四川省射洪中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

射洪中学高2022级强基班高二上期第三次学月考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第I卷(选择题)一、单选题1.已知，则（    ）A.B.C.D.2.在一次随机试验中，其中3个事件的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是（    ）A.与是互斥事件，也是对立事件B.是必然事件C.D.3.等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24.则{an}的公比q为（    ）A.2B.2或C.D.34.若点在圆的内部，则直线与圆C的位置关系是（    ）A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）A.B.C.4D.26.已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（    ）A.3B.6C.9D.127.已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ）A.B.C.D.8.如图所示，双曲线与抛物线高二强基数学第14页共14页 有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（    ）A.B.C.D.二、多选题9.关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（    ）A.焦点在轴上的双曲线B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在轴上的双曲线D.长轴长为的椭圆10.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A.事件M发生的概率为B.事件M与事件N互斥C.事件M与事件N相互独立D.事件发生的概率为11.下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ）A.若数列是递增数列,则公比B.若公比,则数列一定是递增数列或递减数列C.若,则数列是递减数列D.若,则数列是递增数列12.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）A.若，则点到轴的距离为B.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条C.是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则D.第II卷(非选择题)三、填空题13.抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为.14.已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是.15.已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为.16.已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆.后高二强基数学第14页共14页 世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为.四、解答题17.已知数列的前项和为，且满足，.(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式.▲18.已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.(1)求M的方程；(2)是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.▲19.在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（1）该同学得4分的概率；（2）该同学得分不超过3分的概率.▲20.已知圆的圆心为坐标原点，斜率为1且过点的直线与圆相切，圆：高二强基数学第14页共14页 .(1)若圆与圆相交于，两点，求线段的长度；(2)若直线：与圆交于，两点，是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.▲21.如图，菱形的边长为为的中点.将沿折起，使到达，连接，得到四棱锥.(1)证明：；(2)当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.▲22.已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线l1，l2，切点为A，B。(1)若点的坐标为，证明：直线；(2)求O到直线的距离的范围.▲射洪中学高2022级强基班高二上期第三次学月考试数学答案1.A【分析】利用共轭复数及复数的除法运算求解即得.高二强基数学第14页共14页 【详解】复数，所以.故选：A2.D【分析】结合已知条件可知，事件不一定是互斥事件，然后逐项求解即可.【详解】由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件这三个事件，故，从而AB错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.3.B【分析】由，代入即得解【详解】由题意，，，，故选：B4.C【分析】根据题意，由点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系.【详解】因为点在圆内，则，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故选：C5.C【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即，故选：C.6.A【分析】由可得，两式相减可证明数列从第二项起成等差数列，再由等差数列的前项和公式、等差数列的通项公式求解即可.【详解】因为，所以，两式相减得，即，因为，所以，所以数列中，从第二项起成等差数列，所以，所以.由得，所以，得，所以，故选：A.7.D【分析】根据题意可知圆的圆心到直线的距离小于或等于2，进而可得.【详解】由题意可知，由得，圆心为，半径为因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2，所以得，即得，可得，故选：D8.B【分析】可求出，由知点为线段的中点，从而得到长，根据在抛物线上可表示出的坐标，也就得到的坐标，代入渐近线方程可建立的关系求得.【详解】根据题意，如图：高二强基数学第14页共14页 因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又，所以点为线段的中点，则，设点，由抛物线定义知，解得；由可得，则由等面积可知：，解得，则，则，又点在渐近线上，即，即，又，联立得，即，解得，故.故选：B.【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率,本题关键是求出的坐标代入渐近线方程建立方程求解.9.BC【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，选项A错误；对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则，解得，选项B正确；对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，所以或，选项C正确；对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，则，，则或，无解，选项D错误.故选：BC.10.AC【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断.