形的性质进行分析可得出结论.【详解】设，小明把木棍分成三段，则，所以，即，由此可知，小华无论怎样将他持有的木棍分成3段，除外的其他5段木棍中任意两条的长度之和都小于，所以无法与长为的木棍组成三角形，故小明胜. 故选：BC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.二项式的各项系数之和为，则展开式中常数项为____.【答案】【解析】【分析】利用二项式的各项系数和求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】在二项式中，令，可得二项式的各项系数之和为，解得，所以，的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故答案为：.14.甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这个景点中随机选一个．事件甲和乙选择的景点不同，事件甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率____；【答案】##【解析】【分析】计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这个景点中随机选一个．事件甲和乙选择的景点不同，则，事件甲和乙恰好有一人选择九寨沟，则事件甲和乙中一人选九寨沟，另一人选峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山中的一个景点，所以，，由条件概率公式可得.故答案为：.15.直线被圆截得弦的中点为，且，若点关于原点的对称点恰在圆上，则圆的标准方程为____；【答案】【解析】【分析】先用待定系数法设出圆的标准方程，根据圆心所在直线，点在圆上，弦长列方程组，求出待定系数.【详解】过点且垂直于直线的直线方程是：，圆心就在这条直线上.关于原点的对称点是在所求圆上.设所求圆的方程为：，有题意得：， 解得：，所求圆的方程为：.故答案为：16.若，设的零点分别为，，…，，则n＝_______________；_______________．（其中为a向上取整，例如：，）【答案】①.3②.7【解析】【分析】先利用对数恒等式的等价转化，使得变成的形式，结合的性质，讨论，的关系.【详解】令，则，利用对数恒等式，原式等价变为：，令，于是，由可知在上递减，上递增，在取到极小值，当趋近于时趋近于0，趋近于0且时，趋近于，趋近于0且时，趋近于，可作出大致图像如下：结合图像，可能有如下情形： 由的单调性可知，若均在中的一种时，则有.记，，即在上递增，由，则，故，使得；显然在上递增，由，故时，，故时，；又，故，使得，故时；不可能均满足，事实上，由，得到，这与矛盾.于是时，由可以推出：.设，，由在上单调递增，故在上单调递增，又，，即，故，使得，且时，，递减，时，，递增，故，由，可得，由，根据基本不等式，（等号取不到），故，又，，故存在，使得；，显然，故，即；，显然，故，即. 由，故，使得.注意到，故.综上讨论，当时原方程有两个根：，；虽说，，根据上述讨论，在上无实根.即时，有两个零点：，.当时，，而时，，，而在处无定义，不可能有，即时，无零点；当时，注意到且趋近于1时，趋近于，又，故时，存在零点，即，使得，若，且，不妨设，由于均在上单调递增，故，，在上递减，在递增，故，于是是唯一实根.综上所述，原函数有，，三个零点，.故答案为：【点睛】本题难点在于利用对数恒等式将方程等价转化，用同构的观点利用方程构造出函数的形式，然后利用的性质解题.四、解答题：本大题共6小题，17小题10分，18~22每小题12分，共计70分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法可求得.【小问1详解】解：因为数列满足，，则，且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，所以，，则.【小问2详解】解：因为，所以，.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣bcosA＝c．(1)求证：tanA＝3tanB；(2)若B＝45°，b＝，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)3.【解析】【分析】(1)题中等式利用正弦定理化简，利用同角三角函数间基本关系整理即可得证；(2)由tanB的值确定出tanA的值，进而求出sinA与cosA的值，由sinC＝sin(A＋B)求出sinC，利用正弦定理求出c，利用三角形面积公式即可求出△ABC面积．【详解】(1)，由正弦定理得： ，整理得：，，(2)，A∈(0，π)，，，由正弦定理得，，，19.如图，在正方形中，点为上动点，点为上动点，满足，将、分别沿、折起，使、两点重合于点．（1）证明：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】翻折前，因为四边形是正方形，则，，翻折后，则有，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，故.【小问2详解】设，因为，则在三棱锥中，，，由题意可知，，又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角的余弦值为.20.减脂是现在很热的话题，人体内的脂肪会受年龄的影响而不同，为了解脂肪和年龄是否有关系，某兴趣小组得到年龄和脂肪观测值的如下数据：年龄2327394145505356脂肪值9.517.821.225.927.528.229.631.4并计算得．（1）求年龄和脂肪值的样本相关系数（精确到0.01）；（2）已知年龄和脂肪观测值近似成正比．利用以上数据给出年龄35岁的脂肪观测值的估计值．附：相关系数．【答案】（1）0.96（2）20【解析】【分析】（1）根据相关系数的求解公式，可得答案；（2）根据样本中心，结合题意中的中比，可得答案.【小问1详解】.【小问2详解】设年龄35岁的脂肪观测值的估计值为，又已知年龄和脂肪观测值近似成正比，可得，解得，所以年龄35岁的脂肪观测值的估计值为.21.已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆有且仅有一个交点.（1）求椭圆的标准方程； （2）直线交椭圆于、两点，若，试求直线在轴上的截距的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，可得出、的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为（其中为直线在轴上的截距），设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，结合可得出，结合可解得的取值范围，即为所求.【小问1详解】解：因为椭圆的右焦点为，则，又因为直线与椭圆有且仅有一个交点，联立可得，则方程有且仅有一个解，所以，，整理可得，又因为，所以，，，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】解：由题意可知，为椭圆的右焦点， 依题意，设直线的方程为（其中为直线在轴上的截距），设点、，联立可得，，即，由韦达定理可得，，因为，，所以，，同理可得，所以，，整理可得，又因为，所以，，即，所以，，又因为，则，解得或.因此，直线在轴上的截距的取值范围是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，然后分，，，四种情况分别讨论即可求解；（2）根据（1）结论分析可得①②③不符合题意，则，根据函数零点存在定理可得当时，函数在区间、和上各有一个零点.【小问1详解】解：，①当时，00单调递减极小值单调递增②当时，000单调递增极大值单调递减极小值单调递增 ③当时，在R上单调递增，④当时，000单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上可得：当时，在上单调递减，上单调递增，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，当时，在R上为增函数，当时，在单调递增，上单调递减，上单调递增，【小问2详解】解：由（1）可知①③两种情况显然不符合题意，当时，，不符合题意，当时，i）在区间上单调递增，，，使得，ii）在区间上单调递减，，令，设，，在区间上单调递减，又， ，即时，，使得，iii）在区间上单调递增，当时，，令，，在区间上单调递增，恒成立，即，，时，，，此时，使得．综上，实数a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是当时，利用函数零点存在定理分别判断函数在区间、和上各有一个零点.