辽宁省葫芦岛市协作校2023-2024学年高二上学期第二次数学试题（Word版附解析）

2023～2024学年高二上学期协作校第二次考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过，两点的直线的斜率为（）A.B.4C.D.2.在空间直角坐标系中，点在（）A.第Ⅳ卦限B.第Ⅲ卦限C.第Ⅱ卦限D.第Ⅰ卦限3.圆关于直线对称的圆的方程为（）AB.C.D.4.已知是抛物线上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为（）A.8B.9C.10D.115.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（）A.B.C.D. 6.已知为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（）A.2B.4C.D.37.在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（）A.B.C.D.8.设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点．则的最小值为（）AB.C.D.27二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.圆与圆的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离10.已知向量，，，则（）A.与方向相同的单位向量是B.C.D.11.已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（）A.B.C.D. 12.已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与另一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线平行于第二、四象限的角平分线，则直线的倾斜角为______（用弧度制表示）．14.在空间直角坐标系中，点，，点在平面内，且，请写出一个满足条件点的坐标：______．15.已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为______．16.已知斜率为1的直线与圆交于，两点，为弦的中点，若的横坐标为，则的取值范围为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知是直线上一点，是直线的一个方向向量．（1）求直线的一般式方程：（2）若经过点的直线垂直于直线，求直线与直线交点的坐标．18.已知圆．（1）求圆标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．19.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． （1）求到直线的距离；（2）求到平面的距离．20.已知椭圆的焦距为4，短轴长为2．（1）求长轴长：（2）若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值．21.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，为的中点，平面平面．（1）证明：平面．（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．22.已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.（1）求的方程； （2）过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 2023～2024学年高二上学期协作校第二次考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过，两点的直线的斜率为（）A.B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，即可求解.【详解】由点，，根据斜率公式，可得．故选：A.2.在空间直角坐标系中，点在（）A.第Ⅳ卦限B.第Ⅲ卦限C.第Ⅱ卦限D.第Ⅰ卦限【答案】B【解析】【分析】直接根据点的坐标中的符号即可得结果.【详解】因为，，，所以点在第III卦限．故选：B3.圆关于直线对称的圆的方程为（） A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程.【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，故，解得，故关于直线对称的点为，所以所求的圆的方程为．故选：C4.已知是抛物线上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义转化焦半径为点到准线的距离计算即可.【详解】由题意得的焦点，准线为直线．因为，所以到直线的距离为11，则的纵坐标为．故选：B.5.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知列出方程组，求出的值，即可得出答案.【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，.由题意知，解得，则该行星运行轨迹的离心率.故选：B.6.已知为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（）A.2B.4C.D.3【答案】A【解析】【分析】设直线与轴交于点，则由题意可得为等腰直角三角形，将代入双曲线方程可求出，从而可求出结果.【详解】设直线与轴交于点，由双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形．由，得，则．故选：A 7.在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，用将，,表示出来，代入即可得出答案.【详解】由D，E，F，G分别为棱，，，的中点可得：①②③由①②可得：④由②③可得：,即⑤④+⑤可得，从而，又故选：C8.设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点．则的最小值为（）A.B.C.D.27【答案】C【解析】【分析】根据两点间距离公式、圆的几何性质，利用配方法进行求解即可. 【详解】由，半径为，设，则，当时，取得最小值28，所以，所以．故选：C【点睛】关键点睛：本题关键是利用圆的几何性质和配方法.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.圆与圆的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，求得圆心距，及，由，结合两圆的位置关系，即可求解.【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为；又由圆，可得圆心坐标为，半径为，则圆心距为，圆与圆的半径之差为，可得，所以圆与圆的位置关系可能为相交、外切、外离．故选：BCD.10.已知向量，，，则（）A.