辽宁省辽东南协作校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（A卷）（Word版附解析）

2023-2024学年度上学期月考高二数学时间：120分钟分数：150分命题范围：选择性必修一，选必二到3.1章第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°2.顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（）A.B.C.D.3.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）A.48B.54C.72D.844.已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.5.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为AB.C.D.6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A152B.126C.90D.547.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A.B.C.D.8.在长方体，底面是边长为正方形，高为，则点到截面的距离为A.B.C.D.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.满足方程的值为（）A.1B.3C.5D.710.若椭圆的焦距是2，则的值是（）A.3B.4C.5D.611.已知空间三点，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.12.若双曲线过点，且它的渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A.双曲线的方程为B.曲线经过双曲线的一个焦点C.双曲线的离心率为D.直线与双曲线有两个公共点第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与双曲线相交于两点，则______；14.将2名教师､4名学生分成2组，分别安排到甲､乙两个基地实习，要求每组有1名教师和2名学生，则不同的安排方法有___________种15.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_______16.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____. 四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步䠫.17.经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．（1）若直线的斜率是，求的值；（2）若是坐标原点，求的值．18.已知圆C经过两点，，且圆心C在x轴上．（1）求圆的标准方程；（2）已知直线l与直线AB垂直，且与圆C相交所得弦长为，求直线l方程．19.如图，在直三棱柱中，，，，点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．20.已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.21.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面为正三角形，，平面平面为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点． （1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．22.已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 2023-2024学年度上学期月考高二数学时间：120分钟分数：150分命题范围：选择性必修一，选必二到3.1章第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．故选：A．2.顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求解即可；【详解】由题意知抛物线开口向上，故抛物线的标准方程是：故选：B.3.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）A.48B.54C.72D.84【答案】C【解析】 【分析】根据题意，现将3个乘客全排列，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，结合插空法，即可求解.【详解】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，放入4个空隙中的两个，共有种.故选：C.4.已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设出线段中点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，根据在圆上，得到轨迹方程．【详解】设线段中点，则．在圆上运动，，即．故选：A．【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．5.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即， 所以椭圆的离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.54【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B．考点：排列、组合的实际应用．7.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解： 所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．8.在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，再根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面，交线为，在平面内过作于，则的长即为点到截面的距离，在中，利用等面积法求出即可.【详解】如下图所示：设，，，又，平面，平面，平面平面.又平面平面，过点在平面内作于点，则的长即为点到截面的距离，在中，，，由，可得，因此，点到截面的距离为，故选B.【点睛】本题考查点到平面的距离的计算，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中等题. 二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.满足方程的值为（）A.1B.3C.5D.7【答案】AB【解析】【分析】利用组合数的性质求解【详解】因为，所以或解得：或或或，当时，，故舍去；当时，，故舍去；当时，；当时，；故选:AB10.若椭圆的焦距是2，则的值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】AC【解析】【分析】分椭圆的焦点在轴和轴上两种情况讨论得解.【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，，，.又因为，所以.所以，所以；当椭圆的焦点在轴上时，，，所以，所以.故选：AC11.已知空间三点，，，则下列说法正确是（） A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为，，，所以所以，，所以不共线.故选：AC12.若双曲线过点，且它的渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A.双曲线的方程为B.曲线经过双曲线的一个焦点C.双曲线的离心率为D.直线与双曲线有两个公共点【答案】ABD【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的判断B，C；直线与双曲线的渐近线的关系判断D．【详解】对于A：由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B：因为双曲线的方程为，所以，则双曲线的焦点坐标为，而当时，，所以曲线经过双曲线的一个焦点，故B正确；对于C：由选项B可知双曲线的离心率为，故C错误；对于D：联立，消去，得，则，所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确.故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与双曲线相交于两点，则______；【答案】【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，利用弦长公式计算即得.【详解】由消去y并整理得：，，设，则，所以.故答案为：14.将2名教师､4名学生分成2组，分别安排到甲､乙两个基地实习，要求每组有1名教师和2名学生，则不同的安排方法有___________种【答案】12【解析】 【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果.【详解】第一步，为甲地选一名老师，有2种选法;第二步，为甲地选两个学生，有种选法;第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法；故不同的安排方案共有2×6×1=12种.故答案为：12.15.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_______【答案】【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即得．【详解】圆心为，圆心到直线距离为，∴圆上的点到直线的距离的最大值为．【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（直线与圆相离时，否则最小值为0）．16.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____.【答案】【解析】【分析】利用向量夹角公式即得. 【详解】由题意得∠CAB=45°，AB=，∵，∴又||===，||=1，∴cos<>===.故答案为：.四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步䠫.17.经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．（1）若直线的斜率是，求的值；（2）若是坐标原点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解； （2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解；【小问1详解】抛物焦点是，直线方程是，与，联立得：，解得，所以．【小问2详解】当垂直于轴时，．当不垂直于轴时，设，代入得，所以，从而．故，综上．18.已知圆C经过两点，，且圆心C在x轴上．（1）求圆的标准方程；（2）已知直线l与直线AB垂直，且与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】 【分析】（1）设出圆的方程，待定系数法求出方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.【小问1详解】已知圆心C在x轴上，故设圆的标准方程为，因为圆C经过两点，，所以，解之得，所以；【小问2详解】由题意知，所以直线l的斜率为，所以设直线l的方程为，得圆心C到直线l的距离为，因为直线l与圆C相交所得弦长为，所以，所以，即，求得或，所以直线l的方程为或．19.如图，在直三棱柱中，，，，点分别为的中点．（1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接，，在三棱柱为直三棱柱，为的中点，则为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】解：以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设与平面所成角为，则． 20.已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.【详解】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB中点的坐标为则①，②，②①得：， 即，又，所以，所以直线的方程为，即21.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面为正三角形，，平面平面为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行证明线线平行即可.（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求解点面距离即可.【小问1详解】∵底面为矩形，∴，又∵平面平面平面．又∵平面，平面平面【小问2详解】如图，取的中点，连接，过点作交于点．∵侧面为正三角形，∴，∵平面平面，且交线为，平面， ∴平面底面为矩形，∴．以原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，∴．设，则，∴．设平面法向量为，则令，则，平面的一个法向量为．易知是平面的一个法向量．∴，解得．又∵平面的一个法向量，∴点到平面的距离为22.已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求试题解析：（1）为等边三角形，则椭圆的方程为：；（2）容易求得椭圆的方程为，当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，设，则，∵，∴，即 解得，即，故直线的方程为或.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．