四川省 校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

成都外国语学校2023~2024学年度上期高二上12月考试数学试题（测试时间120分钟，满分150分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.故选：A.2.已知，分别是平面的法向量，若，则（）AB.C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为，分别是平面的法向量，且，所以，即，解得故选：B3.在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（） A.0.25B.0.4C.0.6D.0.75【答案】A【解析】【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】组数据中，都不含的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为：.故选：.4.方程，化简的结果是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，即，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，则，，所以，，故方程为.故选：B.5.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（） A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，故选：B. 6.已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为，，所以，因为，所以，，，所以.故选：C7.已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知，可知，再结合双曲线的定义，得，在中用余弦定理可知 ，又，整理可得，可得的斜率.【详解】由已知直线的方程为，即，点，则，因为，所以为线段的中点，则，设双曲线的左焦点为，则，在中，，又，所以，故的斜率为，故选：B.8.已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以 为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点，由得，所以或，当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件；当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要，即，即，解得，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数据的第65百分位数为35，则的取值可以是（）A.20B.35C.42D.53【答案】BCD【解析】【分析】根据第百分位数的概念进行计算并判断.【详解】因为，所以第百分位数是这组数据的第个，即为， 又因为本组数据中小于的数据已有个，所以，故选：BCD.10.对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（）A.事件A与事件B互斥B.C.事件A与事件相互独立D.【答案】BC【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得：，则，∵，∴，即事件A与事件B不互斥，A错误；可得：，故，可知B正确，D错误；又∵，∴事件A与事件相互独立，C正确；故选：BC.11.已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（）A.的实轴长为2B.的离心率为C.的面积为 D.的平分线所在直线的方程为【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.【详解】由题意，在中，∵关于的平分线的对称点恰好在上，∴，，三点共线，且，∵，∴.设，，根据双曲线定义可得，，解得，，即，∴.在中，根据勾股定理可得，，解得，∴的实轴长为2，所以A正确；又，，∴的离心率为，所以B不正确；的面积为，∴C正确；∵，∴，∵，易得的平分线的倾斜角为，∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.故选：ACD.12.如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（） A.满足MP//平面的点P的轨迹长度为B.满足的点P的轨迹长度为C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足【答案】AD【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；对B，方法一：在平面中过作，交于，设，则，，， 由，可解得，同理，在平面中过作，交于，可得，因为，所以平面，因为，所以平面，所以点P的轨迹为线段，长度为，故B不正确；方法二：以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设，且，，，，，即，又，，则点的轨迹为线段，,且，故B错误；对于C，方法一：取中点，连接，正方体中，易得，所以平面 截正方体的截面为平面，显然平面，故不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；方法二：设，且，，若平面AMP经过点B，则，且，又,所以，即，因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B,故C错误；对于D，方法一：延长至，令，则，所以，因为，所以存在点满足，故D正确.方法二：点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故存在点满足，故D正确.故选：AD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．【答案】或【解析】【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．【详解】解：，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.14.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.【详解】由；由.综上：且.故答案为：.15.已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M 是线段的中点，则的周长为______.【答案】8【解析】【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质，即可得到本题答案.【详解】由椭圆，得，由题意可知如图：连结，点M是线段的中点，可得OM为的中位线，所以，由椭圆的定义可知，得，所以的周长为：.故答案为：8【点睛】本题主要考查椭圆的定义，其中涉及到三角形中位线的应用.16.过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.【答案】4【解析】【分析】由题意，利用两种方法化简所求代数式，方法一：设出过与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则，可得方程，根据题意，结合韦达定理，可得，同样的思路，设出过焦点的直线，联立方程，结合韦达定理，可得，故可得第一种所求代数式的表示； 方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得，结合方法一中，可得第二种所求代数式的表示；综上建立方程，求得的值，进而求得答案.