四川省遂宁市射洪中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

射洪中学高2022级高二（上）期中质量检测数学试题（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题）一、单选题1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照复数的定义展开即可.【详解】，所以该复数在复平面内对应的点为，在第二象限故选：B.2.空间四边形中，=（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加减运算即可求解.【详解】,故选：C 3.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】设该磁盘所在椭圆的标准方程为，由题意易知该椭圆的长轴长为，短轴长为，故焦距为.故选：B4.为了丰富学生的假期生活，某学校为学生推荐了《西游记》《红楼梦》《水浒传》和《三国演义》部名著．甲同学准备从中任意选择部进行阅读，那么《红楼梦》被选中的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出从4部名著中任选2部的选法，再求出《红楼梦》被选中的选法，进而可得得出结果.【详解】从4部名著中任选2部共有种选法， 其中《红楼梦》被选中的选法有种，所以《红楼梦》被选中的概率为.故选：C5.若点在圆：的外部，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解.【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得，首先有圆心，其次圆的半径满足，解得，另一方面：又因为点在圆：的外部，所以，即，解得；综上所述：的取值范围为.故选：A.6.已知圆关于直线对称，且直线与直线平行，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆关于直线对称，所以圆心在直线上，又由直线与直线平行，从而求解.【详解】由圆关于直线对称，所以圆心在直线上，又因为直线与直线平行， 所以：设直线方程：，将圆心代入得：，得直线方程：，故B项正确.故选：B.7.已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】应用点线距离公式及几何法求圆的弦长公式列方程求半径即可.【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又，所以.故选：C8.已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于4，且，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】利用椭圆离心率，可设，，在中结合余弦定理，面积公式可以求出，进而求出椭圆方程.【详解】因为椭圆离心率为，故可设，，则椭圆的方程为.由椭圆的定义可知，，在中，，由余弦定理可知，所以，即，所以，又因为，，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为.故选：C二、多选题9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：AC10.下列说法中，正确的有（）A.直线在轴上的截距为1B.直线的倾斜角C.直线必过定点D.点到直线的距离为1【答案】ACD【解析】【分析】根据直线的相关概念和定义逐个判定即可.【详解】对于A：当时解得，所以直线在轴上的截距为1，A正确；对于B：直线的斜率，所以，又，所以，B错误；对于C：直线满足当时无论参数取什么值时，恒成立，所以过定点，C正确；对于D：点到直线的距离为，D正确，故选：ACD11.已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且 点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.B.椭圆C的离心率为C.直线l的方程为D.的周长为【答案】AC【解析】【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；椭圆C的离心率为，故选项B不正确；不妨设，则，，两式相减得，变形得，又注意到点为线段的中点，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选项C正确； 因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.故选：AC．12.在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（）A.圆上有且仅有两个点到直线的距离为B.已知点，圆上动点，则的最小值为C.过点作圆的一条切线，切点为可以为D.过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点【答案】ABD【解析】【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点.【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由，如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确； 选项B，设点关于直线的对称点，则，解得，即，则，即的最小值为，故B正确；选项C，由切点为，则在中，，当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为，此时最小，最小值为，即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；选项D，设点，切点，可得切线方程为，由点在切线上，得，同理可得，故点都直线上， 即直线的方程为，又由点在直线上，则，代入直线方程整理得，由解得，即直线恒过定点，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题13.已知两直线与之间的距离为___________.【答案】【解析】【分析】利用两平行线之间的距离公式直接求解.【详解】直线，与之间的距离为故答案为：.14.已知椭圆的方程为，则该椭圆的长轴长为______．【答案】4【解析】【分析】椭圆方程化为标准方程后可得长半轴长，从而得长轴长． 【详解】由题意椭圆标准方程是，所以，长轴长为．故答案为：4.15.已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为______．【答案】【解析】【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式及点在椭圆上，即求.【详解】由题意，，设，则，解得，即.故答案为：.16.已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据，所过定点以及二者垂直确定点P的轨迹方程，再根据动点，在圆：上，且，确定AB的中点E的轨迹方程，结合，以及两圆上两点间的距离范围，即可求得答案.【详解】由直线：与直线：，知，所以直线与直线垂直，直线：即，故过定点， ：即，故过定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，该圆圆心为，半径为，即点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以点的轨迹方程是，因为圆的方程为，所以圆心，半径，取的中点，连接，则，所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以，而，且，即圆与点的轨迹外离；则，即，所以的取值范围是，故答案为：四、解答题17.已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为.（1）经过点P且与直线垂直的直线方程；（2）求以为直径圆的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】第一问运用直线垂直的定义得到斜率，结合点斜式方程求解即可，第二问通过联立直线得到关键点的坐标，求出圆的半径和圆心后用标准方程求解即可.【小问1详解】易知的斜率为，故所求直线斜率是直线过点，故直线方程为方程为【小问2详解】联立方程组解得故，，由中点坐标公式得中点坐标为由两点间距离公式得，故所求圆方程为18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点E是的中点，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面平行；（2）利用空间向量研究平面夹角即可.【小问1详解】易知，又底面底面，，故可以为中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为则．取，则．所以是平面的一个法向量．因为，且平面，所以平面．小问2详解】由（1）可知，又因为平面，所以平面．所以是平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知椭圆经过点，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.【小问1详解】因为椭圆经过点，所以，把点的坐标代入方程，得，解得.所以椭圆的方程为.【小问2详解】联立方程组消去，得.解得或不妨设，，则.20.为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是 ，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解.【小问1详解】记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，所以，，所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和.【小问2详解】有0名同学回答正确的概率，有1名同学回答正确的概率，所以不少于2名同学回答正确这道题的概率.21.如图，四面体中，，，，为的中点.（1）证明：；（2）设，，点在上； ①点为中点，求与所成的角的余弦值；②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）证明线面垂直，再由线面垂直求证即可得证；（2）①根据异面直线所成的角定义作出角，再解三角形即可得解,②作出与平面所成的角，解三角形得解.【小问1详解】因为，E为的中点，所以，在和中，所以，所以，又E为的中点，所以，又平面，，所以平面.又因为平面，所以；【小问2详解】①取的中点，的中点，连接，如图，则，，所以（或其补角）为与所成的角，由且，所以是等边三角形，则，由且，E为的中点，所以，在等腰直角中，， 在中，，由知为直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，故，中，，，故，所以与所成的角的大小.②连接，如图，由（1）知，平面，平面，所以，则，当时最小，即的面积最小.因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面， 作于（或交延长线），因为平面平面，平面，所以平面，所以（或其补角）为与平面所成的角，由知，所以，在直角中，，在直角中，，所以，在等腰中，，所以，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.22.已知平面内动点与点，连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点.求证：以为直径的圆恒过定点.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)设点的坐标，再根据列式求解，同时注意定义域即可；(2)联立与椭圆的方程，设，，得出韦达定理，进而求得的坐标表达式，进而求得的长及的中点，写出以为直径的圆的方程，即可分析出所过定点. 【详解】（1）设点的坐标为，则由，可得整理得，即动点的轨迹的方程（2）当的斜率存在时，设的方程为，与曲线的方程联立，消去得设，，则，直线的方程为，令，得，即，同理，∴∴线段中点的纵坐标为故以为直径的圆的方程为：令得:，解得或此时以为直径的圆过点和当轴时，，，，则以为直径的圆的方程为，也过点， 所以，以为直径的圆恒过点和.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法，圆的方程，同时也考查了联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求解定值的问题，需要根据题意设椭圆上的点的坐标，进而表达相关点的坐标，进而表达出对应的弦长代入韦达定理求解.属于难题.