【详解】由题设知：，A正确；由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，B错误；因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确；，表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故，所以，D错误.故选：AC.11.ABD【分析】根据等比数列的定义和通项公式结合与的关系一一判断即可.【详解】对于A,当且时,数列也是递增数列,故A错误;高二强基数学第14页共14页 对于B,当时,数列是常数列,不是递增数列或递减数列,故B错误;对于C,因为,即,整理得且,所以,则,所以数列是递减数列,故C正确;对于D,令且,则,,,,,此时成立,但数列不是递增数列,故D错误.故选:ABD.12.CD【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A；对所求的直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断B选项；根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，则抛物线，所以焦点，准线为，对于A选项，设、，则，解得，又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故A错误；  对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，此时，直线与抛物线只有一个交点，若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，考虑直线与抛物线相切，联立，可得，则，解得，即直线与抛物线只有一个公共点，故满足条件的直线共有三条，B错；对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则，设准线与轴交于点，则，因为，所以，则，则，所以，即，所以，则，故C正确；对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，由，消去得，显然，所以，，则，，所以，高二强基数学第14页共14页 所以，，当且仅当，即，时取等号，故D正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.13.2【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标.【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过，作，垂足为，在直角梯形中，，由抛物线的定义可知：，因此有，所以点的横坐标为.故答案为：2.14./【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，，，.  如图，设双曲线左焦点为，因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.根据双曲线的定义可得，，所以，.所以，.由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.又，所以，所以，有最小值，即有最小值.故答案为：.15.15【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案.【详解】由题意得，设等差数列的公差分别为，，，故，故，又，高二强基数学第14页共14页 故，即，，又，，即，联立，化简得，解得又是整数，即是整数，设，故，即，解得，令，解得，且，当时，满足要求，当时，不合要求，当时，不合要求，当时，不合要求，当时，不合要求，综上，的值为15.故答案为：1516./【分析】先通过直线和过的定点以及垂直关系求出点轨迹，然后根据阿波罗尼斯圆的特点找到使恒成立的点，最后根据两点之间线段最短求最小值即可.【详解】直线：即，过定点直线：即，过定点又，故，则点在以线段为直径的圆上，即点的轨迹为，即，假设存在点，使恒成立，设则，整理得，与的轨迹对照得，解得，即存在点，使，即，所以，即的最小值为，故答案为：.17.(1)证明见解析高二强基数学第14页共14页 (2)【分析】（1）用和表示即可求解；（2）由（1）给出的表达式，再用和表示即可求解.【详解】（1）证明  当时，由得，，所以，又，所以是首项为2，公差为2的等差数列.（2）由（1）可得，所以.当时，；当时，，不符合，故18.(1)(2)不存在，详见解析.【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到双曲线的方程；（2）根据弦的中点坐标得到斜率，然后联立直线和双曲线方程来判断直线与双曲线是否相交.【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意可得，解得，，故M的方程为.（2）  设，，则两式相减得.依题意可得所以.所以直线:，即，高二强基数学第14页共14页 联立得，，所以直线l与M不相交，故不存在直线l.19.（1）；（2）.【分析】（1）设该同学“在A处击中目标”为事件A，“在B处击中目标”为事件B，“在C处击中目标”为事件C，因为事件A，B，C相互独立，事件“该同学得4分”可表示为：，从而求得概率值.（2）首先依次求出该同学得0分、2分，3分、4分，并把所求事件表示成如下、、、互斥事件的和事件，从而求得该同学得分少于5分的概率.【详解】（1）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立.依题意则该同学得4分的概率为.（2）该同学得0分的概率为得2分的概率为；得3分的概率为；得4分的概率为；则该同学得分少于5分的概率为，.20.(1)；(2)存在，使得.【分析】（1）斜率为1且过点的直线方程为，由其与圆相切结合点到直线的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程.圆的方程减去圆的方程，可得所在的直线方程为，根据垂径定理可求；（2）设的中点为，可得三点共线，根据斜率公式求出，由垂直关系可得，从而可求的值，再验证直线与圆有两个交点即可.【详解】（1）斜率为1且过点的直线方程为，即.则到直线的距离为，即为圆的半径，所以圆的方程为.由圆的方程减去圆的方程，可得，即.因为圆与圆相交于，两点，则所在的直线方程为.高二强基数学第14页共14页 到的距离为，所以.（2）假设存在实数，使得.设的中点为，因为，所以.又，所以三点共线.圆：的圆心为,半径为3，故，所以，即.因为直线：，所以，解得,此时直线：.圆心到直线的距离为，所以直线与圆有两个交点，所以存在实数，使得.21.(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解线面角，结合三角函数的性质即可求解最值.【详解】（1）由题意证明如下，在菱形中，为的中点，，是等边三角形，，在翻折过程中，恒有，又平面，平面，平面，；（2）由题意及（1）得，为二面角的平面角，记其为，则，以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则高二强基数学第14页共14页 ，，设平面的法向量，则，得令，得，则，令，得，当且仅当时，等号成立设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.22.(1)证明见解析(2)【分析】（1）设切线方程为，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可；（2）分过点的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可得出答案.【详解】（1）由题意切线的斜率存在，设切线方程为，联立，消得，则，所以，即，所以；（2）设，则，椭圆：得长半轴长为，短半轴长为，当过点的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为，此时，则，解得，而直线与椭圆相切，所以当过点的一条切线斜率不存在时，，当过点的切线斜率存在时，则，设切线方程为，联立，消得，则，化简得，高二强基数学第14页共14页 所以，所以，综上所述，，所以线段为圆的直径，所以.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.高二强基数学第14页共14页