【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，则该切线方程，即，联立，消去可得，由于切线与抛物线只有唯一交点，则，整理可得，由题意，可知为方程的两个根，则，由题意，设直线的方程为，联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，故，由抛物线方程，可得函数与函数，则与不妨设在第一象限，则，即，且，由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故， 由，则，综上可得，解得，故.故答案为：.【点睛】对于抛物线的焦点弦，要熟记直线与抛物线联立，消元选择消去一次项，根据韦达定理，可得两个交点坐标与之间的等量关系；对于切线的斜率，利用导数的几何意义进行计算，要善于化简表达式，可用纵坐标表示，结合韦达定理，可得简化计算.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：，，…，，并整理得到如图的频率分布直方图．（1）估计总体400名学生中分数小于60的人数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；（3）根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考．【答案】（1）80（2）20（3）65分【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出分数不小于60的频率，即可得到分数小于60的频率，即可估计人数；（2）由频率分布直方图求出分数在区间内的人数，即可估计总体中分数在区间内的人数； （3）根据百分位数计算规则计算可得.【小问1详解】解：据频率分布直方图可知，样本中分数不小于60的频率为，所以样本中分数小于60的频率为，所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为．【小问2详解】解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为，所以总体中分数在区间内的人数估计为．【小问3详解】解：设分数的第25百分位数为，分数小于70的频率为，分数小于60的频率为，所以，即，解得，则本次考试的及格分数线为65分．18.已知圆和圆相交于两点，求：（1）线段的长；（2）两圆有公切线方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）两方程联立求出直线的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长；（2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.【小问1详解】由题意， 联立方程组，两式相减得到直线的方程为，则原点到直线的距离为，根据勾股定理得【小问2详解】由题意及（1）得，在圆中，，∴，半径为，在圆中，圆心，半径为，可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，由和，可得两圆心所在直线为，即，联立方程组，解得，即交点坐标为，在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为，可得，解得，即对称点的坐标为，所求的另一条切线过点，可得其方程为，故所求切线方程为或.19.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.（1）证明：当为棱的中点时，平面；（2）是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取中点为，通过平行关系证明四边形为平行四边形，再结合线面平行的判定定理完成证明；（2）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为，结合结果进行判断即可. 【小问1详解】当为的中点时，取中点为，连接，因为分别为的中点，故可得，根据已知条件可知：，故，故四边形为平行四边形，则，又平面平面，故面；【小问2详解】因为平面平面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设，若，则，即，解得，不满足题意，故不存在. 20.甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设事件为甲胜乙，为甲胜丙，为乙胜丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性，即可得出答案；（2）分最终的冠军为甲，乙，丙，分别求解出概率，然后根据互斥事件的概率公式，即可得出答案.【小问1详解】记事件为甲胜乙，则，则，事件为甲胜丙，则，，事件为乙胜丙，则，.则丙被淘汰可用事件来表示，所以，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为.【小问2详解】若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示，；若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ；若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示，.所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为.21.已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程和点坐标；（2）过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．【答案】（1）抛物线方程为：，点坐标为（2，1）（2）4【解析】【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，再将代入抛物线方程可求出，从而可求得点的坐标，（2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由的角平分线与y轴垂直，可得，化简可求出的值，再利用弦长公式可求得弦AB的长.【小问1详解】由可得：p＝2，故抛物线方程为：，当y＝1时，，又因为x＞0，所以x＝2，所以点坐标为（2，1）；【小问2详解】由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，， 由，得，所以，，，因为的角平分线与y轴垂直，所以，所以，即，即，所以，，，所以.22.已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线过定点；（3）求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组求解；（2）设直线的方程为，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得，，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线的方程，从而得到结论； （3）求得△MNF2面积关于的表达式，然后利用换元思想，设转化为关于的函数，利用函数的单调性求解得到.【小问1详解】因为椭圆经过点，所以，因为与短轴一个顶点构成一个等腰直角三角形，所以，所以，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】证明：设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消去得，设，则,所以，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，当时，所在直线为，当时，，直线的方程为， 整理得，令，可得，即有，所以直线过定点，且为.【小问3详解】方法一：面积为.令，由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，则面积的最大值为.方法二：，则面积，令，则，当且仅当，即时，面积的最大值为.所以面积的最大值为.