重庆市部分学校（九校联盟）2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

重庆市高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量，，则（）A.B.C.D.2.若直线：，：，且，则（）A.B.C.10D.-103.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.4.已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的倾斜角为（）AB.C.D.5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（） A.B.C.D.6.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（）A.B.C.D.7.已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，，则的渐近线的倾斜角为（）A.或B.或C.或D.或8.如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（）A.B.1C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆与圆的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离 10.已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.B.C.D.11.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（）AB.2C.D.12.已知为抛物线：的焦点，过的直线与C交于A，B两点，，C的准线与x轴的交点为，点A在准线上的投影为点，且四边形的面积为，则（）A.B.C.直线的斜率为D.点A的横坐标为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率大于，请写出一个的标准方程：___________.14.在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点的坐标为__________.15.已知,分别是椭圆的左、右顶点，是的上顶点，若，则的面积为__________.16.已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的顶点，线段的中点为，且.（1）求的值；（2）求边上的中线所在直线的方程. 18已知圆．（1）求圆标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．19.已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.20.已知椭圆：的焦距为4，且经过点.（1）求椭圆M标准方程；（2）若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.21.如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离.22.已知圆，圆，动圆与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心的轨迹方程.（2）若动圆圆心的轨迹为曲线，，斜率不为0的直线与曲线交于不同于的，两点，，垂足为点，若以为直径的圆经过点，试问是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值及的坐标；若不存在，请说明理由. 重庆市高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案.【详解】因为向量，，所以.故选：D2.若直线：，：，且，则（）A.B.C.10D.-10【答案】D【解析】【分析】根据列方程求解即可.【详解】由题意得，得.故选：D. 3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.【详解】由题意得，设该抛物线的方程为，则，得，所以该抛物线的焦点为.故选：C4.已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率可知其倾斜角，进而可得直线的倾斜角.【详解】由题意得直线斜率，即其倾斜角（）满足，可得，所以直线的倾斜角，故选：D.5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，进而可得离心率.【详解】由已知可得，，即，，所以离心率，故选：C.6.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，则，所以.故选：A7.已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，，则的渐近线的倾斜角为（）A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】【分析】由题意通过几何关系得到，进一步由可得，再结合余弦定理即可得出的关系，进一步即可得解. 【详解】设为坐标原点.由题意得的渐近线方程为，得，.由，即是的中位线，得，则，所以.由，得，所以，所以在中，由余弦定理，得，即，所以的渐近线的倾斜角为或.故选：C.8.如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（） A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解.【详解】设，由题意得，则.设，则,故.由得，得，所以，故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆与圆的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，求得圆心距，及，由，结合两圆的位置关系，即可求解.【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为；又由圆，可得圆心坐标为，半径为，则圆心距为，圆与圆半径之差为，可得，所以圆与圆的位置关系可能为相交、外切、外离．故选：BCD.10.已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A错误；对于选项：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D错误；因为是空间中不共面的三个向量， 对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；对于选项C：设，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；故选：BC.11.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（）A.B.2C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.【详解】由，，得.,由，得.在中，由余弦定理得，得或，所以或.故选：AC 12.已知为抛物线：焦点，过的直线与C交于A，B两点，，C的准线与x轴的交点为，点A在准线上的投影为点，且四边形的面积为，则（）A.B.C.直线的斜率为D.点A的横坐标为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式以及条件，代入计算可得，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】如图，设点B在C的准线上的投影为点，取，的中点分别为E，，过F作，垂足为点.设，则，，，， 所以四边形的面积为，解得，，故A，B正确；由，得，当A在第一象限，B在第四象限时，直线的斜率为，当A在第四象限，B在第一象限时，直线的斜率为，故C错误；点A的横坐标为，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率大于，请写出一个的标准方程：___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可知符合，即可.【详解】设，由，得，可令，，即，故答案为：（答案不唯一）.14.在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点的坐标为__________. 【答案】【解析】【分析】由题意首先设，结合进行运算即可得解.【详解】设，由题意得，，因为，所以,得，即.故答案为：.15.已知,分别是椭圆的左、右顶点，是的上顶点，若，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】设为坐标原点，由题意可得，，解出值，再利用的面积为，求解即可.【详解】设为坐标原点.由题意得，，则，得，又，所以，所以的面积为.故答案为：.16.已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为__________. 【答案】【解析】【分析】分别求出关于对称的点，关于对称的点，求出即可求解.【详解】如图，设关于对称的点为，由得即.设关于对称的点为，由得即易得该光线经过的路程长度为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的顶点，线段的中点为，且.（1）求的值；（2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解， （2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.【小问1详解】因为，所以的坐标为，因为，所以，解得.【小问2详解】设线段的中点为，由（1）知，则，所以，所以直线的方程为，化简得，即边上的中线所在直线的方程为.18.已知圆．（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．【答案】（1），圆心坐标，半径为（2）或【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案【小问1详解】由，得，则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为．【小问2详解】由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或．19.已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.【答案】（1）或.（2）.【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；（2）利用点差法进行求解即可.【小问1详解】设，由题意可知：，两边同时平方，得所以的方程为或.【小问2详解】由题可知曲线为，设，，则.由得，所以的斜率为.20.已知椭圆：的焦距为4，且经过点.（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；（2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程.【小问1详解】由题意得，得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设与平行的：，由，得，由，得，则：.21.如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且. （1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面夹角，从而求解；（2）由点到平面的距离为，求得的坐标，然后利用空间点到直线距离的向量法即可求解.【小问1详解】以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.设平面的一个法向量为，则取，则，，得， 因为平面，所以平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角的余弦值为.【小问2详解】设，，则.由（1）可知平面的法向量为，则到平面的距离为，解得或（舍去），即.因为，，所以到直线的距离为.22.已知圆，圆，动圆与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心的轨迹方程.（2）若动圆圆心的轨迹为曲线，，斜率不为0的直线与曲线交于不同于的，两点，，垂足为点，若以为直径的圆经过点，试问是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，定值为6，【解析】【分析】（1）由题意根据圆与圆的位置关系可得，进一步由双曲线的定义即可得解.（2）由题意以为直径的圆经过点，所以，即，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可得直线过定点，而，即点在 中点为圆心，的一半为半径的圆上，由此即可得解.【小问1详解】设动圆的半径为，由题意圆、的半径均为2，圆心.因动圆与圆，圆一个外切，另一个内切，所以或，得，所以圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线，即，得动圆圆心的轨迹方程为.【小问2详解】如图所示：存在定点，使得为定值6，理由如下：直线的斜率不为0，设直线，，，则，.由得，由，得， 由韦达定理得，因为以为直径的圆经过点，所以，则.因为，所以，得.因为直线不经过，所以，，满足.直线经过定点.取，，当，不重合时，，则由斜边上的中线等于斜边的一半可知，当，重合时，.故存在定点，使得为定值6.【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是充分利用圆与圆之间的位置关系以及双曲线的定义即可，第二问关键是数学结合，首先求出直线过顶点，进一步根据平面几何知识确定点在定圆上运动，从而即可顺利得解.