与方向相同的单位向量是B. C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用坐标运算处理向量的线性运算、垂直平行问题和数量积夹角问题.【详解】，，可得与方向相同的单位向量是，A正确．因为，所以，B正确．因为，，所以与不垂直，C错误．，D正确．故选：ABD11.已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，因为，所以，，，所以，，故A错误，B正确；设，，，则， 即，当时取得最大值，故C正确；由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．故选：BCD12.已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与另一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为（）AB.C.D.【答案】AC【解析】【分析】设出直线方程：，分别与两渐近线联立，求得两点横坐标，代入，即可求解.【详解】不妨设的一条渐近线的方程为，则直线的斜率为，则：．设，联立直线的方程与，，则，可得．由，则，得点的纵坐标为，因为，所以．因为，所以或． 故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线平行于第二、四象限的角平分线，则直线的倾斜角为______（用弧度制表示）．【答案】##【解析】【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，得到，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，因为直线平行于第二、四象限的角平分线，可得直线的斜率为，所以，可得.故答案为：.14.在空间直角坐标系中，点，，点在平面内，且，请写出一个满足条件的点的坐标：______．【答案】（本题答案不唯一，符合，即可）【解析】【分析】设，根据两点间距离公式得到方程，得到答案.【详解】设，由，得，化简得．故答案为：（本题答案不唯一，符合，即可）. 15.已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为______．【答案】36【解析】【分析】易得的值，结合双曲线的定义即可得结果.【详解】由题意得，则，所以的周长为．故答案为：36.16.已知斜率为1的直线与圆交于，两点，为弦的中点，若的横坐标为，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】设，，的中点，利用点差法得到，再由点在圆内求出的取值范围.【详解】设，，的中点.由得，则，得.因为在圆内，所以，解得.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知是直线上一点，是直线的一个方向向量．（1）求直线的一般式方程：（2）若经过点的直线垂直于直线，求直线与直线交点的坐标． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据方向向量写出直线斜率，应用点斜式写出直线方程；（2）由垂直关系确定的斜率，点斜式写出的方程，与直线方程联立求交点.【小问1详解】由题设，直线的斜率为，所以直线方程为，即．【小问2详解】由题意及（1）知：直线的斜率为，则直线的方程为．由，得，即直线与直线交点的坐标为．18.已知圆．（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．【答案】（1），圆心坐标，半径为（2）或【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案【小问1详解】由，得，则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为．【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离，得或．19.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点．（1）求到直线的距离；（2）求到平面的距离．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）建系，用空间向量方法表示直线外一点到已知直线的距离公式求解即可；（2）建议，用空间向量方法表示平面外一点到已知平面的距离公式求解即可.【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以到直线的距离为【小问2详解】由（1）得，，设平面的法向量为，则取，则，，得，所以到平面的距离为20.已知椭圆的焦距为4，短轴长为2．（1）求的长轴长：（2）若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）基本量运算得出a得出长轴长即可；（2）先联立方程组得出韦达定理，再应用弦长公式计算，最后结合最值求解即得.【小问1详解】由题意得得所以的长轴长．【小问2详解】 由（1）可知的方程为．设，，．由得，由，得．由韦达定理得则．当时，取得最大值，且最大值为．21.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，为的中点，平面平面．（1）证明：平面． （2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）为的中点，由三角形中位线证得，可证平面；（2）由已知二面角证得，以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值．【小问1详解】连接与相交于点，连接，三棱柱中，侧面是平行四边形，则为的中点，又为的中点，有，平面，平面，所以平面．【小问2详解】平面平面，平面平面底面为正三角形，为的中点，则，平面，则平面，平面，，，则二面角的平面角为，有余弦值为，中，由余弦定理， 即，解得，过作直线的垂线，垂足为，则，故在的延长线上，，，，，四边形为矩形，则，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，即.，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，即.平面与平面夹角的余弦值为.22.已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.（1）求的方程； （2）过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】22.23.过定点，定点为【解析】【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点，确定的最小值即可得，从而得抛物线方程；（2）根据直线的斜率公式结合点共线得到A、C纵坐标的关系，点斜式得到直线，从而确定定点.【小问1详解】由题意可设，则所以则的最小值为，则，得.所以的方程为.【小问2详解】因为A，C不重合，所以直线，，的斜率必然存在.设，，. 直线的斜率，得.直线的斜率.得.由，可得.直线的斜率.所以直线方程.故直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键是利用三点共线得到A、C纵坐标的关系，再结合点斜式方程写出直线AC的方程可得解.