四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（三）（Word版附解析）

高二上期末模拟三一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（）A.1B.3C.7D.【答案】B【解析】【分析】点到平面的距离即为y轴坐标的绝对值.【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离.故选：B2.若直线与垂直，则（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线垂直的充要条件得解.【详解】因为直线与垂直，所以，解得，故选：A3.已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可．【详解】圆：，即，圆心坐标，半径为3，圆心到的距离为5，所以切线长为．故选：B 4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.【详解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B.5.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（）A.甲12000元，乙12000元B.甲16000元，乙8000元C.甲20000元，乙4000元D.甲18000元，乙6000元【答案】D【解析】【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，所以甲元，乙元，故选：D6.已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，所以，，当且仅当、、三点共线时，取最小值.故选：B.7.已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，证明平面,不妨设,以为基底的空间向量，,再求解，从而求出，根据是异面直线，求解其余弦值.【详解】已知等腰直角三角形,点中点，则, 沿着翻折平面可得,所以,又,平面，所以平面不妨设,则，以为基底的空间向量，所以，则所以，因为是异面直线，所以异面直线的余弦值为.故选：B8.已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，因为直线与C无公共点，所以，即，所以，又，所以C离心率的取值范围为.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A错误；对于B,事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；对于C，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C正确；对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，故选：BC 10.圆与圆的公切线的方程可能为（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径，由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆与圆的位置关系为相交．由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2．设公切线的方程为，即，由，得，所以公切线的方程为或．故选：CD11.某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（　　）A.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；C.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D.若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.【答案】AC【解析】【分析】根据分层抽样、方差、平均数、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确. C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.B选项，样本方差为，所以B选项错误.D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.故选：AC12.已知抛物线过点，的焦点为，.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点O重合），且，则下列结论正确的是（）A.B.C.两点的纵坐标之积为－64D.直线l恒过点【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用抛物线焦半径公式可求得；对于B，将点代入抛物线方程即可得解；对于C，由向量的数量积公式得到，进面求得；对于D，联立直线与抛物线方程求得，从而得解.【详解】∵，∴，∴，则的方程为，故A正确；将点的坐标代入C的方程得，故，故B错误；设，，∵，∴，∴，又，∴，故C正确；由题意知，直线的斜率不为，故设，联立，消去得，∴，∴，此时满足， ∴直线的方程为，显然恒过点，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为__________【答案】##0.6【解析】【分析】计算出从中一次性取出2个球，共有的情况数以及2个球颜色不同的情况数，从而求出概率.【详解】从中一次性取出2个球，共有的情况数为种，其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种，故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.故答案为：.14.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由，可求出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为，，所以，所以， 双曲线渐近线方程为：.故答案为：15.点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为_______.【答案】【解析】【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案．【详解】设，又点，则，所以，，又点A在圆上，则，即，所以线段AB的中点P的轨迹方程为．故答案为：．16.设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_____________【答案】【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理进行、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设， 因为两个曲线在第一象限内交于点，所以有，解得，因为，所以由余弦定理可知：，因为，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，所以设，于是有，化简得：，因为，所以，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用两种曲线的定义和余弦定理.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：，（1）求直线与的交点坐标；（2）过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标；（2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【小问1详解】由，得，，所以直线与的交点坐标为；【小问2详解】由可知，点是线段的中点，在直线上任取一点，所以点关于的对称点,点在直线上，把点代入方程，，解得所以，，即直线方程为：，即.18.已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解.【小问1详解】设圆心，因为圆与轴的正半轴相切，所以，圆的半径为，因为圆截轴所得弦的弦长为， 所以，即，又，所以，所以圆．【小问2详解】当直线无斜率时，此时直线方程为，由题知：此时直线与圆C截得的弦长为，不满足条件，当直线有斜率时，设直线方程为：，则圆心到直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为：或19.已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得；（2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程.【小问1详解】设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，，且，于是，动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，故，，椭圆方程为又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去， 故动圆圆心M的轨迹C的方程为；【小问2详解】设，由题意，显然，则有，，两式作差可得，即有，又Q为线段AB的中点，则有，代入即得直线l的斜率为，直线l的方程为，整理可得直线l的方程为.20.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比例赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下： （1）根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.【答案】（1）73（2）（3）91分【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，由频率分布直方图中平均数的概念求解平均数；（2）求出等级A的原始分区间的最低分，又最高分为98，即可得解；（3）利用给定转换公式求出等级分作答．【小问1详解】由，可得，此次化学考试成绩的平均值为分．【小问2详解】由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，估计等级A的原始分区间的最低分为，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．【小问3详解】由，解得，该学生的等级分为91分．21.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点. （1）设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD；（2）当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理及性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，先根据点到平面的距离的向量公式求出点E的坐标，然后利用向量法求出两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】因为四边形ABCD为菱形，所以，因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，因平面ADE，平面平面，所以，因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD；【小问2详解】在AB上取中点O，因为是等腰直角三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又底面是边长为2的菱形，且，所以，故以O为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示， 则，，，，，，，，设，则，设是平面PAD一个法向量，则，即，令可得，由点E到平面PAD的距离为得，所以，解得，故点E为CP中点，所以，所以，又，设是平面ADE的一个法向量，则，即，令可得，又，故是平面ABCD的一个法向量，得，所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.22.已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆 的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值.【小问1详解】解：因为椭圆的焦距为，离心率为，则，可得，故椭圆的方程为.【小问2详解】解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，①当轴时，设直线的方程为，将代入“蒙日圆”的方程得，解得，则，解得：，将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，；②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，得，联立，消去得，，可得，设、，则，，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．